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CÁLCULO DIFERENCIAL FUNCIONES REALES Juan Guillermo Paniagua C1.

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Presentación del tema: "CÁLCULO DIFERENCIAL FUNCIONES REALES Juan Guillermo Paniagua C1."— Transcripción de la presentación:

1 CÁLCULO DIFERENCIAL FUNCIONES REALES Juan Guillermo Paniagua C1

2 FUNCIÓN Dados dos conjuntos no vacíos A y B, una función f de A en B, denotada por: f : A B ó A B Es una relación que permite asignar a todo elemento x A uno y sólo un elemento y B. Juan Guillermo Paniagua C2

3 FUNCIÓN Una Función f es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento x en un conjunto, denominado dominio, un solo valor f(x) de un segundo conjunto. El conjunto de todos los valores así obtenidos se denomina rango de la función Juan Guillermo Paniagua C3

4 D(f) = Dominio de f = {1, 2, 3, 4, 5, x} r(f) = Rango de f = {a, b, c, d, e, f(x)} 12345x12345x a b c d e f(x) f AB Juan Guillermo Paniagua C4

5 Tener en cuenta En A no pueden sobrar elementos. El dominio de la función es igual al conjunto de partida A Cada elemento de A sólo puede relacionarse con uno y sólo uno de B El codominio de una función es aquel rango que es igual al conjunto de llegada Cuando la regla para una función está dada por medio de uan ecuación de la forma y=f(x), x es la variable independiente y y es la variable dependiente. Juan Guillermo Paniagua C5

6 ¿Cuales son funciones? *+\~*+\~ 1ace1ace *+\~*+\~ 1ace1ace a abcdabcd No es Función Si es Función Juan Guillermo Paniagua C6

7 Gráfica de Funciones Cuando el dominio y el rango de una función son conjuntos de números reales, se puede describir la función mediante el trazo de su gráfica en un plano coordenado. La gráfica de una función f es la gráfica de la ecuación y=f(x) Juan Guillermo Paniagua C7

8 Ejemplo Bosqueje la gráfica de f(x)=x 2 -2 Juan Guillermo Paniagua C8

9 Criterio de la recta vertical Una curva en el plano xy es la gráfica de una función de x si y sólo si ninguna línea vertical se interseca con la curva más de una vez Función y=x 2 x 2 +y 2 =1 No es Función Juan Guillermo Paniagua C9

10 Funciones Crecientes y Decrecientes Se dice que una función f es creciente sobre un intervalo I si: f(x 1 ) < f(x 2 ) siempre que x 1 < x 2 en I Se dice que una función f es decreciente sobre un intervalo I si: f(x 1 ) > f(x 2 ) siempre que x 1 < x 2 en I Juan Guillermo Paniagua C10

11 Observemos la siguiente función A B f(a) f(b) a b c C f(c) D La función en el intervalo [a,b] es creciente La función en el intervalo [b,c] es decreciente ¿Cómo es en el intervalo [c,d]? d Juan Guillermo Paniagua C11

12 Ejemplo Determine los intervalos en los que la función es creciente y decreciente Juan Guillermo Paniagua C12

13 Simetría de Funciones Función Par Si una función f satisface f(-x)=f(x), para todo número x en su dominio, se denomina función par. El significado geométrico de una función par es que su gráfica es simétrica con respecto al eje y Juan Guillermo Paniagua C13

14 Ejemplo: Determine si la función f(x)=x 2 +1es par Juan Guillermo Paniagua C14

15 Simetría de Funciones Función impar Si una función f satisface f(-x)=-f(x), para todo número x en su dominio, se denomina función impar. El significado geométrico de una función impar es que su gráfica es simétrica con respecto al origen. Si ya se tiene la gráfica de f para x 0, para obtener la gráfica entera se rota 180° alrededor del origen Juan Guillermo Paniagua C15

16 Ejemplo: Determine si la función f(x)=x 3 +2x es impar Juan Guillermo Paniagua C16

17 Función Inyectiva Una función es Inyectiva o uno a uno si y sólo si cada elemento del rango es imagen de un solo elemento del dominio *+\~*+\~ 1ace1ace abcdabcd Función InyectivaFunción no Inyectiva Juan Guillermo Paniagua C17

18 Criterio de la Recta Horizontal Una Función es Inyectiva si y sólo si ninguna línea horizontal interseca su gráfica más de una vez No es Función Inyectiva y=x 2 y=x 3 Función Inyectiva Juan Guillermo Paniagua C18

19 Función Sobreyectiva Una Función f : A B es sobreyectiva o sobre, si todo elemento de B es imagen de por lo menos un elemento de A, es decir f : A B es sobre f(A) = B abcdabcd abcdabcd Función SobreyectivaNo es Función Sobreyectiva Juan Guillermo Paniagua C19

20 Función Biyectiva Una función f : A B es biyectiva si y sólo si es a la vez inyectiva y sobreyectiva. abcdabcd abcdabcd Función no Inyectiva Función no Sobreyectiva Función no Biyectiva Función Inyectiva Función Sobreyectiva Función Biyectiva Juan Guillermo Paniagua C20

21 Tipos de Funciones Funciones Polinómicas Función Constante Función Lineal Función Cuadrática Función Polinómica Funciones Trascendentes Función Exponencial Función logarítmica Funciones trigonométricas Funciones Especiales Función Valor Absoluto Función Racional Funciones por tramos Función Mayor Entero Juan Guillermo Paniagua C21

22 Función Polinómica Una función polinomial de grado n es de la forma Donde: n Z +, a n 0 a 0, a 1, …,a n-1, a n Coeficientes del polinomio a 0 es el coeficiente constante o término constante n es el grado del polinomio Juan Guillermo Paniagua C22

23 Un polinomio de grado cero tiene la forma P(x)=k, con k constante, llamada función constante Un polinomio de grado uno tiene la forma P(x)=mx+b, llamado función lineal Un polinomio de grado dos tiene la forma P(x)= ax 2 +bx+c, se llama función cuadrática Un polinomio de grado tres tiene la forma P(x)=ax 3 +bx 2 +cx + d, llamada función cúbica Juan Guillermo Paniagua C23

24 Función Constante La función constante es de la forma f(x)=c, donde c es una constante. Es una función donde a cada número real x del dominio se le asigna el mismo valor c. Juan Guillermo Paniagua C24

25 Función Lineal La función lineal es de la forma f(x)=mx+b y su gráfica es una línea recta. m es la pendiente de la recta y b es la ordenada al origen (intercepto con el eje y) Las funciones lineales crecen a una tasa constante. Esa tasa constante está representada por la pendiente, la cual se interpreta como la tasa de cambio de y con respecto a x Juan Guillermo Paniagua C25

26 Ejemplo Graficar f(x)=3x-2 Juan Guillermo Paniagua C26 X01 Y-21

27 El dominio de la función lineal son los reales D(f) = Re El rango de la función lineal son los reales r(f) = Re Juan Guillermo Paniagua C27

28 Ejemplo A medida que el aire seco asciende, se expande y se enfría. Si la temperatura del suelo es de 20°C y la temperatura a una altura de 1 Km es de 10°C a. Exprese la temperatura T (en °C) en términos de la altura h (en Km) (Suponga que la relación entre T y h es lineal) b. Dibuje la gráfica de la ecuación lineal, ¿qué representa la pendiente? c. ¿Cuál es la temperatura a una altura de 2.5 Km? Juan Guillermo Paniagua C28

29 Funciones de Potencia Son funciones de la forma f(x)=x a, donde a es una constante. D(f) = Re 1. Si a=n, n Z + Juan Guillermo Paniagua C29 Función Identidad

30 Juan Guillermo Paniagua C30 La función f(x)=x n en su forma depende de n si es par o impar. Si n es par, f(x)=x n es una función par y si n es impar, f(x)=x n es una función impar

31 2. Si a=1/n, n Z + La función es una función raíz. Juan Guillermo Paniagua C31 n = 2 Función raíz cuadrada D(f) = [0, + ) n = 3 Función raíz cúbica D(f) = Re

32 3. Si a=-1 Función recíproca. Su gráfica es una hipérbola con sus ejes coordenados como asíntotas Juan Guillermo Paniagua C32 D(f) = Re – {0}

33 Funciones Racionales Una Función Racional f es una razón de dos polinomios. Donde P(x) y Q(x) son polinomios. Su dominio consiste en todos los valores de x tales que Q(x) 0 Por ejemplo, D(f)= Re – {-2, 2} Juan Guillermo Paniagua C33

34 Juan Guillermo Paniagua C34

35 Funciones Algebraicas Son funciones que se constituyen usando operaciones algebraicas. Juan Guillermo Paniagua C35

36 Funciones Seccionalmente Definidas Son funciones que están definidas por fórmulas distintas, en diferentes partes de sus dominios. Por ejemplo: Juan Guillermo Paniagua C36

37 Juan Guillermo Paniagua C37

38 Función Cuadrática Una función f es una función cuadrática si donde a, b y c Re, a 0 Su gráfica corresponde a una parábola con vértice fuera del origen de coordenadas Juan Guillermo Paniagua C38

39 Por ejemplo Juan Guillermo Paniagua C39

40 Si b = c = 0, entonces La gráfica es una parábola con vértice en el origen Juan Guillermo Paniagua C40

41 Si b = 0 y c 0, entonces La gráfica es una parábola con vértice en (0,c) Juan Guillermo Paniagua C41

42 Si y b 0, completamos el trinomio cuadrado perfecto y lo llevamos a la forma Donde (h, k) son las coordenadas del vértice de la parábola Si a 0, la parábola se abre hacia arriba. Juan Guillermo Paniagua C42

43 Ejemplo: Bosqueje la gráfica de Juan Guillermo Paniagua C43

44 El vértice de la parábola Tiene la coordenada x Si, con a 0, entonces: es valor máximo si a < 0 es valor mínimo su a > 0 Juan Guillermo Paniagua C44

45 Ejemplo 1 Encuentre el valor máximo ó mínimo, el vértice y trace la gráfica de la parábola Ejemplo 2 Un objeto es lanzado en forma vertical hacia arriba con una velocidad inicial de Vo pies/s y su distancia s(t) en pies sobre el suelo después de t segundos está dada por a. Si el objeto toca tierra después de 12 segundos, encuentre su velocidad inicial b. Hallar su distancia máxima sobre el suelo Juan Guillermo Paniagua C45

46 Ejemplo 3 En la construcción de seis jaulas para animales han de utilizarse 1000 pies de enrejado, según la figura a. Exprese el ancho y como función de la longitud x b. Exprese el área A encerrada como función de x c. Encuentre las dimensiones que maximicen el área Juan Guillermo Paniagua C46


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