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Matemáticas Maestría en Politicas Publicas Dr. Favio Murillo García.

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1 Matemáticas Maestría en Politicas Publicas Dr. Favio Murillo García

2 Presentación del curso Temario: Álgebra Cálculo diferencial Cálculo integral

3 Representación Gráfica (recta numérica) 0 1 2 3 4 R NÚMEROS NATURALES ( N ) Mediante un punto negro representamos el 1, el 3 y el 4 NÚMEROS ENTEROS ( Z ) - 2 - 1 0 1 2 R Mediante un punto negro representamos el - 1, el 1 y el 2

4 Adición 0 1 2 3 4 R Sume los números 2 + 2 Sume los números 2+(-3) - 2 - 1 0 1 2 R

5 Ley de signos En suma y resta: Números con signo igual: SE SUMAN. Números con signo diferente: SE RESTAN y prevalece el signo del mayor. En multiplicación y división Números con signo igual: el resultado es POSITIVO. Números con signo diferente: el resultado es NEGATIVO.

6 6 Lenguaje algebraico

7 7 Expresión algebraica EXPRESIÓN ALGEBRAICA Una expresión algebraica es toda combinación de números y letras unidas por los signos de las operaciones aritméticas: Adición, sustracción, multiplicación, división y potencia. A las letras se las llama variables, son cantidades desconocidas. Normalmente es la x, aunque puede haber más: y, z, etc. Los términos son cada uno de los sumandos: Pueden ser literales si llevan variable, o independientes si no la llevan. Al factor numérico, o número que multiplica o divide a una letra, se le denomina coeficiente. Si no está indicado vale 1. Ejemplos(en la praxis el punto no se escribe): 4.x + y/5 – z El 4 es el coeficiente de x, el 1/5 el de y, y el -1 de z. (4.x + y)/5 – 3.z El 4/5 es el coeficiente de x, el 1/5 el de y, y el -3 de z.

8 8 Utilidad del álgebra: Ejercicios Escribe los enunciados y a continuación, con distinto color, las expresiones algebraicas que representan dichos enunciados: a) Número de ruedas necesarias para fabricar x coches. b) Número de patas de un corral con “a” gallinas y “b” conejos. c) Un número menos 3. d) La mitad de un número. e) Restar la mitad de un número al 2. f) Doble de un número menos 5. g) Doble de un número, menos 5. h) Cuadrado de un número más 7. i) Cuadrado de un número, más 7.

9 9 Escribe los enunciados y a continuación, con distinto color, las expresiones algebraicas que representan dichos enunciados: j) La tercera parte de un número más su quinta parte. k) Dos quinto de un número. l) El triple de un número más 1. m) La edad de Pedro hace cuatro años. n) La edad de Juan dentro de 15 años. o) Mi padre me da el doble del dinero que tenía. ¿Cuánto tengo ahora? p) Dos números se diferencian en 5 unidades. q) El cociente de dos números es igual a tres veces su suma. r) El producto de dos números dividido por su suma es 5. s) La diferencia de los cubos de dos números. Utilidad del álgebra: Ejercicios

10 10 Escribe los enunciados y a continuación, con distinto color, las expresiones algebraicas que representan dichos enunciados: t) El área de un rectángulo. u) El perímetro de un rectángulo. v) El área de un cuadrado. w) El perímetro de un cuadrado. x) El área de un círculo. y) El perímetro de un círculo. z) La raíz cuadrada de un número menos 3. z) La raíz cuadrada de un número, menos 3. z)La diferencia de las raíces cuadradas de un número y de 3. Utilidad del álgebra: Ejercicios

11 11 Utilidad del álgebra: Ejemplo_1 El IVA, en la mayoría de los artículos, es del 16%. Si llamamos x al VP sin IVA, lo que pagaremos al comprar dicho artículo con factura será: 16 x + -----. x 100 El precio final será x+0,16.x Hemos de pagar 1,16.x, siendo x el VP. Valga lo que valga el artículo, la expresión algebraica la podemos utilizar siempre. Si llamamos P al precio final, queda: P = 1,16.x, que es lo que llamamos FÓRMULA.

12 12 Utilidad del álgebra: Ejemplo_2 Sea un rectángulo. Llamamos b a lo que mide el lado de la base. Llamamos h a lo que mide el lado de la altura. El perímetro de un rectángulo es: 2.b+2.h El área de un rectángulo es: b.h Aunque tengamos millones de rectángulos distintos, la expresión algebraica la podemos emplear siempre, con independencia de lo que midan sus lados. Si empleamos: P = 2.b+2.h A = b.h Entonces las expresiones se convierten en FÓRMULAS.

13 13 Utilidad del álgebra: Ejemplo_3 La nota media de dos exámenes más la nota por su actitud en clase es la nota de la evaluación de un alumno: Llamamos x a la nota de un examen. Llamamos y a la nota del otro examen. Llamamos z a la nota de clase. Cualquiera que sean las notas de los exámenes y el alumno en cuestión, la nota de evaluación será siempre: x + y ------- + z 2 Si llamamos N a la nota de la evaluación, la expresión algebraica se convierte en la Fórmula: x + y N = -------- + z 2

14 14 Utilidad del álgebra: Ejemplo_4 Al reparar un ordenador a domicilio, un técnico cobra 30 € por salida y 10 € cada media hora de trabajo. Llamamos x a las horas que ha estado reparando el ordenador. Nos cobrará al final: 30 + 2.x. 10 Si llamamos P al precio final, la expresión algebraica se convierte en la Fórmula: P = 30 + 20.x Nota: Hay que tener en cuenta que falta el IVA, y además se puede complicar la expresión si cambia alguna pieza.

15 15 La suma ( o diferencia ) de dos monomios semejantes es otro monomio, que tiene como coeficiente la suma ( o diferencia ) de coeficientes y como parte literal la misma que la de los sumandos. Si los monomios no son semejantes, el resultado es un POLINOMIO EJEMPLOS 4.x 3 + 7.x 3 - 5.x 3 = ( 4 + 7 – 5 ).x 3 = 6.x 3  Monomio 4.x 3 + a.x 3 - x 3 = ( 4 + a – 1 ).x 3 = ( 3 + a ).x 3  Monomio 4.x 3 + 7.x 3 - 5.x 2 = ( 4 + 7).x 3 - 5.x 2 = 11.x 3 - 5.x 2  Polinomio Suma de monomios

16 16 EJEMPLOS 4.x 3 + 5.x 3 = (4+5).x 3 = 9.x 3 3.x 2 – 5.x 2 = (3 – 5).x 2 = – 2.x 2 2.x 4 – 7.x 4 + 8.x 4 = (2 – 7 + 8).x 4 = 3.x 4 7.x 3 + a.x 3 = (7 + a).x 3 5.x 2 + a.x 2 + x 2 = (5+a+1).x 2 = (6+a).x 2 Nota importante: Como se ve la suma o resta de monomios semejantes es siempre un monomio, aunque su coeficiente sea mixto.

17 17 EJEMPLOS 4.x 3 + 5.x = 4.x 3 + 5.x 3.x 2 – 5.x 2 + 4.x = (3 – 5).x 2 + 4.x = – 2.x 2 + 4.x 2.x 4 – 7.x 3 + 8.x 4 = (2 + 8).x 4 – 7. x 3 = 10.x 4 – 7.x 3 7.x 3 + a.x 3 + 3.x – 5 = (7 + a).x 3 + 3.x – 5 5.x 3 + a.x 2 + x 3 = (5+1).x 3 + a.x 2 = 6.x 3 + a.x 2 Nota importante: Como se ve la suma o resta de monomios no semejantes es siempre un polinomio.

18 18 El producto de dos monomios ( semejantes o no ) es otro monomio, que tiene como coeficiente el producto de los coeficientes, como variable la misma y grado la suma de los grados de los monomios factores. EJEMPLO Sea 4.x 3 y 5.x 2 (4.x 3 ). (5.x 2 ) = 4.5. x 3+2 = 20.x 5 EJEMPLO Sea 7.x 3 y 5.a.x 3 (7.x 3 ). (5.a.x 3 ) = 7.5.a. x 3+3 = 35.a.x 6 Producto de monomios

19 19 PRODUCTO DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO El producto de un monomio por un polinomio es el que resulte de multiplicar dicho monomio por todos y cada uno de los monomios del polinomio, reduciendo finalmente términos semejantes. EJEMPLO Sea el monomio 4.x 3 y P(x) = 5.x 4 + 4.x 3 - 2.x (4.x 3 ).P(x) = ( 4.x 3 ).(5.x 4 + 4.x 3 - 2.x ) = = ( 4.x 3 ).(5.x 4 ) + ( 4.x 3 ).(4.x 3 ) + ( 4.x 3 ).( - 2.x ) = = 20.x 7 + 16.x 6 - 8.x 4

20 20 OTRO EJEMPLO Sea el monomio 4.x.y P(x) = 5.y.x 2 + 4.y 2.x – 2.x.y + 3 (4.x.y).P(x) = ( 4.x.y). (5.y.x 2 + 4.y 2.x – 2.x.y + 3 ) = = (4.x.y).(5.y.x 2 ) + (4.x.y).( 4.y 2.x ) + (4.x.y).(– 2.x.y ) + (4.x.y).(3) = = 20.x 3.y 2 + 16.x 2.y 3 - 8. x 2.y 2 + 12.x.y UN EJEMPLO MÁS Sea el monomio 4.a.x P(x) = 5.a.x 2 + 4.a 2.x (4.a.x).P(x) = ( 4.a.x). (5.a.x 2 + 4.a 2.x) = = (4.a.x).(5.a.x 2 ) + (4.a.x).( 4.a 2.x ) = 20.a 2.x 3 + 16.a 3.x 2

21 21 La división de dos monomios ( semejantes o no ) es otro monomio, que tiene como coeficiente la división de los coeficientes, como variable la misma y grado la diferencia de los grados de dividendo y divisor. EJEMPLO Sea 20.x 5 y 5.x 2 (20.x 5 ) : (5.x 2 ) = (20/5). x 5 – 2 = 4.x 3 EJEMPLO Sea 2.x 3 y 5.x (2.x 3 ) : (5.x ) = (2/5). x 3 – 1 = 0,4.x 2 División de monomios

22 22 COCIENTE DE MONOMIOS El cociente de dos monomios ( semejantes o no ) es otro monomio, que tiene como coeficiente la división de los coeficientes, como variable la misma y grado la diferencia de los grados de los monomios factores. EJEMPLO Sea 4.x 3 y 5.x 2 (4.x 3 ) / (5.x 2 ) = (4/5). x 3 – 2 = 0,8.x EJEMPLO Sea 14.x 5 y 7.a.x 3 (14.x 5 )/ (7.a.x 3 ) = (14/7.a). x 5 – 3 = (2/a).x 2

23 23 La potencia de un monomio es otro monomio, que tiene como coeficiente la potencia del coeficiente de la base, como variable la misma y grado el producto de las potencias. EJEMPLO 1 Sea (4.x 3 ) 2 (4.x 3 ) 2 = (4) 2. (x 3 ) 2 = 16. x 3.2 = 16.x 6 EJEMPLO 2 Sea [ 3. ( x 5 ) 2 ] 3 [ 3. ( x 5 ) 2 ] 3 = 3 3. ( x 5x2 ) 3 = 3 3. x 5x2x3 = 27. x 30 Potencia de monomios

24 24 EJEMPLO 3 Sea [(1/2 ).x 2 ] 3 (1/2) 3. (x 2 ) 3 = (1/8). x 2.3 = (1/8).x 6 EJEMPLO 4 Sea (2.x 4 ) 5 (2) 5. (x 4 ) 5 = 32.x 4.5 = 32.x 20 EJEMPLO 5 Sea (2.x 3.y) 4 (2) 4. (x 3 ) 4.y 4 = 16.x 3.4.y 4 = 16.x 12.y 4

25 POLINOMIO Es una expresión algebraica formada por la suma o diferencia de monomios. Cada monomio que forma el polinomio se le llama TÉRMINO, Aquel monomio que no contenga parte literal, sólo números, se le llama TÉRMINO INDEPENDIENTE. EJEMPLOS P(x) = 4.x 3 + 7.x 2 - 5.x P(x) = - 7.x + 5 P(x, y) = x 3 + 7.y 2 - 5.x.y

26 GRADO DE UN POLINOMIO Es el mayor grado de los monomios que lo forman. EJEMPLOS P(x) = 4.x 3 + 7.x 2 - 5.x  Grado de P(x) = 3 Q(x) = - 7.x + 5  Grado de Q(x) = 1 R(x, y) = x 3. y + 7.y 2 - 5.x.y  Grado de R(x, y) = 3 respecto x

27 TIPOS DE POLINOMIOS REDUCIDOS Tiene sumados los términos semejantes NO REDUCIDOS Contiene dos o más términos semejantes. COMPLETOS Sus términos tienen todos los grados, desde el del polinomio a cero. INCOMPLETOS Falta algún término de grado menor que el del polinomio. ORDENADOS Sus términos están ordenados por el grado de la variable. NO ORDENADOS Sus términos están desordenados según el grado de los mismos. Es muy importante que un polinomio esté REDUCIDO y ORDENADO DECRECIENTEMENTE para poder operar correctamente con él.

28 EJEMPLOS DE TIPOS DE POLINOMIOS REDUCIDOS P(x) = 20.x 3 + 31.x 2 + 4.x – 6 NO REDUCIDOS P(x) = 2.x 3 + 7.x - 31.x 2 + 4.x – 6 COMPLETOS P(x) = x 3 + 3.x 2 + 4.x – 6 INCOMPLETOS P(x) = 3.x 3 + 4.x – 6  Falta término en x 2 ORDENADOS P(x) = x 3 - 3.x 2 – 6  Ordenado de forma decreciente. NO ORDENADOS P(x) = 7.x - 3.x 3 + 6.x 2 – 6

29 Aclaración previa a la forma de operar Los que tengan dificultad en sumar o multiplicar polinomios pueden hacer: P(x) = 5.x 4 + 4.x 3 - 2.x Q(x) = 3.x 3 + 5.x - 3 P(x) + Q(x) = 5.x 4 + 7.x 3 + 3.x – 3 Pero es recomendable hacerlo así: (5.x 4 + 4.x 3 - 2.x) + (3.x 3 + 5.x - 3) = 5.x 4 + 4.x 3 - 2.x + 3.x 3 + 5.x - 3 = = 5.x 4 + 7.x 3 + 3.x – 3

30 SUMA DE POLINOMIOS La suma de dos polinomios es otro polinomio, que se obtiene sumando primero los términos semejantes de ambos, y a continuación los no semejantes. La operación de sumar los términos semejantes, expresando el resultado como un único término se llama REDUCIR TÉRMINOS SEMEJANTES. EJEMPLO Sea P(x) = 4.x 3 + 7.x 2 - 5.x y Q(x) = 7.x 3 + 5.x 2 - 3 P(x) + Q(x) = ( 4.x 3 + 7.x 2 - 5.x ) + (7.x 3 + 5.x 2 – 3 ) = = 4.x 3 + 7.x 2 - 5.x + 7.x 3 + 5.x 2 - 3 = = 11.x 3 + 12.x 2 - 5.x - 3

31 DIFERENCIA DE POLINOMIOS Para restar un polinomio a otro se suma al polinomio minuendo el opuesto al sustraendo. Para ello se cambia de signo todos los monomios que forman el sustraendo. EJEMPLO Sea P(x) = 4.x 3 + 7.x 2 - 5.x y Q(x) = 7.x 3 + 5.x 2 - 3 P(x) - Q(x) = ( 4.x 3 + 7.x 2 - 5.x ) - (7.x 3 + 5.x 2 – 3 ) = = 4.x 3 + 7.x 2 - 5.x - 7.x 3 - 5.x 2 + 3 = = - 3.x 3 + 2.x 2 - 5.x + 3

32 PRODUCTO DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO El producto de un monomio por un polinomio es el que resulte de multiplicar dicho monomio por todos y cada uno de los monomios del polinomio, reduciendo finalmente términos semejantes. EJEMPLO Sea el monomio 4.x 3 y P(x) = 5.x 4 + 4.x 3 - 2.x (4.x 3 ).P(x) = ( 4.x 3 ).(5.x 4 + 4.x 3 - 2.x ) = = ( 4.x 3 ).(5.x 4 ) + ( 4.x 3 ).(4.x 3 ) + ( 4.x 3 ).( - 2.x ) = = 20.x 7 + 16.x 6 - 8.x 4

33 OTRO EJEMPLO Sea el monomio 4.x.y P(x) = 5.y.x 2 + 4.y 2.x – 2.x.y + 3 (4.x.y).P(x) = ( 4.x.y). (5.y.x 2 + 4.y 2.x – 2.x.y + 3 ) = = (4.x.y).(5.y.x 2 ) + (4.x.y).( 4.y 2.x ) + (4.x.y).(– 2.x.y ) + (4.x.y).(3) = = 20.x 3.y 2 + 16.x 2.y 3 - 8.x.y + 12.x.y UN EJEMPLO MÁS Sea el monomio 4.a.x P(x) = 5.a.x 2 + 4.a 2.x (4.a.x).P(x) = ( 4.a.x). (5.a.x 2 + 4.a 2.x) = = (4.a.x).(5.a.x 2 ) + (4.a.x).( 4.a 2.x ) = 20.a 2.x 3 + 16.a 2.x 2

34 PRODUCTO DE POLINOMIOS El producto de dos polinomios es el que resulte de multiplicar todos y cada uno de los términos de uno de ellos por todos y cada uno de los términos del otro, reduciendo finalmente términos semejantes. EJEMPLO Sea P(x) = 4.x + 3 y Q(x) = 5.x 2 + 4.x – 2 P(x).Q(x) = ( 4.x + 3 ).( 5.x 2 + 4.x – 2 ) = = ( 4.x ). (5.x 2 + 4.x – 2 ) + (3). ( 5.x 2 + 4.x – 2 ) = = (20.x 3 + 16.x 2 – 8.x) + ( 15.x 2 + 12.x – 6 ) = = 20.x 3 + 16.x 2 – 8.x + 15.x 2 + 12.x – 6 = = 20.x 3 + 31.x 2 + 4.x – 6

35 Aclaración previa a la forma de operar Los que tengan dificultad en multiplicar polinomios pueden hacer: P(x) = 5.x 4 + 4.x 3 - 2.x Q(x) = 3.x 3 + 5.x 25.x 5 + 20.x 4 – 10. x 2 15.x 7 + 12.x 6 – 6. x 4 15.x 7 + 12.x 6 + 25.x 5 + 14.x 4 - 10.x 2 Clave: Columnas de términos semejantes

36 36 Nota al PRODUCTO DE POLINOMIOS El número de términos resultantes al multiplicar dos o más polinomios entre sí es el producto del número de términos de cada polinomio que interviene. Veamos algunos ejemplos: (4.x).(5.x 2 + 4.x )  1.2 = 2 términos (4.x - 2).(5.x 2 + 4.x )  2.2 = 4 términos (5.x 2 + 4.x ).(x 2 + 4.x - 3)  2.3 = 6 términos (5.x 2 + 4.x + 7).(x 2 + 4.x - 3)  3.3 = 9 términos (x 2 + 4.x ).(x 3 + x 2 + x - 3)  2.4 = 8 términos (x 2 + 4.x - 5).(x 3 + x 2 + x - 3)  3.4 = 12 términos Sabiendo esto no omitiremos ningún producto parcial. Ahora bien, una vez reducido el polinomio resultante, el número de términos, siempre menor o igual al expuesto aquí, será variable.

37 DIVISIÓN DE POLINOMIOS Las reglas operativas son : 1. ‑ Reducir dividendo y divisor. 2. ‑ Ordenador dividendo y divisor de forma decreciente. 3. ‑ Si el dividendo es incompleto, dejar huecos. 4. ‑ Aplicar el algoritmo correspondiente para dividir. 5. ‑ Terminar cuando el grado del resto sea menor que el grado del divisor. 6.- Comprobar el resultado.

38 Algoritmo de la división Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor. Lo que da es el primer término del cociente. Se multiplica el primer término del cociente hallado por el todo el divisor. Lo que da hay que restárselo al dividendo. Obtenemos así un nuevo dividendo. Y se repiten las operaciones para conseguir los restantes términos del cociente.

39 Ejemplo de división de polinomios Sea P(x) = x 3 + 4.x 2 - 2.x + 5 y Q(x) = x 2 + 5 Hallemos P(x) : Q(x) 1.-Están ya ambos reducidos. 2.- Están ya ambos ordenados decrecientemente. 3.- Ambos son polinomios completos, luego no hay que dejar huecos. 4.- Aplicamos el algoritmo para dividir:

40 x 3 + 4.x 2 - 2.x + 5 x 2 + 5 x Pues x 3 : x 2 = x x 3 + 4.x 2 - 2.x + 5 x 2 + 5 - x 3 - 5.x x Pues se multiplica x. (x 2 +5) Y como vamos a restar lo que nos dé se cambia de signo.

41 x 3 + 4.x 2 - 2.x + 5 x 2 + 5 - x 3 - 5.x x 4.x 2 - 7.x + 5 Se repite las operaciones: x 3 + 4.x 2 - 2.x + 5 x 2 + 5 - x 3 - 5.x x + 4 4.x 2 - 7.x + 5 - 4.x 2 - 20 - 7.x - 15

42 x 3 + 4.x 2 - 2.x + 5 x 2 + 5 - x 3 - 5.x x + 4 4.x 2 - 7.x + 5 - 4.x 2 - 20 - 7.x - 15 5.- Como el resto ( -7.x – 15) es de grado menor que el divisor (x 2 + 5) se habrá terminado la división. C(x) = x+4 y R(x) = - 7.x – 15 6.- Se comprueba que D(x) = d(x).C(x)+R(x)


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