Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Presentación del tema: "Apuntes de Matemáticas 3º ESO"— Transcripción de la presentación:

1 Apuntes de Matemáticas 3º ESO
Polinomios TEMA 4 * 3º ESO @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

2 PRODUCTO DE POLINOMIOS
TEMA * 3º ESO @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

3 PRODUCTO DE POLINOMIOS
PRODUCTO DE MONOMIOS El producto de dos monomios ( semejantes o no ) es otro monomio, que tiene como coeficiente el producto de los coeficientes, como variable la misma y grado la suma de los grados de los monomios factores. EJEMPLO Sea 4.x3 y 5.x2 (4.x3 ). (5.x2 ) = 4.5. x3+2 = 20.x5 Sea 7.x3 y 5.a.x3 (7.x3 ). (5.a.x3 ) = 7.5.a. x3+3 = 35.a.x6 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

4 PRODUCTO DE POLINOMIOS
PRODUCTO DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO El producto de un monomio por un polinomio es el que resulte de multiplicar dicho monomio por todos y cada uno de los monomios del polinomio, reduciendo finalmente términos semejantes. EJEMPLO Sea el monomio 4.x3 y P(x) = 5.x x x (4.x3).P(x) = ( 4.x3 ).(5.x x x ) = = ( 4.x3 ).(5.x4 ) + ( 4.x3 ).(4.x3 ) + ( 4.x3 ).( - 2.x ) = = 20.x x x4 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

5 Apuntes de Matemáticas 3º ESO
OTRO EJEMPLO Sea el monomio 4.x.y P(x) = 5.y.x y2.x – 2.x.y + 3 (4.x.y).P(x) = ( 4.x.y). (5.y.x y2.x – 2.x.y + 3 ) = = (4.x.y).(5.y.x2 ) + (4.x.y).( 4.y2.x ) + (4.x.y).(– 2.x.y ) + (4.x.y).(3) = = 20.x3.y x2.y x2.y x.y UN EJEMPLO MÁS Sea el monomio 4.a.x P(x) = 5.a.x a2.x (4.a.x).P(x) = ( 4.a.x). (5.a.x a2.x) = = (4.a.x).(5.a.x2 ) + (4.a.x).( 4.a2.x ) = 20.a2.x a2.x2 Nota: Como la x es la variable, a forma parte del coeficiente. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

6 Apuntes de Matemáticas 3º ESO
Aclaración previa Los que tengan dificultad en multiplicar polinomios pueden hacerlo por columnas de términos semejantes: P(x) = x x x Q(x) = x x 25.x x4 – 10. x2 15.x x – 6. x4 15.x x x x x2 Sin embargo, es más práctico y rápido hacerlo linealmente: P(x).Q(x) = (5.x x x).(3.x x) = (25.x x4 – 10. x2 ) + + (15.x x6 – 6. x4) = 15.x x x x4 - 6.x4 – 10.x2 = = 15.x x x x x2 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

7 PRODUCTO DE POLINOMIOS
El producto de dos polinomios es el que resulte de multiplicar todos y cada uno de los términos de uno de ellos por todos y cada uno de los términos del otro, reduciendo finalmente términos semejantes. EJEMPLO 1 Sea P(x) = 4.x y Q(x) = 5.x x – 2 P(x).Q(x) = ( 4.x + 3 ).( 5.x x – 2 ) = = ( 4.x ). (5.x x – 2 ) + (3). ( 5.x x – 2 ) = = (20.x x2 – 8.x) + ( 15.x x – 6 ) = = 20.x x2 – 8.x + 15.x x – 6 = 20.x x x – 6 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

8 PRODUCTO DE POLINOMIOS
EJEMPLO 2 Sea P(x) = a.x y Q(x) = x x – b P(x).Q(x) = ( a.x + 3 ).( x x – b ) = = ( a.x ). (x x – b ) + (3). ( x x – b ) = = (a.x a.x2 – a.b.x) + ( 3.x x – 3b ) = = a.x a.x2 – a.b.x + 3.x x – 3.b = = a.x3 + (4.a + 3).x2 + (12 – a.b).x – 3.b Nota: En este ejemplo “a” y “b” no son variables, puesto que la x es la única variable que hay. Son coeficientes, aunque no sabemos su valor. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

9 PRODUCTO DE POLINOMIOS
Nota al PRODUCTO DE POLINOMIOS El número de términos resultantes al multiplicar dos o más polinomios entre sí es el producto del número de términos de cada polinomio que interviene. Veamos algunos ejemplos: (4.x).(5.x x )  1.2 = 2 términos (4.x - 2).(5.x x )  2.2 = 4 términos (5.x x ).(x x - 3)  2.3 = 6 términos (5.x x + 7).(x x - 3)  3.3 = 9 términos (x x ).(x3 + x2 + x - 3)  2.4 = 8 términos (x x - 5).(x3 + x2 + x - 3)  3.4 = 12 términos Sabiendo esto no omitiremos ningún producto parcial. Ahora bien, una vez reducido el polinomio resultante, el número de términos, siempre menor o igual al expuesto aquí, será variable. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

10 Apuntes de Matemáticas 3º ESO
FACTOR COMÚN En numerosas ocasiones nos interesa el proceso inverso de multiplicar monomios y polinomios, es decir nos interesa SACAR FACTOR COMÚN para que la expresión polinómica quede como un producto de polinomios. EJEMPLO 1 Sea P(x) = 5.x x Factor común: x  P(x) = x.(5.x + 4) EJEMPLO 2 Sea P(x) = 4.x2 – 12.x Factor común: 4.x  P(x) = 4.x.(x – 3) EJEMPLO 3 Sea P(x) = 3.x2 – 7.x Factor común: 3.x  P(x) = 3.x.(x – 7/3) El 7 no es divisible entre 3, pero lo que parecía imposible no lo es utilizando números fraccionarios. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

11 Apuntes de Matemáticas 3º ESO
FACTOR COMÚN EJEMPLO 4 Sea P(x) = 5.a3 + m.a2 – a Factor común: a  P(x) = a.(5.a2 + m.a – 1) Al extraer la “a” de “– a”, queda “– 1”. No desaparece el término. EJEMPLO 5 Sea P(x) = x4 – x3 + x2 – x Factor común: x  P(x) = x.(x3 – x2 + x – 1) Pero veamos tomando dos a dos: P(x) = (x4 + x2) – (x3 + x) Factor común: x2 y x  P(x) = x2.(x2 + 1) – x.(x2 + 1) He obtenido otro factor común: (x2 + 1) Con lo cual: P(x) = (x2 + 1).(x2 – x) Y aún puedo sacar otro factor común, x, quedando: P(x) = (x2 + 1).x.(x – 1) @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

12 Apuntes de Matemáticas 3º ESO
FACTOR COMÚN EJEMPLO 6 Sea P(x) = 8.x3 + 6.x2 + 4.x + 3 Advertencia de error: Sacar factor común a los tres primeros términos no es nada útil. Quedaría: P(x) = x.(8.x2 + 6.x + 4) + 3 Veamos tomando dos a dos: P(x) = (8.x3 + 4.x) + (6.x2 + 3) Factor común: 4.x y 3  P(x) = 4.x.(2.x2 + 1) + 3.(2.x2 + 1) He obtenido otro factor común: (2.x2 + 1) Con lo cual: P(x) = (2.x2 + 1).(4.x + 3) Y, si me interesa, aún puedo sacar otro factor común, el 4, quedando: P(x) = (2.x2 + 1).4.(x + 3/4) @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO