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¿Qué son los límites? A veces algo no se puede calcular directamente, pero para eso están los límites en los cuales te puedes apoyar para saber cual.

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Presentación del tema: "¿Qué son los límites? A veces algo no se puede calcular directamente, pero para eso están los límites en los cuales te puedes apoyar para saber cual."— Transcripción de la presentación:

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3 ¿Qué son los límites? A veces algo no se puede calcular directamente, pero para eso están los límites en los cuales te puedes apoyar para saber cual es el resultado, es decir, si te vas acercando más y más. "f(x) se acerca a un límite cuando x se acerca a un valor" Teoremas Si ƒ(x) y g(x) son funciones, c una constante y n número real entonces:

4 Clasificación de los Límites Límites por evaluación Se obtiene al aplicar los teoremas anteriores y evaluar el valor al cual tiende la variable en la función propuesta. Límites indeterminados Son aquellos cuyo resultado es 0. Límites cuando X tiende al infinito Sea una función ƒ definida en el intervalo ( α,) Lím ƒ(x) = L Entonces significa que los valores de ƒ(x) se aproximan a L tanto como se quiere para una x lo suficientemente grande, sabemos que no es un número, sin embargo, se acostumbra decir el límite de ƒ(x), cuando x tiende al infinito.

5 Límites de funciones trigonométricas Ángulos0π/6π/4π/3π/2π3π/22π2π Seno01/22/23/2100 Coseno13/22/21/2001 Tangente03/313No existe 0 0 CotangenteNo existe 313/30No existe 0 Secante123/322No existe No existe 1 CosecanteNo existe 2223/31No existe No existe

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7 Aquí a parte de definir el concepto mostraremos su significado. Es muy importante dominar la derivación para después poder trazar curvas, así como para comprender la utilidad del cálculo. Derivadas

8 La derivada de una función en un punto x 0 surge del problema de calcular la tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x 0, y fue Fermat el primero que aportó la primera idea al tratar de buscar los máximos y mínimos de algunas funciones. Definición Como nos dijo nuestra maestra la derivada es la pendiente de la tangente en un punto determinado de la curva.

9 Suma La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de dichas funciones. Resta La derivada de una resta de dos funciones es igual a la resta de las derivadas de dichas funciones.

10 Producto La derivada del producto de dos funciones es igual al primer factor por la derivada del segundo más el segundo factor por la derivada del primero. Cociente La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador menos la derivada del denominador por la derivada del numerador, divididas por el cuadrado del denominador.

11 Raíz La derivada de la raíz enésima de una función es igual a la derivada del radicando partida por la n veces la raíz enésima de la función radicando elevada a la n - 1. Potencia. La derivada de una potencia es igual al exponente por la base elevada al exponente menos 1 y por la derivada de la base.

12 Conclusión y aplicaciones El cálculo diferencial es indispensable en nuestra vida diaria, las derivadas las empleamos para algo sencillo pero muy importante. Nuestra maestra nos dice seguido que el cálculo es muy bello ya que sin él gran cantidad de cosas que tenemos a nuestro alrededor no serían posibles. La derivada tiene muchas aplicaciones, con ella se puede calcular la razón de cambio o en palabras simples, la velocidad. Por ejemplo es empleada en la construcción de un edificio, con una función que relacione los costos del edificio con el tamaño del mismo.Es empleada en profesiones como la ingeniería, la economía y en la administración. Otra de sus aplicaciones es hallar los valores máximos o mínimos de ciertas expresiones (por ejemplo una inversión compleja en economía financiera).

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14 Definición Máximos de una función En un punto en el que la derivada se anule y antes sea positiva y después del punto negativa, se dice que la función tiene un máximo relativo. Es decir, que F'(x o ) = 0 y en ese punto, la función, pase de creciente a decreciente. En x = a la función tiene un máximo relativo y se observa que su derivada se anula en ese punto, pasando de positiva a negativa. (se anula y cambia de signo). Mínimos de una función En un punto en el que la derivada se anule y antes sea negativa y después del punto positiva, se dice que la función tiene un mínimo relativo. Es decir, que F'(x o ) = 0 y en ese punto, la función, pase de decreciente a creciente. En x = b la función tiene un mínimo relativo y se observa que su derivada se anula en ese punto, pasando de negativa a positiva.

15 Punto de Inflexión Si la gráfica de una función continua posee una tangente en un punto en el que su concavidad cambia hacia arriba o hacia abajo o viceversa, se llama Punto de Inflexión. Para calcular los puntos de inflexión hay que igualar a cero la derivada segunda y comprobar que ésta cambia de signo. En los puntos donde la segunda derivada se anule y cambie de signo, la función tendrá un punto de inflexión y su derivada un máximo o un mínimo

16 Simbología M = punto máximo m = punto mínimo Ejemplo Calcular el máximo y el mínimo de la sig. función: 1. f(x) = x 3 3x + 2 f'(x) = 3x 2 3 = 0 f''(x) = 6x f''( 1) = 6 Máximo f''(1) = 6 Mínimo f( 1) = ( 1) 3 3( 1) + 2 = 4 f(1) = (1) 3 3(1) + 2 = 0 Máximo( 1, 4) Mínimo(1, 0) Dependiendo del grado de la ecuación que se te da serán las curvas que vas a graficar, por lo tanto serán el número de máximos y mínimos que deberán salir.

17 Criterio de la segunda derivada Este procedimiento consiste en: 1. Calcular la primera y segunda derivadas 2. Igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación. 3. Sustituir las raíces (el valor o valores de X) de la primera derivada en la segunda derivada. Si el resultado es positivo, hay mínimo. Si la segunda derivada resulta negativa, hay un máximo.

18 Aplicaciones Normalmente cuando hablamos de cálculo creemos que serán conocimientos que nunca nos van a servir, o que por la carrera que escogimos nunca los vamos a volver a usar, la realidad es que las matemáticas están presentes en todo lo que nos rodea, desde que contamos el dinero para ver cuanto vamos a gastar hasta la fabricación de la maquina más compleja. Las palabras máximo y mínimo, pertenecen a un lenguaje habitual y los usamos generalmente cuando deseamos expresar, lo más grande o lo más pequeño de la cantidad comparada. Es un tema indispensable en nuestra vidas, pues a través de ellos se pueden calculas ventas o las compras de una empresa, cuanto se tiene que llenar una alberca, o simplemente al hacer una maqueta, en construcciones de edificios, etc.

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20 Razón Instantánea de Cambio Una función cuya variable independiente es el tiempo t. suponiendo que Q es una cantidad que varía con respecto del tiempo t, escribiendo Q=f(t), siendo el valor de Q en el instante t

21 El tamaño de una población (peces, ratas, personas, bacterias,…) La cantidad de dinero en una cuenta en un banco El volumen de un globo mientras se infla La distancia t recorrida en un viaje después del comienzo de un viaje Incremento: El cambio en Q desde el tiempo t hasta el tiempo t+t La Razón de Cambio Promedio de Q(t) es, por definición, la razón de cambio "Q en Q con respecto del cambio "t en t, por lo que es el cociente (resultado de dividir una cantidad por otra)

22 Q=f(t), como el límite de esta razón promedio cuando "t=0. Es decir, la razón de cambio instantánea de Q es Definir la razón de cambio instantánea Lo cual simplemente es la derivada f´(t). Así vemos que la razón de cambio instantánea de Q=f(t) es la derivada

23 Interpretación de la razón de cambio instantánea Se piensa que el punto P(t,f(t)) se mueve en la gráfica de la función Q=f(t). Cuando Q cambia con el tiempo t, el punto P se mueve a lo largo da la curva. Pero si repentinamente, en el instante t, el punto P comienza a seguir una trayectoria recta, entonces la nueva trayectoria de P corresponde a que Q cambia a una razón constante. Se concluye… Q es creciente en el instante t si si la pendiente de la recta tangente es positiva Q es decreciente en el instante t si la pendiente es negativa

24 Se interpreta La derivada de cualquier función, puede interpretarse como una razón de cambio instantánea con respecto de la variable independiente. Si y=f(x), entonces la razón de cambio promedio de y (por un cambio unitario en x) en el intervalo [x,x+"x] es el cociente. La razón de cambio instantánea de y con respecto de x es el límite, cuando "x!0, de la razón de cambio promedio.

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