Medidas de Riesgo Coherentes Dinámicas:

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1 Medidas de Riesgo Coherentes Dinámicas:
Matemáticas Aplicadas Medidas de Riesgo Coherentes Dinámicas: Aplicación a un Portafolio de TES Diego Jara VIII Congreso de Riesgo Financiero Cartagena, 20 de noviembre de 2009

2 Plan de la presentación
Medidas de Riesgo Medidas Estáticas y Dinámicas Propiedades “Deseables” (Axiomas) Representación Curva de Rendimientos Descomposición (Componentes Principales) Modelo de Proyección Portafolio de TES Proyección en Factores de Riesgo Distribución de la Pérdida Riesgo Estático y Dinámico: Medición y Comparación Conclusiones QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS

3 Plan de la presentación
Medidas de Riesgo Medidas Estáticas y Dinámicas Propiedades “Deseables” (Axiomas) Representación Curva de Rendimientos Descomposición (Componentes Principales) Modelo de Proyección Portafolio de TES Proyección en Factores de Riesgo Distribución de la Pérdida Riesgo Estático y Dinámico: Medición y Comparación Conclusiones QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS

4  Provisión necesaria = Medida de Riesgo
Medidas de Riesgo Necesidad Dado un Portafolio, cuánto dinero es conveniente provisionar para asumir posibles pérdidas? Elementos usados para contestar la pregunta: Horizonte de Inversión Tfinal Factores de Riesgo Función de Valoración – o de Pérdidas – (en términos de estos factores) Distribución de los factores, y del valor del portafolio Medición del Riesgo  Provisión necesaria = Medida de Riesgo QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS

5 Medidas de Riesgo Estáticas
Se arranca de un espacio de probabilidad dado  es el conjunto de posibles “estados del mundo” en el futuro,  es el conjunto de “eventos” y P es una función probabilidad sobre los eventos La PERDIDA de un portafolio, Z, es una variable aleatoria en este espacio Una medida estática de riesgo es una función que le asigna un número real a pérdidas finales de portafolios: Supongamos tasas de interés iguales a 0, por simplicidad QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS

6 Medidas de Riesgo Estáticas
Qué propiedades debe cumplir ? Adoptemos los axiomas de Coherencia. Sean Z, Z1 y Z2 pérdidas de portafolios (variables aleatorias en  ): Monotonicidad: Homogeneidad Positiva: Subaditividad: Invarianza bajo Traslación: QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS

7 Medidas de Riesgo Estáticas
Axiomas introducidos por Artzner, Delbaen, Eber, Heath (1999) Alternativa: Follmer y Schied (2002) relajaron homogeneidad y subaditividad por convexidad Teorema:  es coherente si y solo si existe un conjunto de probabilidades  tal que QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS

8 Medidas de Riesgo Estáticas
Ejemplo 1: VaR Para un nivel de confianza  (e.g., 95%), QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS

9 Medidas de Riesgo Estáticas
Ejemplo 2: CVaR (AVaR, ES) Para un nivel de confianza , CVaR QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS

10 Medidas de Riesgo Estáticas
VaR no es coherente: No cumple subaditividad (en ocasiones, fomenta la desdiversificación)  aunque típicamente los contraejemplos son “fabricados”: CVaR sí es coherente Z1 Z2 3% 94% 100 3% 94% 100 Confianza: 95% VaR (Z1)=0 VaR (Z2)=0 VaR (Z1+Z2)=100 QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS

11 Medidas de Riesgo Dinámicas
Si se trabaja en una plataforma multiperiódica, debe incluirse: Información en periodos intermedios (nuevos precios de mercado, flujos de caja del portafolio, etc.) Posibilidad de quiebra en periodos intermedios Pueden tomarse acciones en periodos intermedios En un periodo, el capital era una provisión al principio, y riqueza de los accionistas al final; cuál es el papel del capital en varios periodos? Cómo se pueden extender los axiomas anteriores a este caso? Hay muchas propuestas … adoptemos una Pero primero, definamos qué es una medida de riesgo dinámica QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS

12 Medidas de Riesgo Dinámicas
Se enriquece el espacio con la posible información nueva, que se representa con una filtración: Seguimos la información del portafolio mediante sus flujos de caja (proceso estocástico adaptado) Flujos negativos se interpretan con signo positivo (analizamos pérdidas) Pensemos en estos flujos como los flujos que deberían agregarse al portafolio (en los tiempos correspondientes) para terminar igual que se empezó QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS

13 Medidas de Riesgo Dinámicas
El flujo final incluye la pérdida total del portafolio Una medida dinámica  le asigna un número real a cada posible proceso de flujos, para cada tiempo: QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS

14 Medidas de Riesgo Dinámicas
Axiomas “deseables” (Riedel (2003)) Monotonicidad Dinámica: Homogeneidad Positiva Dinámica: Subaditividad Dinámica: Invarianza bajo Traslación Dinámica (Tfinal  T  t): QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS

15 Medidas de Riesgo Dinámicas
Independencia del Pasado: Hasta aquí llega la típica definición de coherencia. Pero usualmente se adicionan otras propiedades “deseables”: Consistencia Dinámica: Relevancia: QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS

16 Medidas de Riesgo Dinámicas
Posibilidad 1: Calcular la medida estática en el tiempo 0, y esperar hasta el final No parece muy prudente ignorar información nueva Esto de hecho violaría casi todos los axiomas Posibilidad 2: Calcular la medida estática en el tiempo 0. En cada periodo intermedio, recalcular, y rebalancear la provisión de riesgo en caso necesario P. ej., el caso CVaR. Problema: Violaría el axioma de consistencia temporal QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS

17 Z1 Z2 Medidas de Riesgo Dinámicas Nivel de confianza: 95% 5 10 8.33 10
5 10 97% 3% 6% 94% 100% Z2 8.33 10 97% 3% 100% QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS

18 Medidas de Riesgo Dinámicas
Posibilidad 1: Calcular la medida estática en el tiempo 0, y esperar hasta el final No parece muy prudente ignorar información nueva. Esto de hecho violaría casi todos los axiomas. Posibilidad 2: Calcular la medida estática en el tiempo 0. En cada periodo intermedio, recalcular, y rebalancear la provisión de riesgo en caso necesario P. ej., el caso CVaR. Problema: Violaría el axioma de consistencia temporal. Adicionalmente, es posible que se necesite rebalancear excesivamente la provisión de riesgo, que no sería ideal para el administrador. QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS

19 Medidas de Riesgo Dinámicas
Posibilidad 3: Inventarse una extensión basada en una medida estática Por ejemplo, CVaR dinámico  CVaR estático, pero tomando como entrada la medida de riesgo del siguiente periodo: En el tiempo Tfinal - 2, se vería así (suponiendo cero flujos de caja antes de Tfinal) QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS

20 … … … … Medidas de Riesgo Dinámicas CVaR(1,1) CVaRD(0) CVaR(1,i)
1,1 Z1,1 … 1,2 Z1,2 CVaR(1,1) CVaRD(0) … 1 i N … i,1 Zi,1 i,2 Zi,2 CVaR(1,i) … N,1 ZN,1 N,2 ZN,2 CVaR(1,N) QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS

21 Medidas de Riesgo Dinámicas
Por ejemplo, CVaR dinámico  CVaR estático, pero tomando como entrada el CVaR dinámico del siguiente periodo: Por ejemplo, en el tiempo Tfinal - 2, se vería así (suponiendo cero flujos de caja antes de Tfinal) Computacionalmente intensivo Fórmulas cerradas para ciertas distribuciones (normal, lognormal, log-elípticas) (Hardy y Wirch (2003), y Valdez (2004)) Esta medida satisface todos los axiomas dinámicos QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS

22 Medidas de Riesgo Dinámicas
Teorema:  satisface los axiomas dinámicos si y solo si existe un conjunto de probabilidades  tal que Vamos a medir el riesgo de un portafolio de TES para comparar estas medidas QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS

23 Plan de la presentación
Medidas de Riesgo Medidas Estáticas y Dinámicas Propiedades “Deseables” (Axiomas) Representación Curva de Rendimientos Descomposición (Componentes Principales) Modelo de Proyección Portafolio de TES Proyección en Factores de Riesgo Distribución de la Pérdida Riesgo Estático y Dinámico: Medición y Comparación Conclusiones QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS

24 Curva de Rendimientos Enfoquemos el experimento en TES Tasa Fija
Curva Cero Cupón Primero: Construcción histórica de la curva Se calibra a precios de mercado (no a tasas) Se podría ponderar por liquidez, duración, etc. Curva paramétrica o no paramétrica Por ejemplo, usando un modelo de Diebold y Li (2006), que es una variación de Nelson-Siegel (1987), y tomando precios para Octubre 19 de 2009: QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS

25 Curva de Rendimientos QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS

26 Curva de Rendimientos A partir de la serie de tiempo de los cambios de estas curvas, se toman puntos significativos (1, 2, 3, 5, 7, 10, 12, 15 años), y se calculan los Componentes Principales: QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS

27 Curva de Rendimientos Dada la historia de los “pesos” de los cambios de la curva sobre los Componentes Principales, se puede hacer un modelo de proyección de estos cambios Frecuencia: diaria (días hábiles) Ajuste de un VAR Se rechaza la Hipótesis de Series no Estacionaria Rezago óptimo: 9 días Errores se suponen normales para el experimento Simulación de caminos (tridimensionales) Cada punto en cada camino se interpreta como un cambio en la curva Si arrancamos de la curva actual, cada camino da una posible evolución de la curva QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS

28 Curva de Rendimientos QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS

29 Curva de Rendimientos QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS

30 Plan de la presentación
Medidas de Riesgo Medidas Estáticas y Dinámicas Propiedades “Deseables” (Axiomas) Representación Curva de Rendimientos Descomposición (Componentes Principales) Modelo de Proyección Portafolio de TES Proyección en Factores de Riesgo Distribución de la Pérdida Riesgo Estático y Dinámico: Medición y Comparación Conclusiones QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS

31 Portafolio de TES Dado un portafolio de TES, se calcula la exposición a cada componente principal: Si el componente i cambia en 1 unidad, en cuánto cambia el valor del portafolio? Por ejemplo, si el portafolio es el TES 2020, con un nocional de $100:  Comp. 1  Comp. 2  Comp. 3  Valor -$0.675 -$0.0565 $0.0588 QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS

32 Portafolio de TES A partir de la distribución de los componentes, se genera una distribución del valor del portafolio Por ejemplo, si el portafolio es el TES 2020, con un nocional de $100, su pérdida a 10 días se vería así: QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS

33 Portafolio de TES Consideremos un portafolio más general:
Sensibilidad de este portafolio a los componentes principales Feb 10 Abr 12 Sep 14 Oct 15 Oct 18 Jul 20 Jul 24 3000 1000 2000 -4000 5000  Comp. 1  Comp. 2  Comp. 3  Valor -$55.77 -$6.63 $0.15 QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS

34 Portafolio de TES 10,000 simulaciones T = 10 días  = 95% VaR = $301.8
CVaR = $393.5 QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS

35 Portafolio de TES Ahora usemos dos y tres periodos en el análisis
Midamos el “riesgo dinámico” En nuestro experimento, usaremos la distribución sin ajustar Alternativa: ajustar la distribución a una forma especial con fórmula analítica (normal, lognormal, log-elíptica) Para nuestro caso, no tenemos fórmula analítica  Simulación de evolución de los componentes principales de la curva QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS

36 Portafolio de TES Observación inmediata: las medidas dinámicas crecen rápido con el número de periodos Intuición: en el caso de dos periodos, el esquema propone tomar el “worst-case” del “worst-case”. En el caso de tres periodos es el “worst-case”3 Es muy conservador Periodos Simulaciones VaR Est. VaR Din. cVaR Est. cVaR Din. 1 100,000 $297.9 $383.4 2 1,0002 $424.4 $603.5 $542.1 $778.2 3 1003 $483.2 $1243.5 $676.7 $1497.1 QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS

37 Portafolio de TES Y entonces … hay esperanza?
Alternativa, usar la noción de “worst-case” en el último periodo, pero relajar el nivel de confianza para periodos anteriores Problema: relajar cuánto? La subjetividad de determinar un nivel de confianza adecuado se multiplica a determinar niveles adecuados de confianza para cada periodo QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS

38 Portafolio de TES Por ejemplo, tomemos un bono cero cupón, valorado con una tasa r : P = e-r Modelemos las pérdidas a dos periodos con la fórmula P = e-r(1-e-y-z), con y, z i.i.d. ~ N(0, 2t/2) VaR95% = e-r(1-e-1.645t) Suponiendo conocida y, faltando un periodo la pérdida total del bono es P = e-r(1-e-y-z), con z ~ N(0, 2t/2), y VaR95%(y) = Para igualar el VaR inicial, se necesita Esto se da con un nivel de confianza de 75% QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS

39 Portafolio de TES Extendiendo a tres periodos, el nivel de confianza necesario para igualar el VaR inicial es 70% Para nuestro experimento, usemos 95%, faltando un periodo 75%, faltando dos periodos 70%, faltando tres periodos Periodos Simulaciones VaR Est. VaR Din. cVaR Est. cVaR Din. 1 100,000 $297.9 $383.4 2 1,0002 $423.9 $432.6 $544.6 $637.9 3 1003 $524.4 $629.1 $676.7 $1076.4 QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS

40 Plan de la presentación
Medidas de Riesgo Medidas Estáticas y Dinámicas Propiedades “Deseables” (Axiomas) Representación Curva de Rendimientos Descomposición (Componentes Principales) Modelo de Proyección Portafolio de TES Proyección en Factores de Riesgo Distribución de la Pérdida Riesgo Estático y Dinámico: Medición y Comparación Conclusiones QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS

41 Conclusiones Observación: la medida de riesgo dinámica propuesta es muy conservadora si no se relaja el nivel de confianza (dinámico) Problema: diseñar niveles de confianza dinámicos que satisfagan al regulador, y sean prácticos para los administradores de riesgo Antecedente: esto se ha venido madurando con el nivel de confianza usando el VaR Ventaja: la medida dinámica estudiada indica – por construcción – la probabilidad de necesitar provisionar más capital en el futuro Desventaja: si no se suponen distribuciones particulares, la medida es muy demandante computacionalmente QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS

42 Conclusiones Por revisar: rebalanceo de las provisiones
Los axiomas (propiedades deseables) obedecen a requerimientos de reguladores y participantes. Es importante coincidir en ellos. QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS

43 Referencias Artzner, Delbaen, Eber, Heath (1999). Coherent Measures of Risk. Mathematical Finance 9, Artzner, Delbaen, Eber, Heath, Hyejin (2003). Coherent Multiperiod Risk Adjusted Values and Bellman’s Principle. Annals of Operations Research 152, 1, 5-22. Hardy, Wirch (2003). The Iterated CTE – A Dynamic Risk Measure. Institute of Insurance and Pension Research, Univ. of Waterloo Research Report Riedel (2004). Dynamic Coherent Risk Measures. Stochastic Processes and Applications 112, Föllmer, Schied (2002). Convex Measures of Risk and Trading Constraints. Finance and Stochastics 6, 429–447. Valdez (2004). The Iterated TCE for the Log-Elliptical Loss Process. Working Paper, Univ. of South Wales. QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS

44 GRACIAS QUANTIL MATEMATICAS APLICADAS