Apuntes de Matemáticas 2º ESO

Presentación del tema: "Apuntes de Matemáticas 2º ESO"— Transcripción de la presentación:

1 Apuntes de Matemáticas 2º ESO
U.D. 5 * 2º ESO EXPRESIÓN ALGEBRAICA @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

2 Operaciones con polinomios
U.D * 2º ESO Operaciones con polinomios @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

3 Apuntes de Matemáticas 2º ESO
SUMA DE POLINOMIOS La suma de dos polinomios es otro polinomio, que se obtiene sumando primero los términos semejantes de ambos, y a continuación los no semejantes. La operación de sumar los términos semejantes, expresando el resultado como un único término se llama: REDUCIR TÉRMINOS SEMEJANTES. EJEMPLO 1 Sea P(x) = 4.x3 + 7.x2 - 5.x y Q(x) = 7.x x2 - 3 P(x) + Q(x) = ( 4.x3 + 7.x2 - 5.x ) + (7.x x2 – 3 ) = = 4.x3 + 7.x2 - 5.x + 7.x x2 - 3 = = 11.x x2 - 5.x - 3 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

4 Apuntes de Matemáticas 2º ESO
SUMA DE POLINOMIOS EJEMPLO 2 Sea P(x) = 7.x2 - 5.x y Q(x) = 5.x2 - 3 P(x) + Q(x) = ( 7.x2 - 5.x ) + (5.x2 – 3 ) = 7.x2 - 5.x + 5.x2 – 3 = = 12.x3 - 5.x – 3 EJEMPLO 3 Sea P(x) = 7.x3 – x y Q(x) = 5.x2 + 3.x – 3 P(x) + Q(x) = (7.x3 – x + 5) + (5.x2 + 3.x – 3) = 7.x3 – x x2 + 3.x – 3 = = 7.x3 + 5.x2 + 2.x + 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

5 Otra forma de sumar polinomios
Otra forma de sumar dos o más polinomios es mediante columnas de términos semejantes. Ejemplo: P(x) = x x x Q(x) = x x - 3 P(x) + Q(x) = 5.x x3 + 3.x – 3 Otro ejemplo: P(x) = x – 2.x Q(x) = x x – 8 P(x) + Q(x) = 5.x x – 5 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

6 DIFERENCIA DE POLINOMIOS
Para restar un polinomio a otro se suma al polinomio minuendo el opuesto al sustraendo. Para ello se cambia de signo todos los monomios que forman el sustraendo. Y finalmente se reducen términos semejantes, ordenando el resultado de forma decreciente. EJEMPLO 1 Sea P(x) = 4.x3 + 7.x2 - 5.x y Q(x) = 7.x x2 - 3 P(x) - Q(x) = ( 4.x3 + 7.x2 - 5.x ) - (7.x x2 – 3 ) = = 4.x3 + 7.x2 - 5.x - 7.x x2 + 3 = = - 3.x3 + 2.x2 - 5.x + 3 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

7 DIFERENCIA DE POLINOMIOS
EJEMPLO 2 Sea P(x) = 7.x2 - 5.x y Q(x) = 5.x2 - 3 P(x) – Q(x) = ( 7.x2 – 5.x ) – (5.x2 – 3 ) = 7.x2 – 5.x – 5.x2 + 3 = = 2.x3 – 5.x + 3 EJEMPLO 3 Sea P(x) = 7.x3 – x y Q(x) = 5.x2 + 3.x – 3 P(x) – Q(x) = (7.x3 – x + 5) – (5.x2 + 3.x – 3) = 7.x3 – x + 5 – 5.x2 – 3.x + 3 = = 7.x3 + 5.x2 – 4.x + 8 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

8 Otra forma de restar polinomios
Otra forma de sumar dos o más polinomios es mediante columnas de términos semejantes. Ejemplo: P(x) = x x3 – 2.x Q(x) = x x – 3 P(x) + Q(x) = 5.x4 + x3 – 7.x + 3 Otro ejemplo: P(x) = x – 2.x Q(x) = x x – 8 P(x) + Q(x) = 5.x3 – 3.x2 – 4.x + 11 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

9 Producto de un número por P(x)
Para multiplicar un polinomio por un número se multiplica dicho número por todos los coeficientes numéricos de los monomios que lo forman. El resultado es otro polinomio del mismo grado. EJEMPLOS 3.P(x) = 3.(4.x + 3) = 12.x + 9 5.Q(x) = 5.(5.x x – 2) = 25.x x – 10 7.R(x) = 7.(x3 – 2.x + 6) = 7.x3 – 14.x + 42 (– 2).W(x) = (– 2).(3.x2 – 8.x – 5) = – 6.x x + 10 (– a).T(x) = (– a).(4.x2 – 3.x – 1) = – 4.a.x a.x + a @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

10 Producto de polinomios
Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio de uno de ellos por todos los monomios del otro polinomio El número de términos resultantes al multiplicar dos o más polinomios entre sí es el producto del número de términos de cada polinomio que interviene. Veamos algunos ejemplos: (4.x).(5.x x )  1.2 = 2 términos (4.x - 2).(5.x x )  2.2 = 4 términos (5.x x ).(x x - 3)  2.3 = 6 términos (5.x x + 7).(x x - 3)  3.3 = 9 términos (x x ).(x3 + x2 + x - 3)  2.4 = 8 términos (x x - 5).(x3 + x2 + x - 3)  3.4 = 12 términos Sabiendo esto no omitiremos ningún producto parcial. Ahora bien, una vez reducido el polinomio resultante, el número de términos, siempre menor o igual al expuesto aquí, será variable. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

11 Apuntes de Matemáticas 2º ESO
Ejemplo Multiplicar: (5.x x ).(x x - 3) (5.x x ).(x x - 3) = = (5.x2).(x x - 3) + (4.x ).(x x - 3) = = 5.x x3 – 15.x x x2 – 12.x = = 5.x x3 + x2 – 12.x Los 6 sumandos se han reducido a cuatro. Multiplicar: (x x ).(x3 + x2 + x – 3) (x x ).(x3 + x2 + x – 3) = = (x2).(x3 + x2 + x – 3) + (4.x).(x3 + x2 + x – 3) = = x5 + x4 + x3 – 3.x x x x2 – 12.x = = x x x3 + x2 – 12.x Los 8 sumandos se han reducido a cinco. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

12 División de P(x) entre un número
Para dividir un polinomio entre un número se dividen todos los coeficientes numéricos de los monomios que lo forman entre dicho número. El resultado es otro polinomio del mismo grado. EJEMPLOS P(x) / 3 = (4.x + 3) / 3 = (4/3).x + 1 Q(x) / 5 = (25.x x – 2) / 5 = 5.x2 + 0,80.x – 0,10 R(x) / 7 = (x3 – 2.x + 6) / 7 = (1/7).x3 – (2/7).x + (6/7) W(x) / (– 2) = (3.x2 – 8.x – 10) / (– 2) = – 1,50.x x + 5 T(x) / (– 3) = (12.x2 – 7.x – 3) / (– 3) = – 4.x2 + (7/3).x + 1 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

13 División de polinomios
Para dividir un polinomio entre un monomio dividimos cada término del polinomio por el monomio. Dicha división no siempre da por resultado otro polinomio. Ejemplo 1 Dividir ( 6.x4 + 4.x x2 ) entre 2.x2 6.x4 + 4.x x x x x2 = = 3.x x / 2 2.x x x x2 El resultado es un polinomio de grado 2 ( 4 – 2). @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

14 Apuntes de Matemáticas 2º ESO
Ejemplo 2 Dividir ( x x ) entre x x x x x = = x x – 5/x x x x x El resultado no es ni un monomio ni un polinomio. Ejemplo 3 Dividir ( x5 + 6.x4 - a.x3 + b.x2 ) entre 3.x2 x5 + 4.x4 - a.x3 + b.x x x a.x b.x2 = = 3.x x x x x2 = (1/3) x3 + 2 x2 – (a/3) x + b/3 El resultado es un polinomio de grado 3. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO