@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 TEMA 3 EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 TEMA 3 EXPRESIONES ALGEBRAICAS

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I2 TEMA 3.2 * 1º BCS SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I3 La suma de dos polinomios es otro polinomio, que se obtiene sumando primero los términos semejantes de ambos, y a continuación los no semejantes. La operación de sumar los términos semejantes, expresando el resultado como un único término se llama REDUCIR TÉRMINOS SEMEJANTES. EJEMPLO Sea P(x) = 4.x 3 + 7.x 2 - 5.x y Q(x) = 7.x 3 + 5.x 2 - 3 P(x) + Q(x) = ( 4.x 3 + 7.x 2 - 5.x ) + (7.x 3 + 5.x 2 – 3 ) = = 4.x 3 + 7.x 2 - 5.x + 7.x 3 + 5.x 2 - 3 = = 11.x 3 + 12.x 2 - 5.x - 3 Suma de polinomios

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I4 EJEMPLO 2 Sea P(x) = x 4 + 7.x 2 – 3.x y Q(x) = 7.x 3 + 5.x – 8 P(x) + Q(x) = (x 4 + 7.x 2 – 3.x ) + (7.x 3 + 5.x – 8) = = x 4 + 7.x 2 – 3.x + 7.x 3 + 5.x – 8 = = x 4 + 7.x 3 + 7.x 2 + 2.x – 8 EJEMPLO 3 Sea P(x) = a.x 3 + 7.x 2 – b.x y Q(x) = 7.x 3 + b.x 2 – a P(x) + Q(x) = (a.x 3 + 7.x 2 – b.x) + (7.x 3 + b.x 2 – a) = = a.x 3 + 7.x 2 – b.x + 7.x 3 + b.x 2 – a = = (7 + a).x 3 + (7 + b).x 2 – b.x – a

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I5 Para restar un polinomio a otro se suma al polinomio minuendo el opuesto al sustraendo. Para ello se cambia de signo todos los monomios que forman el sustraendo. EJEMPLO 1 Sea P(x) = 4.x 3 + 7.x 2 - 5.x y Q(x) = 7.x 3 + 5.x 2 - 3 P(x) - Q(x) = ( 4.x 3 + 7.x 2 - 5.x ) - (7.x 3 + 5.x 2 – 3 ) = = 4.x 3 + 7.x 2 - 5.x - 7.x 3 - 5.x 2 + 3 = = - 3.x 3 + 2.x 2 - 5.x + 3 Diferencia de polinomios

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I6 EJEMPLO 2 Sea P(x) = 4.x 3 + 7.x 2 - a.x y Q(x) = 7.x 3 + b.x 2 - 3 P(x) - Q(x) = ( 4.x 3 + 7.x 2 - a.x ) - (7.x 3 + b.x 2 – 3 ) = = 4.x 3 + 7.x 2 - a.x - 7.x 3 - b.x 2 + 3 = = - 3.x 3 + (7 – b).x 2 - a.x + 3 EJEMPLO 3 Sea P(x) = a.x 3 + b.x 2 - 5.x y Q(x) = 7.x 3 + 5.x 2 - c P(x) - Q(x) = ( a.x 3 + b.x 2 - 5.x ) - (7.x 3 + 5.x 2 – c ) = = a.x 3 + b.x 2 - 5.x - 7.x 3 - 5.x 2 + c = = (a – 7).x 3 + (b – 5).x 2 - 5.x + c

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I7 El producto de un número por un polinomio es otro polinomio de igual grado que el inicial cuyos coeficientes son los del inicial multiplicados por dicho número. EJEMPLOS Sea 3.P(x) = 3.(2.x 3 + 5.x 2 – 6) = 6.x 3 + 15.x 2 – 18 Sea (– 2).P(x) = (– 2).(x 4 + 7.x 2 – x) = – 2.x 4 – 14.x 2 + 2.x Sea √5.P(x) = √5.(√5.x 3 + 5.x 2 – √5) = 5.x 3 + 5√5.x 2 – 5 Sea e.P(x) = e.(x 3 + e.x 2 – e 2 ) = e.x 3 + e 2.x 2 – e 3 Sea (1/2).P(x) = (1/2).(2.x 4 + 8.x 3 – 6.x) = x 4 + 4.x 3 – 3.x Producto número por polinomio

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I8 El producto de dos polinomios es el que resulte de multiplicar todos y cada uno de los términos de uno de ellos por todos y cada uno de los términos del otro, reduciendo finalmente términos semejantes. EJEMPLO 1 Sea P(x) = 4.x + 3 y Q(x) = 5.x 2 + 4.x – 2 P(x).Q(x) = ( 4.x + 3 ).( 5.x 2 + 4.x – 2 ) = = ( 4.x ). (5.x 2 + 4.x – 2 ) + (3). ( 5.x 2 + 4.x – 2 ) = = (20.x 3 + 16.x 2 – 8.x) + ( 15.x 2 + 12.x – 6 ) = = 20.x 3 + 16.x 2 – 8.x + 15.x 2 + 12.x – 6 = = 20.x 3 + 31.x 2 + 4.x – 6 Producto de polinomios

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I9 EJEMPLO 2 Sea P(x) = 9.x 2 – 4 y Q(x) = 4.x 2 – 9 P(x).Q(x) = (9.x 2 – 4).(4.x 2 – 9) = = 9.x 2.(4.x 2 – 9) – 4.(4.x 2 – 9) = = 36.x 4 – 81.x 2 – 16.x 2 + 36 = 36.x 4 – 97.x 2 + 36 EJEMPLO 3 Sea P(x) = x 2 – 4 y Q(x) = x 3 – 8 P(x).Q(x) = (x 2 – 4).(x 3 – 8) = = x 2.(x 3 – 8) – 4.(x 3 – 8) = = x 5 – 8.x 2 – 4.x 3 + 32 = x 5 – 4.x 3 – 8.x 2 + 32

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I10 Nota al PRODUCTO DE POLINOMIOS El número de términos resultantes al multiplicar dos o más polinomios entre sí es el producto del número de términos de cada polinomio que interviene. Veamos algunos ejemplos: (4.x).(5.x 2 + 4.x )  1.2 = 2 términos (4.x - 2).(5.x 2 + 4.x )  2.2 = 4 términos (5.x 2 + 4.x ).(x 2 + 4.x - 3)  2.3 = 6 términos (5.x 2 + 4.x + 7).(x 2 + 4.x - 3)  3.3 = 9 términos (x 2 + 4.x ).(x 3 + x 2 + x - 3)  2.4 = 8 términos (x 2 + 4.x - 5).(x 3 + x 2 + x - 3)  3.4 = 12 términos Sabiendo esto no omitiremos ningún producto parcial. Ahora bien, una vez reducido el polinomio resultante, el número de términos, siempre menor o igual al expuesto aquí, será variable.

11 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I11 Aplicación economía 1 Un comerciante de ordenadores observa que si establece el precio en 600 € vende 15 ordenadores al mes, y que por cada 75 € que baje el precio vende 5 unidades más al mes. Escribe una expresión que determine el número de ordenadores vendidos en función del precio, así como otra que nos de el gasto de mantenimiento mensual, sabiendo que cumple la función G(x) = 100+10.x, siendo x los ordenadores vendidos. Resolución: Al principio con un precio de 600 € vende 15 ordenadores. Sea p = precio al que finalmente vende cada ordenador. El número de ordenadores vendidos vendrá dado por: 600 – p 600 – p 225 + 600 – p 825 – p N = 15 + [ ------------].5 = 15 + -------------- = -------------------- = ------------ 75 15 15 15 G(p) = 100 + 10.(55 – p/15) = 100 + 550 – (10/15).p = 650 – (2/3).p

12 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I12 Aplicación economía 2 Los costes, en euros, por imprimir entre 200 y 400 libros en una imprenta, vienen dados por la expresión: C(x) = – (4 / 25).x 2 + 70.x + 600 Mientras que el precio de venta al público por libro es de P(x) = 2000 – 4.x Donde x es el número de libros imprimidos. Escribe una expresión que determine los beneficios de la empresa en función del número de libros imprimidos, suponiendo que se venden todos. Resolución: Beneficios = Venta – Costes B(x) = x.(2000 – 4.x) – (– 0,16.x 2 + 70.x + 600 ) B(x) = 2000.x – 4. x 2 + 0,16.x 2 – 70.x – 600 B(x) = – 3,84. x 2 + 1930.x – 600 Curiosidad (por ahora, pues se verá en el tema 10): Se deben fabricar y vender 251 libros para obtener el máximo beneficio.