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Introducción a la Inferencia Estadística Tema 4: Contrastes de Hipótesis Paramétricas Prof. Rosario Martínez Verdú

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Presentación del tema: "Introducción a la Inferencia Estadística Tema 4: Contrastes de Hipótesis Paramétricas Prof. Rosario Martínez Verdú"— Transcripción de la presentación:

1 Introducción a la Inferencia Estadística Tema 4: Contrastes de Hipótesis Paramétricas Prof. Rosario Martínez Verdú

2 TEMA 4: CONTRASTES DE HIPÓTESIS PARAMÉTRICAS 1. Planteamiento general de la contrastación de hipótesis estadísticas. 2. Contrastes de hipótesis bilaterales. 3. Contrastes de hipótesis unilaterales. Bibliografía específica Tema 4: - NEWBOLD, P. (1997). Estadística para los Negocios y la Economía. Madrid: Prentice Hall. 4ª Edición. Capítulo 9. - NEWBOLD, P. y otros (2008). Estadística para Administración y Economía. Madrid: Pearson-Prentice Hall. 6ª Edición. Capítulo 10 y Capítulo 11 apartados 1 a 4. - ESTEBAN GARCÍA, J. y otros: Curso Básico de Inferencia Estadística. Reproexpres Ediciones, Valencia, Tema 6 y y Tema 7 apartados 1 a 4. - LIND D.A y otros. Estadística Aplicada a los Negocios y la Economía. Ed. McGraw Hill, México, (13ª Edición). Capítulos 10 y MURGUI, J.S. y otros (2002). Ejercicios de Estadística. Economía y Ciencias Sociales. Valencia: Tirant lo Blanch. Capítulo 8 apartados 2 y 3 y Capítulo 9 apartados 1 a 3.

3 Objetivos del apartado: Comprender los conceptos de hipótesis nula y alternativa. Conocer los tipos de hipótesis estadísticas y de contrastes. Saber formular las hipótesis y tomar una decisión en base a una prueba estadística o test. Medir la fiabilidad de una prueba estadística o test en base a los errores de tipo I y de tipo II. Comprender los conceptos de nivel de significación y de potencia de un test estadístico. 1) Planteamiento general de la contrastación de hipótesis estadísticas

4 ¿Qué es una hipótesis? Una afirmación o suposición sobre la población, principalmente acerca del valor de un parámetro : Valor de la Media de la Población μ Valor de la Varianza de la Población σ 2 Valor de la Proporción poblacional p en una Bernoulli Ejemplos de hipótesis sobre parámetros: 1) Población X: peso paquetes de cereal, en gramos. El peso medio de los paquetes de cereal es de 500 gramos. (μ=500) 2) Población con distribución Bernoulli X: si un hogar tiene o no problemas para llegar a fin de mes. El porcentaje de hogares con problemas para llegar a fin de mes es del 45% (p=0,45)

5 ¿Qué es un contraste de hipótesis? Es un procedimiento, basado en la evidencia que nos proporciona la muestra y en una prueba o test estadístico, usado para tomar una decisión acerca de la hipótesis. Se trata de determinar la validez o no validez de esa hipótesis. Si esa hipótesis se puede aceptar (no rechazar) o rechazar como válida. Esta hipótesis se llama hipótesis nula H 0 y se contrasta frente a una hipótesis alternativa H 1.

6 TIPOS DE HIPÓTESIS Simples: parámetro toma un único valor. H 0 : μ=500 ó H 0 : p=0,45 Compuestas: parámetro toma distintos valores. Bilaterales: H 1 : μ 500 ó H 1 : p 0,45 Unilaterales: H 1 : μ>500 ó H 1 : μ 0,45 ó H 1 : p<0,45 TIPOS DE CONTRASTES H 0 y H 1 simples (no es lo habitual) H 0 : μ=500 H 1 : μ=405 H 0 simple y H 1 compuesta y bilateralContraste Bilateral (tema 4.2) H 0 simple y H 1 compuesta y unilateralContraste Unilateral (tema 4.3) H 0 y H 1 compuestas y unilateralesContraste Unilateral (tema 4.3)

7 Hipótesis nula H o Es la que contrastamos, es la más simple de las dos hipótesis. Siempre hay una igualdad: =,, Los datos pueden refutarla. No debería ser rechazada sin una gran evidencia en contra. Supondremos que es cierta a no ser que se pruebe lo contrario. Hip. Alternativa H 1 Es lo opuesto de la H 0 No hay igualdad: suele haber, >, < Los datos pueden mostrar evidencia a favor. No debería ser aceptada sin una gran evidencia a favor. Ejemplo 1) peso medio paquetes de cereales Ejemplo 2) % hogares que no llegan a fin de mes

8 Para resolver el contraste y tomar una decisión respecto a la H 0 nos vamos a basar en: La información que nos proporciona una muestra (es la única evidencia que tenemos de la población). Una prueba o test estadístico, basado en un estadístico muestral del tema 2. En base a este estadístico de prueba y a su distribución de probabilidad se establece una regla de decisión que nos indica cuando debe rechazarse o aceptarse la H O. Se establecen dos regiones: - La región de Rechazo o región crítica: si el valor del estadístico está en esta región entonces se Rechaza la H 0. - La región de Aceptación: si el valor del estadístico está en esta región entonces se Acepta la H 0. Tomar una decisión respecto a la H 0 en base a un test y con la información parcial de la muestra no es proceso fiable al 100% y cabe la posibilidad de cometer errores.

9 Tipos de error al contrastar hipótesis Decisión Realidad No Rechazar H 0 (Aceptar H 0 ) Rechazar H 0 (Aceptar H 1 ) H 0 cierta H 0 falsa

10 Tipos de error al contrastar hipótesis Decisión Realidad No Rechazar H 0 (Aceptar H 0 ) Rechazar H 0 (Aceptar H 1 ) H 0 cierta Correcto H 0 falsa

11 Tipos de error al contrastar hipótesis Decisión Realidad No Rechazar H 0 (Aceptar H 0 ) Rechazar H 0 (Aceptar H 1 ) H 0 cierta Correcto H 0 falsa Correcto Probabilidad 1- βpotencia del contraste = P(Rechazar H 0 / H 0 falsa)

12 Tipos de error al contrastar hipótesis Decisión Realidad No Rechazar H 0 (Aceptar H 0 ) Rechazar H 0 (Aceptar H 1 ) H 0 cierta Correcto Error de tipo I Probabilidad = P(Error tipo I) = P(Rechazar H 0 / H 0 cierta) H 0 falsa Correcto Probabilidad 1- βpotencia del contraste = P(Rechazar H 0 / H 0 falsa)

13 Tipos de error al contrastar hipótesis Decisión Realidad No Rechazar H 0 (Aceptar H 0 ) Rechazar H 0 (Aceptar H 1 ) H 0 cierta Correcto Error de tipo I Probabilidad = P(Error tipo I) = P(Rechazar H 0 / H 0 cierta) H 0 falsa Error de tipo II Probabilidad β = P(Error tipo II) = P(Aceptar H 0 / H 0 falsa) Correcto Probabilidad 1- βpotencia del contraste = P(Rechazar H 0 / H 0 falsa)

14 No se puede tener todo: Para un tamaño muestral fijo, no se pueden reducir a la vez ambos tipos de error. Si α entonces β y viceversa. Como los dos errores no se pueden minimizar a la vez, hay que controlar o fijar uno de los dos errores. Lo usual es controlar la probabilidad del error de tipo I α, ya que este error se considera el más grave de cometer de los dos. Se llama nivel de significación α al mayor permitido o tolerado para la probabilidad del error de tipo I. Es el valor que se fija para α. La fiabilidad de un test depende de lo pequeños que sean las probabilidades de los errores α y β. Se fija nivel de significación Nos determina un test concreto Resulta un valor concreto para β

15 Analogía con un juicio: Se juzga a un individuo por la presunta comisión de un delito H 0 : Hipótesis nula Acusado inocente H 1 : Hipótesis alternativa Acusado culpable Los datos pueden refutarla La que se acepta si las pruebas no indican lo contrario Rechazarla por error tiene graves consecuencias Riesgos al tomar decisiones No debería ser aceptada sin una gran evidencia a favor. Rechazarla por error tiene consecuencias consideradas menos graves que la anterior

16 Tipos de error al tomar una decisión Decisión Realidad Aceptar H 0 Declararlo Inocente Rechazar H 0 Declararlo Culpable H 0 cierta Inocente Correcto Error de tipo I = P(Rechazar H 0 / H 0 cierta) = P(Decl. Culpable/ Inocente) Error muy grave H 0 falsa Culpable Error de tipo II = P(Aceptar H 0 / H 0 falsa) = P(Inocente / Culpable) Error menos grave Correcto

17 Decisión Realidad Aceptar H 0 No Adelantar Rechazar H 0 Adelantar H 0 cierta No hay tiempo Correcto Error de tipo I = P(Rechazar H 0 / H 0 cierta) = P(Adelantar/ No hay tiempo) Error muy grave H 0 falsa Hay tiempo Error de tipo II = P(Aceptar H 0 / H 0 falsa) = P(No Adelantar / Hay tiempo) Error menos grave Correcto EJEMPLO 2: Conductor decide si efectúa o no un adelantamiento H 0 : No adelantar ya que cree que no hay tiempo H 1 : Adelantar ya que cree que hay tiempo

18 Procedimiento a seguir en un Contraste de Hipótesis: Paso 1: Establecer la hipótesis nula y la alternativa Ho y H1 Paso 2: Fijar el nivel de significación α Paso 3: Identificar el estadístico de prueba y su distribución de probabilidad (Normal, t Student, Chi Cuadrado, F Snedecor) Paso 4: Establecer una regla de decisión (identificar las regiones de rechazo y de aceptación de Ho) Paso 5: Seleccionar una muestra, calcular el valor del estadístico de prueba Paso 6: Tomar una decisión respecto a la Ho Aceptar (No rechazar) la hipótesis nula Rechazar la hipótesis nula y aceptar la alternativa

19 EJEMPLO CONTRASTES DE HIPÓTESIS PARAMÉTRICAS Sea Población X: peso de los paquetes de cereal, en gramos. X~N(, 2 =100) Muestra: (x 1, x 2,...., x n ) m.a.s. n=16 Se pretende contrastar las siguientes hipótesis: Ho: = 500 afirmación del fabricante H 1 : = 495 opinión organización de consumidores Para resolver el contraste se proponen tests basados en el estadístico y definidos mediante su región crítica o de rechazo: Rechazar Ho si: Cada posible valor de k es un test distinto, ¿cómo elegir un test concreto?

20 Alpha=α Beta=β


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