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Teoría de Colas ICEF. Una historia conocida por muchos de nosotros… En el banco. En un hospital. En el supermercado. … Se necesitan respuestas a preguntas.

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1 Teoría de Colas ICEF

2 Una historia conocida por muchos de nosotros… En el banco. En un hospital. En el supermercado. … Se necesitan respuestas a preguntas tales como ¿Qué fracción de tiempo cada servidor está libre? ¿Cuál es el número esperado de clientes en la cola? ¿Cuál es el tiempo esperado que un cliente permanece en una cola? ¿Cuál es la distribución de probabilidad del número de clientes presentes en una cola ? Si un gerente de un banco desea asegurar que únicamente el 1% de todos sus clientes tengan que esperar más de 5 minutos para ser atendidos, cuántos cajeros debe emplear.

3 Teoría de Colas Una cola se produce cuando la demanda de un servicio por parte de los clientes excede la capacidad del servicio. Se necesita conocer (predecir) el ritmo de entrada de los clientes y el tiempo de servicio con cada cliente. La teoría de colas es un conjunto de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares Objetivo: Equilibrar los costos de capacidad del servicio y el costo de una espera larga. TEORÍA DE COLAS Estudio matemático de las características de los sistemas de colas.

4 Proceso en una cola 1. Entrada de clientes 2. Sistema de colas cola o línea de espera mecanismo de servicio 3. Salida de clientes

5 Algunos ejemplos

6 Estructuras típicas de sistemas de colas: una línea, un servidor Llegadas Sistema de colas ColaServidor Salidas

7 Estructuras típicas de sistemas de colas: una línea, múltiples servidores Llegadas Sistema de colas Cola Servidor Salidas Servidor Salidas

8 Estructuras típicas de colas: varias líneas, múltiples servidores Llegadas Sistema de colas Cola Servidor Salidas Servidor Salidas Cola

9 Estructuras típicas de colas: una línea, servidores secuenciales Llegadas Sistema de colas Cola Servidor Salidas Cola Servidor

10 Costos de un sistema de colas 1.Costo de espera: Es el costo para el cliente al esperar Representa el costo de oportunidad del tiempo perdido Un sistema con un bajo costo de espera es una fuente importante de competitividad

11 Costos de un sistema de colas 2.Costo de servicio: Es el costo de operación del servicio brindado Es más fácil de estimar – El objetivo de un sistema de colas es encontrar el sistema del costo total mínimo

12 Entrada de clientes TAMAÑO Número total de clientes potenciales (población de entrada): Finito (fuente limitada) (sistema cerrado) Infinito (fuente ilimitada) (sistema abierto) Suposición habitual: tamaño infinito (es decir, el número de clientes en la cola NO afecta el número potencial de clientes fuera de ella) ENTRADA O FUENTE Unitaria Por bloques TIEMPO ENTRE LLEGADAS Determinista Probabilista (distribución de probabilidad exponencial) TASA MEDIA DE LLEGADA λ Número medio de entrada de clientes por unidad de tiempo Llegadas de clientes son independientes e idénticamente distribuidas (IID)

13 COLA Número máximo de clientes admisible Finito Infinito Suposición habitual: colas de longitud infinita (pérdida del cliente o reintento). Muy común en centrales telefónicas Número de canales (carriles de una calle ante un semáforo) en la cola e interferencia entre ellos Disciplina de la Cola Orden de selección de sus miembros para ser atendidos FIFO, FIFO con límite LIFO SIRO (Aleatorio) Por prioridad (interruptora o no)

14 Mecanismo de Servicio SERVIDORES Proporcionan el servicio al cliente Número de servidores: Uno Varios Independencia o no entre servidores TIEMPO DE SERVICIO Determinista Probabilista (distribución de probabilidad exponencial) TASA MEDIA DE SERVICIO µ Número medio de clientes que son atendidos en un servidor por unidad de tiempo. Servicios a clientes son independientes e idénticamente distribuidos (IID)

15 Especificación de un sistema de colas Distribución del tiempo entre llegadas / Distribución del tiempo de servicio / Número de servidores / Número máximo de clientes en el sistema / Disciplina de la cola M exponencial D degenerada (tiempos constantes) E Erlang (Gamma) G general Ejemplos: M/M/s M/M/s/K/FIFO M/M/s/s M/G/1 David George Kendall

16 Medidas de Eficacia de un Sistema de Colas tasa media de llegadas 1/ tiempo medio entre llegadas tasa media de servicio 1/ tiempo medio de servicio factor de utilización (intensidad de tráfico): fracción esperada de tiempo que están ocupados los s servidores habitualmente < 1 También puede interpretarse como número promedio de personas siendo atendidas

17 Si se tiene s=1 ρ: fracción esperada de tiempo que los servidores individuales están ocupados. El servidor está trabajando 4 de cada cinco minutos, es decir el 80% del tiempo

18 Notación Se utilizará la siguiente notación: N(t): Número de clientes en el sistema de colas en el tiempo t. s: número de servidores en el sistema de colas. λ n :tasa media de llegadas de nuevos clientes cuando hay n clientes en el sistema. μ n : tasa media de servicio para todo el sistema cuando hay n clientes en el sistema (tasa combinada).

19 Notación La condición estacionaria se produce cuando la distribución del número de clientes en el sistema se conserva a través del tiempo.

20 Notación

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22 Ecuaciones en el sistema M/M/1

23 Ejemplo 1

24 Ejemplo 2

25 Teoría fundamental Cliente Servidor(es)

26 Para formular un modelo de teoría de colas como una representación del sistema real, es necesario especificar la forma supuesta de cada una de estas distribuciones Suficiente mente realista Suficientemente sencilla Predicciones razonables Matemáticamente manejable Distribución exponencial

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43 Ejercicios

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50 Procesos de nacimiento y muerte En Teoría de colas

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52 No hay nacimientos ni muertes colectivas

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56 Principio clave:

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71 Ejercicios:

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102 Otros ejercicios

103 El gerente de un banco desea determinar cuantos cajeros deben trabajar en Viernes. Por cada minuto que un cliente espera en la fila, el gerente cree que existe un costo de 5 centavos. Un promedio de 2 clientes por minuto llegan al banco. En promedio, le toma a un cajero 2 minutos atender a un cliente. El costo de contratar un cajero le representa al banco 9 dólares por hora. Los tiempos de servicio y entre llegadas son exponenciales. Para minimizar la suma de los costos de servicio y los costos de espera, ¿Cuántos cajeros deberían atender en el banco los días Viernes? Sugerencia: El costo esperado total es la suma del costo esperado del servicio por minuto mas el costo esperado de espera por minuto.


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