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Divisibilidad en los números naturales 1. Múltiplos y divisores de un número 2. Propiedades de múltiplos y divisores 3. Criterios de divisibilidad 4. Números.

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1 Divisibilidad en los números naturales 1. Múltiplos y divisores de un número 2. Propiedades de múltiplos y divisores 3. Criterios de divisibilidad 4. Números primos y números compuestos 5. Descomposición factorial 6. Máximo común divisor 7. Mínimo común múltiplo UNIDAD 03 1º ESO | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS

2 © GELV 1. Múltiplos y divisores de un número DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES 1º ESO | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS Un número natural a se dice que es múltiplo del número natural b si podemos obtener a como resultado de multiplicar b por un número natural k. a = b · k Un número natural a se dice que es divisor del número natural b si b es divisible entre a, es decir, b se puede dividir entre a y la división es exacta. 7 = {7, 14, 21,…} Notación matemática: múltiplos de un número Si a es múltiplo de b, entonces b es divisor de a

3 © GELV 2. Propiedades de múltiplos y divisores DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES 1º ESO | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS - Los múltiplos de un número son infinitos: = 5, 10, 15, 20, 25,... - Los divisores de un número no son infinitos, son finitos: D (12) = 1, 2, 3, 4, 6, 12 - El conjunto de múltiplos de 1 es: 1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6,…

4 © GELV 2. Propiedades de múltiplos y divisores DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES 1º ESO | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS - El cero es múltiplo de todos los números naturales: - Los divisores de un número pueden formar parejas cuyo producto es ese mismo número: D (15) = 1, 3, 5, 15 1 · 15 = 3 · 5 = 15 - Todo número natural es múltiplo de 1 y de sí mismo: a = a · 1 a · 0 = 0

5 © GELV 2. Propiedades de múltiplos y divisores DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES 1º ESO | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS NUMEROS PERFECTOS: son los números cuyos divisores, exceptuando el propio número, suman exactamente su valor. 6 = =

6 © GELV 3. Criterios de divisibilidad DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES 1º ESO | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS Un número es divisible entre 2 Si acaba en cifra par Un número es divisible entre 3 Si la suma de sus cifras es múltiplo de 3 Un número es divisible entre 5 Si acaba en 0 ó en 5 Un número es divisible entre 11 Si la diferencia de la suma de las cifras que ocupan lugar impar y la suma de las que ocupan lugar par es cero o múltiplo de 11

7 © GELV 3. Criterios de divisibilidad DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES 1º ESO | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS Un número es divisible entre 6 Si es divisible entre 2 y 3 a la vez Un número es divisible entre 9 Si la suma de sus cifras es múltiplo de 9 Un número es divisible entre 4 Si sus dos últimas cifras son divisibles entre 4 ó si son 00 Un número es divisible entre 25 Si sus dos últimas cifras son divisibles entre 25 ó si son 00 Un número es divisible entre 4 Si sus dos últimas cifras son divisibles entre 4 ó si son 00 Un número es divisible entre 6 Si es divisible entre 2 y 3 a la vez

8 © GELV 3. Criterios de divisibilidad DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES 1º ESO | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS Un número es divisible entre 7 Si la diferencia entre el número quitándole la cifra de unidades y el doble de la cifra de unidades es múltiplo de 7 ó – 2·3 = 28 múltiplo de – 2·5 = 0 múltiplo de 7.

9 © GELV 4. Números primos y compuestos DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES 1º ESO | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS Un número es primo si solo admite como divisores a él mismo y la unidad Por ejemplo: 1, 2, 3, 13, 53,... Para un número primo a solo es posible una descomposición en factores: a = a · 1

10 © GELV 4. Números primos y compuestos DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES 1º ESO | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS Un número es compuesto si admite otros divisores distintos de sí mismo y de la unidad. D (18) = 1, 2, 3, 6, 9, 18 Dos números son primos entre sí cuando el único divisor común que tienen es el uno. D (8) = 1, 2, 4, 8, D (15) = 1, 3, 5, 15 8 y 15 son primos entre sí porque el único divisor común es el 1.

11 © GELV 4. Números primos y compuestos DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES 1º ESO | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS CRIBA DE ERATOSTENES

12 © GELV 5. Descomposición factorial DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES 1º ESO | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS Cualquier número se puede descomponer en el producto de sus factores primos (todos ellos números primos). 180 = 2 2 · 3 2 · 5 · 1 Divisores Cocientes

13 © GELV DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES 1º ESO | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS D (220) = {1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110} = Descomposición factorial D (284) = {1,2,4,71,142} = 220 NUMEROS AMIGOS: son parejas de números en los que la suma de los divisores de uno de ellos da como resultado el otro y recíprocamente.

14 © GELV 6. Máximo común divisor DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES 1º ESO | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS El máximo común divisor (m.c.d.) de varios números es el mayor de los divisores comunes. Si descomponemos los números en factores primos, multiplicamos los factores comunes elevados al menor exponente m.c.d. (90, 84) = 2 · 3 = 6 90 = 2· 3 2 · 5 84 = 2 2 · 3 · 7

15 © GELV 6. Máximo común divisor DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES 1º ESO | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS Otra manera de calcular el máximo común divisor (m.c.d.) m.c.d. (72, 80, 200) = 2 3 = No hay más

16 © GELV 7. Mínimo común múltiplo DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES 1º ESO | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de varios números es el menor de los múltiplos comunes. Si descomponemos los números en factores primos, se multiplican todos los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente m.c.m. (90,84) = 2 2 · 3 2 · 5 · 7 = = 2· 3 2 · 5 84 = 2 2 · 3 · 7

17 © GELV DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES 1º ESO | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS Otra manera de calcular el mínimo común múltiplo (m.c.d.) m.c.d. (45, 70, 50) = 2 · 3 2 · 5 2 · 7= Mínimo común múltiplo


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