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Medidas de Riesgo Coherentes Dinámicas: Aplicación a un Portafolio de TES VIII Congreso de Riesgo Financiero Cartagena, 20 de noviembre de 2009 Matemáticas.

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1 Medidas de Riesgo Coherentes Dinámicas: Aplicación a un Portafolio de TES VIII Congreso de Riesgo Financiero Cartagena, 20 de noviembre de 2009 Matemáticas Aplicadas Diego Jara

2 Plan de la presentación QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Medidas de Riesgo Medidas Estáticas y Dinámicas Propiedades Deseables (Axiomas) Representación Curva de Rendimientos Descomposición (Componentes Principales) Modelo de Proyección Portafolio de TES Proyección en Factores de Riesgo Distribución de la Pérdida Riesgo Estático y Dinámico: Medición y Comparación Conclusiones

3 Plan de la presentación QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Medidas de Riesgo Medidas Estáticas y Dinámicas Propiedades Deseables (Axiomas) Representación Curva de Rendimientos Descomposición (Componentes Principales) Modelo de Proyección Portafolio de TES Proyección en Factores de Riesgo Distribución de la Pérdida Riesgo Estático y Dinámico: Medición y Comparación Conclusiones

4 Medidas de Riesgo QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Necesidad Dado un Portafolio, cuánto dinero es conveniente provisionar para asumir posibles pérdidas? Elementos usados para contestar la pregunta: Horizonte de Inversión T final Factores de Riesgo Función de Valoración – o de Pérdidas – (en términos de estos factores) Distribución de los factores, y del valor del portafolio Medición del Riesgo Provisión necesaria = Medida de Riesgo

5 Medidas de Riesgo Estáticas QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Se arranca de un espacio de probabilidad dado es el conjunto de posibles estados del mundo en el futuro, es el conjunto de eventos y P es una función probabilidad sobre los eventos La PERDIDA de un portafolio, Z, es una variable aleatoria en este espacio Una medida estática de riesgo es una función que le asigna un número real a pérdidas finales de portafolios: Supongamos tasas de interés iguales a 0, por simplicidad

6 Medidas de Riesgo Estáticas QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Qué propiedades debe cumplir ? Adoptemos los axiomas de Coherencia. Sean Z, Z 1 y Z 2 pérdidas de portafolios (variables aleatorias en ): 1.Monotonicidad: 2.Homogeneidad Positiva: 3.Subaditividad: 4.Invarianza bajo Traslación:

7 Medidas de Riesgo Estáticas QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Axiomas introducidos por Artzner, Delbaen, Eber, Heath (1999) Alternativa: Follmer y Schied (2002) relajaron homogeneidad y subaditividad por convexidad Teorema: es coherente si y solo si existe un conjunto de probabilidades tal que

8 Medidas de Riesgo Estáticas QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Ejemplo 1: VaR Para un nivel de confianza (e.g., 95%),

9 Medidas de Riesgo Estáticas QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Ejemplo 2: CVaR (AVaR, ES) Para un nivel de confianza, CVaR

10 Medidas de Riesgo Estáticas QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS VaR no es coherente: No cumple subaditividad (en ocasiones, fomenta la desdiversificación) aunque típicamente los contraejemplos son fabricados: CVaR sí es coherente 0 3% 94% % 94% Z1Z1 Z2Z2 Confianza: 95% VaR (Z 1 )=0 VaR (Z 2 )=0 VaR (Z 1 +Z 2 )=100

11 Medidas de Riesgo Dinámicas QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Si se trabaja en una plataforma multiperiódica, debe incluirse: Información en periodos intermedios (nuevos precios de mercado, flujos de caja del portafolio, etc.) Posibilidad de quiebra en periodos intermedios Pueden tomarse acciones en periodos intermedios En un periodo, el capital era una provisión al principio, y riqueza de los accionistas al final; cuál es el papel del capital en varios periodos? Cómo se pueden extender los axiomas anteriores a este caso? Hay muchas propuestas … adoptemos una Pero primero, definamos qué es una medida de riesgo dinámica

12 Medidas de Riesgo Dinámicas QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Se enriquece el espacio con la posible información nueva, que se representa con una filtración: Seguimos la información del portafolio mediante sus flujos de caja (proceso estocástico adaptado) Flujos negativos se interpretan con signo positivo (analizamos pérdidas) Pensemos en estos flujos como los flujos que deberían agregarse al portafolio (en los tiempos correspondientes) para terminar igual que se empezó

13 Medidas de Riesgo Dinámicas QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS El flujo final incluye la pérdida total del portafolio Una medida dinámica le asigna un número real a cada posible proceso de flujos, para cada tiempo:

14 Medidas de Riesgo Dinámicas QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Axiomas deseables (Riedel (2003)) 1.Monotonicidad Dinámica: 2.Homogeneidad Positiva Dinámica: 3.Subaditividad Dinámica: 4.Invarianza bajo Traslación Dinámica (T final T t) :

15 Medidas de Riesgo Dinámicas QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS 5.Independencia del Pasado: Hasta aquí llega la típica definición de coherencia. Pero usualmente se adicionan otras propiedades deseables: 6.Consistencia Dinámica: 7.Relevancia:

16 Medidas de Riesgo Dinámicas QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Posibilidad 1: Calcular la medida estática en el tiempo 0, y esperar hasta el final No parece muy prudente ignorar información nueva Esto de hecho violaría casi todos los axiomas Posibilidad 2: Calcular la medida estática en el tiempo 0. En cada periodo intermedio, recalcular, y rebalancear la provisión de riesgo en caso necesario P. ej., el caso CVaR. Problema: Violaría el axioma de consistencia temporal

17 Medidas de Riesgo Dinámicas QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Nivel de confianza: 95% Z1Z % 3% 6% 94% 100% Z2Z % 3% 97% 100%

18 Medidas de Riesgo Dinámicas QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Posibilidad 1: Calcular la medida estática en el tiempo 0, y esperar hasta el final No parece muy prudente ignorar información nueva. Esto de hecho violaría casi todos los axiomas. Posibilidad 2: Calcular la medida estática en el tiempo 0. En cada periodo intermedio, recalcular, y rebalancear la provisión de riesgo en caso necesario P. ej., el caso CVaR. Problema: Violaría el axioma de consistencia temporal. Adicionalmente, es posible que se necesite rebalancear excesivamente la provisión de riesgo, que no sería ideal para el administrador.

19 Medidas de Riesgo Dinámicas QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Posibilidad 3: Inventarse una extensión basada en una medida estática Por ejemplo, CVaR dinámico CVaR estático, pero tomando como entrada la medida de riesgo del siguiente periodo: En el tiempo T final - 2, se vería así (suponiendo cero flujos de caja antes de T final )

20 Medidas de Riesgo Dinámicas QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS … … 1 i N 1,1 Z 1,1 … 1,2 Z 1,2 … i,1 Z i,1 i,2 Z i,2 … N,1 Z N,1 N,2 Z N,2 CVaR(1, 1 )CVaR(1, i )CVaR(1, N ) CVaRD(0)

21 Medidas de Riesgo Dinámicas QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Por ejemplo, CVaR dinámico CVaR estático, pero tomando como entrada el CVaR dinámico del siguiente periodo: Por ejemplo, en el tiempo T final - 2, se vería así (suponiendo cero flujos de caja antes de T final ) Computacionalmente intensivo Fórmulas cerradas para ciertas distribuciones (normal, lognormal, log-elípticas) (Hardy y Wirch (2003), y Valdez (2004)) Esta medida satisface todos los axiomas dinámicos

22 Medidas de Riesgo Dinámicas QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Teorema: satisface los axiomas dinámicos si y solo si existe un conjunto de probabilidades tal que Vamos a medir el riesgo de un portafolio de TES para comparar estas medidas

23 Plan de la presentación QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Medidas de Riesgo Medidas Estáticas y Dinámicas Propiedades Deseables (Axiomas) Representación Curva de Rendimientos Descomposición (Componentes Principales) Modelo de Proyección Portafolio de TES Proyección en Factores de Riesgo Distribución de la Pérdida Riesgo Estático y Dinámico: Medición y Comparación Conclusiones

24 Curva de Rendimientos QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Enfoquemos el experimento en TES Tasa Fija Curva Cero Cupón Primero: Construcción histórica de la curva Se calibra a precios de mercado (no a tasas) Se podría ponderar por liquidez, duración, etc. Curva paramétrica o no paramétrica Por ejemplo, usando un modelo de Diebold y Li (2006), que es una variación de Nelson-Siegel (1987), y tomando precios para Octubre 19 de 2009:

25 Curva de Rendimientos QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS

26 Curva de Rendimientos QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS A partir de la serie de tiempo de los cambios de estas curvas, se toman puntos significativos (1, 2, 3, 5, 7, 10, 12, 15 años), y se calculan los Componentes Principales:

27 Curva de Rendimientos QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Dada la historia de los pesos de los cambios de la curva sobre los Componentes Principales, se puede hacer un modelo de proyección de estos cambios Frecuencia: diaria (días hábiles) Ajuste de un VAR Se rechaza la Hipótesis de Series no Estacionaria Rezago óptimo: 9 días Errores se suponen normales para el experimento Simulación de caminos (tridimensionales) Cada punto en cada camino se interpreta como un cambio en la curva Si arrancamos de la curva actual, cada camino da una posible evolución de la curva

28 Curva de Rendimientos QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS

29 Curva de Rendimientos QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS

30 Plan de la presentación QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Medidas de Riesgo Medidas Estáticas y Dinámicas Propiedades Deseables (Axiomas) Representación Curva de Rendimientos Descomposición (Componentes Principales) Modelo de Proyección Portafolio de TES Proyección en Factores de Riesgo Distribución de la Pérdida Riesgo Estático y Dinámico: Medición y Comparación Conclusiones

31 Portafolio de TES QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Dado un portafolio de TES, se calcula la exposición a cada componente principal: Si el componente i cambia en 1 unidad, en cuánto cambia el valor del portafolio? Por ejemplo, si el portafolio es el TES 2020, con un nocional de $100: Comp. 1 Comp. 2 Comp. 3 Valor -$0.675-$0.0565$0.0588

32 Portafolio de TES QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS A partir de la distribución de los componentes, se genera una distribución del valor del portafolio Por ejemplo, si el portafolio es el TES 2020, con un nocional de $100, su pérdida a 10 días se vería así:

33 Portafolio de TES QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Consideremos un portafolio más general: Sensibilidad de este portafolio a los componentes principales Comp. 1 Comp. 2 Comp. 3 Valor -$55.77-$6.63$0.15 Feb 10Abr 12Sep 14Oct 15Oct 18Jul 20Jul

34 Portafolio de TES QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS 10,000 simulaciones T = 10 días = 95% VaR = $301.8 CVaR = $393.5

35 Portafolio de TES QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Ahora usemos dos y tres periodos en el análisis Midamos el riesgo dinámico En nuestro experimento, usaremos la distribución sin ajustar Alternativa: ajustar la distribución a una forma especial con fórmula analítica (normal, lognormal, log-elíptica) Para nuestro caso, no tenemos fórmula analítica Simulación de evolución de los componentes principales de la curva

36 Portafolio de TES QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Observación inmediata: las medidas dinámicas crecen rápido con el número de periodos Intuición: en el caso de dos periodos, el esquema propone tomar el worst-case del worst-case. En el caso de tres periodos es el worst-case 3 Es muy conservador PeriodosSimulacionesVaR Est.VaR Din.cVaR Est.cVaR Din. 1100,000$297.9 $ ,000 2 $424.4$603.5$542.1$ $483.2$1243.5$676.7$1497.1

37 Portafolio de TES QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Y entonces … hay esperanza? Alternativa, usar la noción de worst-case en el último periodo, pero relajar el nivel de confianza para periodos anteriores Problema: relajar cuánto? La subjetividad de determinar un nivel de confianza adecuado se multiplica a determinar niveles adecuados de confianza para cada periodo

38 Portafolio de TES QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Por ejemplo, tomemos un bono cero cupón, valorado con una tasa r : P = e -r Modelemos las pérdidas a dos periodos con la fórmula P = e -r (1-e - y- z ), con y, z i.i.d. ~ N(0, 2 t/2) VaR 95% = e -r (1-e t ) Suponiendo conocida y, faltando un periodo la pérdida total del bono es P = e -r (1-e - y- z ), con z ~ N(0, 2 t/2), y VaR 95% ( y) = Para igualar el VaR inicial, se necesita Esto se da con un nivel de confianza de 75%

39 Portafolio de TES QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Extendiendo a tres periodos, el nivel de confianza necesario para igualar el VaR inicial es 70% Para nuestro experimento, usemos 95%, faltando un periodo 75%, faltando dos periodos 70%, faltando tres periodos PeriodosSimulacionesVaR Est.VaR Din.cVaR Est.cVaR Din. 1100,000$297.9 $ ,000 2 $423.9$432.6$544.6$ $524.4$629.1$676.7$1076.4

40 Plan de la presentación QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Medidas de Riesgo Medidas Estáticas y Dinámicas Propiedades Deseables (Axiomas) Representación Curva de Rendimientos Descomposición (Componentes Principales) Modelo de Proyección Portafolio de TES Proyección en Factores de Riesgo Distribución de la Pérdida Riesgo Estático y Dinámico: Medición y Comparación Conclusiones

41 QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Observación: la medida de riesgo dinámica propuesta es muy conservadora si no se relaja el nivel de confianza (dinámico) Problema: diseñar niveles de confianza dinámicos que satisfagan al regulador, y sean prácticos para los administradores de riesgo Antecedente: esto se ha venido madurando con el nivel de confianza usando el VaR Ventaja: la medida dinámica estudiada indica – por construcción – la probabilidad de necesitar provisionar más capital en el futuro Desventaja: si no se suponen distribuciones particulares, la medida es muy demandante computacionalmente

42 Conclusiones QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS Por revisar: rebalanceo de las provisiones Los axiomas (propiedades deseables) obedecen a requerimientos de reguladores y participantes. Es importante coincidir en ellos.

43 Referencias QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS 1.Artzner, Delbaen, Eber, Heath (1999). Coherent Measures of Risk. Mathematical Finance 9, Artzner, Delbaen, Eber, Heath, Hyejin (2003). Coherent Multiperiod Risk Adjusted Values and Bellmans Principle. Annals of Operations Research 152, 1, Hardy, Wirch (2003). The Iterated CTE – A Dynamic Risk Measure. Institute of Insurance and Pension Research, Univ. of Waterloo Research Report Riedel (2004). Dynamic Coherent Risk Measures. Stochastic Processes and Applications 112, Föllmer, Schied (2002). Convex Measures of Risk and Trading Constraints. Finance and Stochastics 6, 429– Valdez (2004). The Iterated TCE for the Log-Elliptical Loss Process. Working Paper, Univ. of South Wales.

44 GRACIAS QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS


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