@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 U.D. 3 EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 U.D. 3 EXPRESIONES ALGEBRAICAS

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I2 U.D. 3.4 * 1º BCS DIVISIÓN DE POLINOMIOS

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I3 DIVISIÓN DE POLINOMIOS El resultado de dividir monomios o polinomios entre sí no siempre va a ser un monomio o un polinomio. Ejemplos: 6.x 4 : 2.x = (6/2).x 3 = 3.x 3, que es un monomio. 6.x : 3.x 2 = 2 / x, que no es un monomio. (6.x 4 - 2.x) : 2.x = 3.x 3 - 1, que es un polinomio (4.x - 6.x 4 ) : 3.x = (4/3) – 2.x 3, que es un polinomio (6.x 4 - 2.x) : x 2 = 6.x 2 - 2/x, que no es un polinomio

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I4 DIVISIÓN ENTERA DE POLINOMIOS Las reglas operativas son : 1. ‑ Reducir dividendo y divisor. 2. ‑ Ordenador dividendo y divisor de forma decreciente. 3. ‑ Si el dividendo es incompleto, dejar huecos. 4. ‑ Aplicar el algoritmo correspondiente para dividir. 5. ‑ Terminar cuando el grado del resto sea menor que el grado del divisor. 6.- Comprobar el resultado,pues siempre se cumplirá: D(x) = d(x).c(x) + r(x). DIVISIÓN ENTERA

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I5 ALGORITMO DE LA DIVISIÓN Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor. Lo que da es el primer término del cociente. Se multiplica el primer término del cociente hallado por todo el divisor. Lo que da hay que restárselo al dividendo. Obtenemos así un nuevo dividendo. Y se repiten las anteriores operaciones para conseguir los restantes términos del cociente. DIVISIÓN EXACTA Si el resto se anula, es cero, la división se llama exacta. El polinomio dividendo habrá quedado factorizado: D(x) = d(x). c(x) ALGORITMO DE LA DIVISIÓN

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I6 Ejemplo_1 de división de polinomios Sea P(x) = x 3 + 4.x 2 - 5 y Q(x) = x + 5 Hallemos P(x) : Q(x) 1.-Están ya ambos reducidos. 2.- Están ya ambos ordenados decrecientemente. 3.- El dividendo es incompleto, luego hay que dejar hueco en el término de x. 4.- Aplicamos el algoritmo para dividir:

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I7 x 3 + 4.x 2 - 5 x + 5 x 2 Pues x 3 : x = x 2 x 3 + 4.x 2 - 5 x + 5 - x 3 - 5.x 2 x 2 Pues se multiplica x 2. (x +5) Y como vamos a restar lo que nos dé se cambia de signo.

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I8 x 3 + 4.x 2 - 5 x + 5 - x 3 - 5. x 2 x 2 - x 2 - 5 Se repite las operaciones: x 3 + 4.x 2 - 5 x + 5 - x 3 - 5. x 2 x 2 – x + 5 - x 2 - 5 x 2 + 5.x - 5 5.x - 5 - 5.x - 25 - 30

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I9 5.- Como el resto ( - 30) es de grado menor que el divisor (x + 5) se habrá terminado la división. c(x) = x 2 - x + 5 r(x) = - 30 6.- Se comprueba que D(x) = d(x).c(x)+r(x) x 3 + 4.x 2 - 5 = (x + 5).(x 2 - x + 5) + (-30) x 3 + 4.x 2 - 5 = x 3 - x 2 + 5.x + 5.x 2 - 5.x + 25 -30 x 3 + 4.x 2 - 5 = x 3 + 4.x 2 - 5

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I10 Ejemplo 2 de división de polinomios Sea P(x) = x 3 + 4.x 2 - 2.x + 5 y Q(x) = x 2 + 5 Hallemos P(x) : Q(x) 1.-Están ya ambos reducidos. 2.- Están ya ambos ordenados decrecientemente. 3.- Ambos son polinomios completos, luego no hay que dejar huecos. 4.- Aplicamos el algoritmo para dividir:

11 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I11 x 3 + 4.x 2 - 2.x + 5 x 2 + 5 x Pues x 3 : x 2 = x x 3 + 4.x 2 - 2.x + 5 x 2 + 5 - x 3 - 5.x x Pues se multiplica x. (x 2 +5) Y como vamos a restar lo que nos dé se cambia de signo.

12 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I12 x 3 + 4.x 2 - 2.x + 5 x 2 + 5 - x 3 - 5.x x 4.x 2 - 7.x + 5 Se repite las operaciones: x 3 + 4.x 2 - 2.x + 5 x 2 + 5 - x 3 - 5.x x + 4 4.x 2 - 7.x + 5 - 4.x 2 - 20 - 7.x - 15

13 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I13 x 3 + 4.x 2 - 2.x + 5 x 2 + 5 - x 3 - 5.x x + 4 4.x 2 - 7.x + 5 - 4.x 2 - 20 - 7.x - 15 5.- Como el resto ( -7.x – 15) es de grado menor que el dividor (x 2 + 5) se habrá terminado la división. C(x) = x+4 R(x) = - 7.x – 15 6.- Se comprueba que D(x) = d(x).C(x)+R(x)

14 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I14 Problemas PROBLEMA 1 Hallar el valor de a para que la siguiente división sea exacta: 2.x 3 + 4.x 2 - 5.x + a : x 2 + x 2.x 3 + 4.x 2 - 5.x + a x 2 + x - 2x 3 - 2x 2 2.x + 2 2.x 2 -5.x - 2.x 2 - 2.x - 7.x + a Para a = 0 el resto es R(x) = - 7.x Para a <> 0 el resto es R(x) = - 7.x + a Luego no hay ningún valor de a que haga R(x) = 0

15 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I15 Problemas PROBLEMA 2 Hallar el valor de a para que la siguiente división sea exacta: 2.x 3 + 4.x 2 - 5.x + a : x + 5 2.x 3 + 4.x 2 - 5.x + a x + 5 - 2x 3 – 10.x 2 2x 2 – 6.x + 25 - 6.x 2 - 5.x + 6.x 2 +30.x 25.x + a - 25.x - 125 a – 125 Para a = 125 el resto es R(x) = 0  División exacta

16 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I16 Problemas PROBLEMA 3 Hallar el valor de a para que la siguiente división sea exacta: x 3 + 4.x 2 - a.x + 5 : x 2 + 5 x 3 + 4.x 2 - a.x + 5 x 2 + 5 - x 3 - 5.x x + 4 4.x 2 - (5+a).x + 5 - 4.x 2 - 20 - (5+a).x - 15 Para a = - 5 el resto es R(x) = - 15 Para a <> - 5 el resto es R(x) = - (5+a).x - 15 Luego no hay ningún valor de a que haga R(x) = 0

17 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I17 Problemas PROBLEMA 4 Hallar el valor de a y de b para que la siguiente división sea exacta: x 3 + 4.x 2 - b.x + a : x – 1 x 3 + 4.x 2 – b.x + a x – 1 – x 3 + x 2 x 2 + 5.x + (5 – b) 5.x 2 – b.x – 5.x 2 + 5.x (5 – b).x + a – (5 – b).x + (5 – b) a + 5 – b R(x) = 0  División exacta  a – b + 5 = 0  b – a = 5