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Motivación Dado que en una cónica cuyo eje está rotado, no podemos obtener su ecuación canónica (tampoco sus foco/s, vértice/s, etc), debemos utilizar.

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2 Motivación Dado que en una cónica cuyo eje está rotado, no podemos obtener su ecuación canónica (tampoco sus foco/s, vértice/s, etc), debemos utilizar el siguiente método. La ecuación general de segundo grado en donde B0 puede transformarse siempre en otra de la forma :

3 ¿Cómo? Rotando los ejes coordenados un ángulo θ agudo positivo para que los nuevos ejes coincidan con los ejes principales de la cónica. Observemos la figura siguiente y veamos cómo podemos relacionar las coordenadas de un punto P en el sistema OXY con las coordenadas del mismo punto en el sistema rotado OXY

4 Rotación de los ejes coordenados

5 Relación: OXY OXY Viendo el gráfico anterior se deduce que: (1) (2) Utilizando el seno y el coseno de la suma en (1) Reemplazo desde (2) en la anterior:

6 Forma matricial El sistema puede expresarse en forma matricial: Donde la matriz de los coeficientes, A, es la matriz de rotación. A es una matriz ortogonal, ya que A t =A -1 Por lo tanto, si quisiéramos ver cuál es el valor de X e Y sería muy fácil hallar la inversa.

7 Transformación de la ecuación Reemplazando las ecuaciones de X e Y en la ecuación general de segundo grado queda:

8 Agrupando se obtiene una ecuación en términos de X Y donde el término cruzado es Y utilizando las identidades trigonométricas: El término cruzado queda:

9 Elección del ángulo θ Podemos elegir el ángulo θ para que B=0, es decir para que desaparezca el término cruzado que es a donde queríamos llegar. Por lo tanto B=(C-A).sen(2 θ) +B.cos(2 θ )=0 Con 2θ en el primero o en el segundo cuadrante

10 Para ver en que cuadrante está 2 θ me fijo si es positivo está en el primero y si es negativo es porque el cos(2 θ ) es negativo, por lo tanto está en el segundo cuadrante. Luego calculo el Y tenemos que

11 Determinación del tipo de cónica Interesa determinar qué tipo de cónica es sin hacer la rotación de ejes. Puede demostrarse que la siguiente igualdad: 4AC-B 2 = 4AC-(B) 2 Donde A B y C son los coeficientes de la ecuación luego de la rotación de ejes. En conclusión, el término 4AC-B 2 permanece invariante ante la rotación.

12 Determinación del tipo de cónica Por lo tanto: si 4AC-B 2 – es > 0 la cónica es tipo elipse – es <0 la cónica es tipo hipérbola – es =0 la cónica es tipo parábola


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