Clase 4 y 5 : Generalidades y multiplicación de polinomios.

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1 Clase 4 y 5 : Generalidades y multiplicación de polinomios

2 Veamos la siguiente situación: “La edad de mi padre equivale a tres veces, mi edad aumentada en 5 años” ¿Cómo se puede escribir matemáticamente esta situación?

3 OBJETIVOS Conocer conceptos básicos de algebra: -Término Algebraico: Coeficiente Numérico Factor Literal Grado Signo -Expresión Algebraica Operar con expresiones algebraicas Clasificar expresiones algebraicas

4 Contenidos 1.Definiciones 1.1 Término algebraico 1.2 Expresión algebraica 2. Operaciones algebraicas 2.1 Adición y sustracción (Reducción de Términos Semejantes) 1.4 Términos semejantes 1.3 Clasificación de las expresiones algebraicas

5 1.1 Término Algebraico Es la relación entre números y letras donde intervienen operaciones como la multiplicación, división, potencias y/o raíces. Consta de un “Coeficiente numérico”, un “factor literal” y el “grado”. Coeficiente Grado Numérico 23x 5 y 8 Factor Literal 1. Definiciones 5 + 8 = 13

6 Ejemplos: mn 3 p, 3a 4 b, 2q 5p, 7 Obs: 1x=x1)

7 Es la relación entre términos algebraicos, separados solo por la adición y/o sustracción. 1.2 Expresión algebraica Ejemplos: 1) 9x 7 – 4 5y 2) 5m 2 + 2ab 3 – 4p + 3q 3) 6x 4 y 5 + 3pq – 7m 2

8 1.3 Clasificación: Monomio Expresión algebraica que consta de un término algebraico. Ejemplos: Polinomio Expresión algebraica que consta de dos o más términos algebraicos. 1) 36x 5,3) 73p 4 q 2 2) 8ab 3,

9 2) Trinomio: Polinomio que consta de tres términos algebraicos. Ejemplo: 3a 6 b 2 + 8ab – 5a 7 Ejemplo: 1) Binomio: Polinomio que consta de dos términos. 2m 3 n 4 + 7ab 3) Polinomio o Multinomio: Polinomio que consta de más de tres términos algebraicos. Ejemplo: 3x – 2y + 3yx – 4z + 6

10 Son aquellos términos algebraicos, o monomios que tienen los mismos factores literales. Ejemplo: - Los términosyson semejantes. - Los términosy NO son semejantes. 1.4 Términos Semejantes 7m 3 n2m 3 n 3p 2 9p 5

11 2. Operaciones algebraicas 2.1 Adición y Sustracción Sólo pueden ser sumados o restados los coeficientes numéricos de los términos semejantes, es decir, se reducen sólo los coeficientes numéricos, el factor literal permanece inalterable. Ejemplo: mn 5 p + 4mn 5 p – 8mn 5 p =(1 + 4 – 8) mn 5 p = – 3mn 5 p

12 Ejercitemos lo aprendido: Reducir los términos semejantes: 1) 4x + 3x 2 + 2x 2 + 7x = 2) 3(x + 7) + 2(x + 3) =

13 6a ∙ 3ab = 2.2 Multiplicación: El producto se hace término a término y (coeficiente con coeficiente y factor literal con factor literal y sumando exponente de las variables iguales) Se multiplican los coeficientes numéricos y los factores literales entre sí. Ejemplo: Monomio por monomio: Se multiplica el monomio por cada término del polinomio. Ejemplo: Monomio por polinomio: 18a 2 b 5pq 3 (2p 3 q + 4pq 5 – 6pq) = 10p 4 q 4 + 20p 2 q 8 – 30p 2 q 4

14 Se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio. Ejemplo: Polinomio por Polinomio: (2x + y)(3x + 2y) = = 6x 2 + 7xy + 2y 2 6x 2 + 4xy+ 3xy+ 2y 2 Coeficiente con coeficiente y factor literal con factor literal y sumando exponente de las variables iguales.

15 Ejemplo: (Reduciendo términos semejantes) ¿Cómo se resuelve correctamente? (x + 7)(x + 3) =x² + 3x + 7x +21 1. =x² + 10x + 21

16 Producto de binomio con factor común: Esta propiedad sólo se cumple cuando los binomios tienen un término en común. Ejemplo 1: Aplicando la fórmula... Desarrollando... (ax + b)∙(ax +c) = (ax) 2 + (b + c)∙ax + b∙c (3x + 4)∙(3x + 2) = = 9x 2 + 18x + 8 (3x) 2 + (4 + 2)∙3x + 4∙2

17 Ejemplo 2: Aplicando la fórmula... Desarrollando... (y - 4)∙(y + 2) = = y 2 – 2y - 8 y 2 + (-4 + 2)y - 4∙2

18 2.1 Productos Notables Son aquellos productos cuyos factores cumplen con ciertas características que permiten llegar al resultado, sin realizar todos los pasos de la multiplicación. Cuadrado de Binomio: (I +II) 2 = I 2 + 2*I*II + II 2 (I - II) 2 = I 2 – 2*I*II + II 2

19 Ejemplo: La fórmula del Cuadrado de Binomio se puede obtener geométricamente: (5x – 3y) 2 =(5x) 2 - 2(5x∙3y)+ (3y) 2 = 25x 2 - 30xy+ 9y 2 b a b a a b 2 2 a b b a a b a b

20 Suma por su diferencia: Ejemplo: Aplicando la fórmula... (a + b)∙(a – b) = a 2 – b 2 (5x + 6y)∙(5x – 6y) = (5x) 2 – (6y) 2 = 25x 2 – 36y 2

21 Cubo de binomio: (I + II) 3 = I 3 + 3*I 2* II + 3*I*II 2 + II 3 (I - II) 3 = I 3 – 3*I 2* II + 3*I*II 2 - II 3

22 Ejemplo: Aplicando la fórmula... Desarrollando potencias... Multiplicando... (3x) 3 – 3 ∙ (3x) 2 ∙2y + 3 ∙ (3x) ∙ (2y) 2 – (2y) 3 = 27x 3 – 3 ∙ (9x 2 ) ∙ 2y + 3 ∙ (3x ) ∙ (4y 2 )– 8y 3 = 27x 3 – 54x 2 y + 36xy 2 – 8y 3 (3x – 2y) 3 =

23 Cuadrado de trinomio: Ejemplo: Aplicando la fórmula... Desarrollando... = (2x) 2 + (3y) 2 + (4z) 2 + 2(2x∙3y) + 2(2x∙4z) + 2(3y∙4z) (2x + 3y + 4z) 2 = ? = 4x 2 + 9y 2 + 16z 2 + 12xy + 16xz + 24yz (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc

24 Consiste en escribir una expresión algebraica en forma de multiplicación. Factor común: Este es el primer caso, y se emplea para factorizar una expresión en la cual todos los términos tienen algo en común (puede ser un número, una letra, o la combinación de los dos). Ejemplo: 2 ∙ x ∙ y + 2 ∙ 2 ∙ x ∙ y ∙ y – 2 ∙ 3 ∙ x ∙ x ∙ y Al descomponer... (El factor común es : 2xy) 2.4 Factorización 2xy + 4xy 2 – 6x 2 y = = 2xy(1 + 2y – 3x)

25 Factor común compuesto: Cuando en una expresión algebraica, no todos los términos tienen un factor común, se agrupan convenientemente obteniendo factores comunes en cada grupo. Ejemplo: Agrupando... Factorizando por partes... Volvemos a factorizar, ahora por (z+w)... xz + xw + yz + yw = = (xz + xw) + (yz + yw) = x(z + w) + y(z + w) = (z + w)(x + y) Factorizar:

26 Diferencia de cubos: Ejemplo: Aplicando la fórmula... Desarrollando... a 3 – b 3 = (a – b)(a 2 + ab + b 2 ) 8x 3 – 64y 3 =(2x) 3 – (4y) 3 = (2x – 4y)((2x) 2 + 2x ∙ 4y + (4y) 2 ) = (2x – 4y)(4x 2 + 8xy + 16y 2 )

27 Suma de cubos: Ejemplo: Aplicando la fórmula... Desarrollando... a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2 ) 27x 3 + 8y 3 =(3x) 3 + (2y) 3 = (3x + 2y)((3x) 2 – 3x ∙ 2y + (2y) 2 ) = (3x + 2y)( 9x 2 – 6xy + 4y 2 )

28 Reconocer productos notables: Ejemplos: 1) Ambos términos son cuadrados perfectos, corresponde a una suma por diferencia. 2) Corresponde a un producto de binomios con un término común.. 36a 2 – 81y 2 = (6a + 9y)(6a – 9y) x 2 + 5x + 6 =(x + 2)(x + 3)

29 (x + 5)(x – 4) (x + 5)(x – 5) 2.5 División Para dividir expresiones algebraicas es necesario expresarlas mediante productos, es decir, factorizar. Ejemplos: 1) Si x 2 – 25  0, entonces Factorizando... Simplificando... = x 2 + x - 20 x 2 - 25 (x – 4) (x – 5) = Recuerda que NO se puede realizar lo siguiente: (x – 4) (x – 5)

30 (a + b) (a – b) 1 a - b = ∙ (a + b)(a – b) : (a + b)(a + b) 1 a - b 2) Si a  b y a  - b, entonces Factorizando y simplificando Dividiendo: (a + b) 2 a 2 - b 2 : 1 a - b = (a + b) (a – b) 1 a - b : = = (a + b)

31 3. Mínimo común múltiplo (m.c.m.) Entre monomios: Corresponde a todos los factores con su mayor exponente. Ejemplo 1: El m.c.m. entre: 3x 5 y 2, 18x 2 yz 6 y 9y 3 es: 18x 5 y 3 z 6 Ejemplo 2: El m.c.m. entre: x 4 y 2 z 3, x 2 y, xy 6 z es: x 4 y 6 z 3

32 x 2 + 2x +1x 2 + x Entre polinomios: El concepto es igual al anterior, pero en este caso se debe factorizar previamente. Ejemplo: Determinar el m.c.m. entre: y m.c.m. : Factorizando... x(x +1) (x +1) 2 x(x +1) 2

33 4. Máximo común divisor (M.C.D.) Entre monomios: Corresponde a los factores comunes con su menor exponente. Ejemplo 1: El M.C.D. entre: 3x 5 y 2, 18x 2 yz 6 y 9y 3 es: 3y Ejemplo 2: El M.C.D. entre: a 4 b 2, a 5 bc y a 6 b 3 c 2 es: a 4 b

34 x 2 + 2x +1x 2 + x Entre polinomios: El concepto es igual al anterior, pero en este caso se debe factorizar previamente. Ejemplo: Determinar el M.C.D. entre: y M.C.D. : Factorizando... x(x +1) (x +1) 2 (x +1)

35 Ejercitemos ¿Cómo se resuelve correctamente? P = 3(Q + 5) 1.“La edad P de mi padre equivale a tres veces, mi edad Q aumentada en 5 años” se puede expresar como P: edad de mi padre Q: mi edad Luego, el enunciado se puede expresar como Sea: