Pruebas de hipótesis: Media de una población ©1999-2007 Pedro Juan Rodríguez Esquerdo Departamento de Matemáticas Recinto de Río Piedras Universidad de.

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2 Pruebas de hipótesis: Media de una población ©1999-2007 Pedro Juan Rodríguez Esquerdo Departamento de Matemáticas Recinto de Río Piedras Universidad de Puerto Rico

3 Gasto per cápita en salud 1995 Estados Unidos: $3,633 4 Se desea saber si el gasto per cápita promedio en servicios de salud en estos paises es significativamente menor que el gasto en los Estados Unidos.

4 Hipótesis 4 H 0 : μ = 3,633 H a : μ < 3,633 4 μ representa la media poblacional de los gastos en salud de los 20 paises. 4 Premisas: –varianza poblacional conocida σ 2 = 248,140.75. –los datos tienen una distribución normal. –los datos son independientes.

5 Prueba de hipótesis 4 ¿Puede concluirse que µ < 3,633 y por lo tanto rechazar H 0 )? 4 Se debe tener una seguridad razonable de que el valor estimado de µ, 1,471 no ocurrió por azar. 4 ¿Cómo? Estadísticas: n = 20 σ = 498.14 Conocido:

6 Distribución Poblacional Gastos 4 Si H 0 es cierta: – Gastos en Servicios de Salud de 1995 tendrán una distribución normal, –media µ=$3,633. –varianza σ 2 =248,140.75.

7 Distribución de los Gastos (H 0 cierta).001

8 Se rechaza H 0 si es mucho menor que µ 0. ¿Cuánto menor? Distribución de la media muestral 4 Si H 0 es cierta la media muestral tendrá una distribución normal –media µ = $3,633 –varianza σ 2 /n= 12,407.04 4 OJO: Aún siendo cierta H 0 se puede observar valores pequeños de.

9 Distribución de la media muestral (H 0 cierta)

10 Prueba de hipótesis Comparar con µ 0 equivale a comparar con 0. ¿Por qué? Se rechaza H 0 si z es mucho menor que 0.

11 Prueba de hipótesis 4 Si H 0 es cierta: –P( Z < -1.645) =.05 –P( Z < -1.96) =.025 –P( Z < -2.33) =.01 4 En general, si H 0 es cierta: P( Z < z α ) = α. 4 α es: –máximo de probabilidad permisible de observar un valor de Z muy pequeño cuando H 0 es cierta. –mínimo de evidencia admisible contra H 0. –probabilidad de error tipo I.

12 Una regla para rechazar H 0 4 Seleciona la probabilidad de error tipo I: α (nivel de significancia). 4 Encuentra z α en la tabla de la distribución normal estándar. 4 Calcula el valor de la estadística Z 4 Si Z < -z α entonces, rechaza H 0

13 Zona de rechazo - 1.645 P(Z<-1.645) =.05 Si Z < -1.645 rechaza H 0 al nivel del 5% de significancia -z.05 = -1.645

14 Zona de rechazo 4 Zona de rechazo: aquellos valores de z para los cuales se rechaza H 0. 4 ¿Cual es la zona de rechazo para: –H 0 : µ = µ 0 H a : µ > µ 0 –H 0 : µ = µ 0 H a : µ < µ 0 –H 0 : µ = µ 0 H a : µ µ 0 ?

15 Efectúa la prueba µ 0 = 3,633 σ = 498.14 n = 20 Como z = -19.41 < 1.645 = z.05, se rechaza H 0 al nivel de significancia del 5%. ¡ está a 19.41 desv. est. a la izquierda de 3.633! ¿Qué tal 1% de significancia?, ¿10%? ¿Valor p de la prueba? ¡Estandariza!

16 Nivel de significancia α Z ¿Cuál es el máximo de probabilidad de error tipo I ( α) estamos dispuestos a aceptar? x100%

17 Pruebas en general Si es conocida, los datos son normales, o aplica el Teorema del Límite Central: 4 H 0 : µ = µ 0 H a : µ < µ 0 4 H 0 : µ = µ 0 H a : µ > µ 0 H 0 : µ = µ 0 H a : µ ¹ µ 0 Se compara con z /2 ó z

18 Zona de rechazo ¡Depende de la hipótesis alternativa! H a : > 0 Z > z α H a : < 0 Z < -z α H a : 0 |Z| > z α/2

19 Valor p de la prueba 4 Es la probabilidad de observar un valor tan extremo de la estadística prueba si se supone que la hipótesis nula es cierta. 4 Si H 0 es cierta, y la alternativa es H a : µ< µ 0 ¿Cuál es la probabilidad de observar z < -19.41?

20 Ejemplos de valor p H a : 0 H a : < 0 H a : > 0 En los casos en que se observa z = 1.43 ó z = -1.43. Z = 1.43Z = -1.43 En todos los casos el área total roja es igual a α

21 Varianza desconocida 4 La estadística prueba t tiene una distribución t con n-1 grados de libertad. 4 Cuando n > 30, se usa la tabla de la distribución normal en vez de la t. Datos normales, varianza desconocida, n 30. Usa la prueba t: