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Mecánica Celeste. MECANICA CELESTE. Sistemas geocéntrico y heliocéntrico. Leyes de Kepler Leyes de Newton Contribuciones de Lagrange y de Laplace Poincare.

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2 Mecánica Celeste.

3 MECANICA CELESTE. Sistemas geocéntrico y heliocéntrico. Leyes de Kepler Leyes de Newton Contribuciones de Lagrange y de Laplace Poincare (¿es estable el Sistema Solar?) Conceptos de relatividad especial y general. La Mecánica Cuántica

4 Modelo de Filolao

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6 Epiciclos

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11 El dibujo de la derecha presenta las observaciones efectuadas por Galileo del 7-24 de Enero de 1610, del movimiento de los 4 satélites mas brillantes de Júpiter: Europa, Io (que a veces no se ve por su cercanía con Júpiter), Calisto (muchas veces fuera del campo). El descubrimiento de estas lunas, le dio un fuerte apoyo al modelo geocéntrico de Copernico, ya quepuede verse como un pequeño sistema Solar, en el que en este caso, Júpiter es el cuerpo central.

12 Keppler descubre que Marte y los demás planetas se mueven en orbitas elípticas.

13 Es la gran esfera imaginaria que rodea a la Tierra, en la cual podemos localizar cualquier objeto celeste. Esta esfera tiene un movimiento de rotación aparente de Este a Oeste y su eje de giro coincide con el eje de rotación de la Tierra. En el hemisferio Norte, la estrella Polaris se encuentra muy cerca de la dirección del eje polar.

14 Polaris Cenit Horizonte Nadir Eje Polar Eclíptica Ecuador Celeste Solsticio de Verano Solsticio de Invierno Punto Vernal Equinoccio de Primavera 23.5º NS

15 Conceptos Sobre la Esfera Celeste Eje Polar: Eje alrededor del cual tiene su movimiento aparente la esfera celeste. Es paralelo al eje terrestre e intercepta a la esfera celeste en los polos N y S. Polaris: es la estrella que nos indica la dirección del polo Norte celeste. Su elevación sobre el horizonte (altitud), nos da la latitud del lugar donde se encuentra el observador. Paralelos Celestes: son los círculos paralelos al ecuador celeste. Ecuador celeste: es el paralelo celeste de circulo máximo. Meridiano celestes: son los círculos que interceptan los polos celestes. El Meridiano: meridiano celeste que pasa por el cenit.

16 Eclíptica: trayectoria aparente del sol en su paso anual por las constelaciones. Este plano existe, debido a que la Tierra se mueve en un plano alrededor del Sol. Como todos los planetas se mueven cerca de dicho plano, ellos siempre se observan cerca de la eclíptica. Por esta razón, los planetas son fáciles de identificar si se conocen las constelaciones del zodiaco. Entre el plano de la eclíptica y el ecuador hay un ángulo de 23.5º, que es debido a la inclinación del eje terrestre respecto al plano Tierra-Sol. Constelaciones del Zodiaco: las 12 constelaciones interceptadas por la eclíptica.

17 Piscis Virgo Acuario Capricornio Sagitario Tauro Escorpión Libra Aries Tauro Géminis Cáncer Leo Eq. Vernal 21 de Diciembre 4 de Enero Distancia mínima Solsticio de Verano Las Estaciones del Año

18 Constelaciones, etc.

19 Ascención Recta ( α): Similar a la longitud geográfica. Pero se mide en unidades de tiempo en horas, minutos y segundos a lo largo del ecuador celeste, usando al punto Vernal de refencia. Declinación ( δ) : similar a la latitud. Se mide en (grados, m, y s angulares, al norte o al sur del ecuador terrestre. 23h δ 0h1h2h 3h4h α N S En este ejemplo, las coordenadas son: α δ = 25° 0 0" =04h 0m 0s

20 Para describir movimientos de objetos que se encuentran en el sistema Solar, conviene usar coordenadas eclípticas. Las cuales se miden tomando como referencia al plano de la eclíptica. Para movimientos en la Vía Láctea se utilizan las coordenadas Galácticas. Para lo cual se toma como referencia el plano de nuestra Galaxia, tomando como origen la posición del centro Galáctico en: (l,b)= α =17h 42m 24s, δ =-28º 55´ El polo norte Galactico está en: 12 h 49 m, +27 o 24´

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22 Leyes de Kepler 1.- Cada planeta se mueve en una orbita elíptica con el Sol en uno de sus focos. 2.- La línea entre el Sol y un planeta recorre áreas iguales en tiempos iguales. 3.- El cuadrado del periodo de un planeta es proporcional al cubo del semieje mayor.

23 2a 2b ae F´ F Propiedades de la Elípse

24 2 a Ley de Kepler

25 Circulo: corte II (paralelo) a la base Elipse: resulta de un corte oblicuo Hipérbola: corte II al ejeParábola: corte II al lado del triángulo

26 PlanetaP (año) A (AU) T2T2 R3R3 Mercurio Venus Tierra 1.00 Marte Júpiter Saturno Tercera Ley de Kepler T2T2 R3R3

27 Leyes de Newton 1.- Ley de la Inercia: Un cuerpo permanece en reposo o en movimiento constante a menos que se le aplique una fuerza externa. 2.- Ley de Fuerza: La fuerza es igual a la masa por la aceleración (F=ma) 3.- Ley de Acción y Reacción: para cada fuerza de acción corresponde una fuerza de reacción que es igual pero en sentido contrario.

28 Las leyes de Newton son básicas para comprender los movimientos que ocurren en el sistema solar. Son fundamentales en la astronáutica. Todo satélite obedece las leyes de Newton. Las mismas leyes sirven para entender el movimiento de sistemas estelares en cúmulos a nivel galáctico, etc. es decir tienen un carácter universal.

29 Consideremos una órbita circular alrededor de la superficie de la Tierra (R = 6370 km). ¿Qué velocidad debe tener un cuerpo para entrar en órbita terrestre? mv 2 /R = mg R v m v = gR = 9.8x m/s V = 7.91 km/s

30 Ley de Gravitación Universal Cada cuerpo en el Universo es atraído por todos los demás cuerpos con una fuerza que son iguales al producto de las masas de los cuerpos divididos entre el cuadrado de la distancia F = -G m 1 m 2 r 2

31 Newton demostró a partir de su leyes, las leyes de Kepler, las cuales habían sido encontradas empíricamente por Kepler. Y que no solo son aplicables al movimiento de los planetas, sino a todo tipo de orbitas. Después de Newton, La 3 a Ley de Kepler queda como sigue: P 2 = 4 π 2 a 3 / [ G (m 1 + m 2 ) ] Donde m 1 y m 2 son las masas de los cuerpos 1 y 2, P es el período orbital y a es el semieje mayor.

32 Debido a que normalmente la masa de un satélite es mucho menor que la del cuerpo que está orbitando, basta conocer el período P y el semieje mayor a de un satélite para encontrar la masa del cuerpo central. Por ejemplo, para el satélite Io sabemos que: P = 1.77 días a = 4.22x10 10 cm. Demuestre que la masa de Júpiter es 1.9x10 30 gramos =318 M Tierra

33 SatéliteDistance(km)Periodo(h) Io422, Europa671, Ganimede1,070, Calisto1,883, Verifique que obtiene resultados consistentes con las otras Lunas Galileanas.

34 Otro ejemplo útil es el de los satélites geoestacionarios, para los que P = 1 día. Sabiendo que M Tierra = 5.974x10 27 gr. ¿A que altura deben orbitar a la Tierra? RTRT X P orbital = 1 día = P rotacional de la Tierra

35 Es la velocidad que debe superar un cuerpo para poder abandonar completamente a su cuerpo central. La condición que se debe cumplir es, que su energía total sea igual a 0. E Total = E cinética + E potencial = 0 = mV 2 /2 - GMm/r = 0 V = 2GM/r Substituyendo valores para la Tierra tenemos: V escape = 11.2 km/s. Calcule V escape para el Sol y para la Galaxia.

36 Después del descubrimiento de Urano por Hershel en 1794, surgió un gran interés por encontrar más planetas en el Sistema Solar. Pronto se supo que el movimiento de Urano, no parecía obedecer las leyes de Newton, a menos de que este planeta estuviera siendo perturbado por otro planeta más lejano. John Adams y Le Verrier trabajando en forma independiente (en Inglaterra y Francia) con las perturbaciones, predijeron la existencia de Neptuno. Dicho planeta fue observado por Galle y Darrest el 23 de septiembre de 1846.

37 El primero en observar el paralaje y utilizarlo para medir distancias a las estrellas. En 1838 descubre que la estrella 61 del Cisne tiene un paralaje de (el valor correcto es 0.292), por lo que se encuentra a 10 años luz del Sol. Un parsec equivale a 3.2 años luz de distancia. Friederich Bessel ( ), El más grande y glorioso triunfo que ha experimentado la Astronomía práctica John Hershell Puso por primera vez nuestras ideas sobre el Universo sobre una base sólida Heinrich Olbers

38 Es famoso, por descubrir a Sirio B, la compañera de Sirio (enana blanca, la primera estrella compacta en ser descubierta). Esto se estudiará más adelante en esta sesión. En matemáticas son sumamente conocidas las funciones de Bessel, que encontró por primera vez en sus estudios sobre perturbaciones planetarias. Estudios geodésicos de arcos meridianos, que le permitieron encontrar que la elipticidad de la Tierra es de aproximadamente 1/299. Estudio las perturbaciones producidas sobre Urano por un planeta desconocido (Neptuno), pero murió antes de concluir sus calculo. Otras contribuciones de Bessel

39 Las leyes de Newton son también validas para describir sistemas estelares. W. Hershel demostró a través de cálculos y observaciones que los sistemas binarios de estrellas obedecen la 3 a Ley de Keppler y que estos pueden utilizarse para medir la masa de las estrellas. Hasta la fecha esta es la técnica más confiable para obtener las masas estelares.

40 Sistema Binario de Castor

41 Sistema Binario de Sirio

42 Movimiento del Sistema de Sirio

43 C.M M1M1 M2M2 R2R2 R1R1 R i es la distancia a la estrella con masa m i medida desde el centro de masa C.M. del sistema. Por definición de C.M., M 1 R 1 =M 2 R 2. Por la 3 a Ley de Kepler, M = R 3 /P 2,donde M=M 1 +M 2 (en masas solares), R=R 1 +R 2 (en A.U) y P es el periodo (en años terrestres). La Masa de las Estrellas Para el Sistema binario de Sirio tenemos:R= 20.0 A.U, P=50 años. La 3 a Ley de Kepler nos da: M = 3.2 M sol. Y como R 2 /R 1 =2, M 1 /M 2 =2. Entonces M 1 +M 2 =M 1 +M 1 /2= 3.2 M sol. Y M 1 = 3.2 M sol /1.5 = 2.13 M sol y M 2 = 1.07M sol. La estrella 2 es una enana blanca.

44 Materia Obscura F. Zwicky en 1933, descubrió que existe más materia en el Universo que lo que podemos ver con nuestros ojos.

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46 Es sumamente importante conocer las orbitas de todos los asteroides que nos puedan impactar. Este es un ejemplo en el cual podemos ver la importancia de la observación astronómica y de la mecánica celeste.

47 Hasta el momento se conocen 462 NEO´s, que son considerados como potencialmente peligrosos. Entre los más famosos podemos mencionar a: 2002 NY40 y el 1997 XF11, que han causado alarma poco después de haber sido descubiertos. Aún no se sabe de ningún NEO que valla a impactar a nuestro planeta. Lo que si es cierto es que de alguna forma debemos estar preparados, por si esto llegara a ocurrir.

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49 Localización: 21.3°N 89.6°W al norte de la Península de Yucatán Diámetro: ~ km Edad: ± 0.05 millones de años LPI, NASA

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51 Proyecto de ESA para estudiar la posibilidad de desviar asteroides.

52 La mecánica celeste para el estudio de satélites artificiales y basura en el espacio. El insólito caso del objeto J002 E3.

53 Actualmente se utilizan 2 escalas para medir el riesgo de impacto: la de Palermo y la de Torino. De acuerdo con estas, el objeto que tiene la mayor probabilidad de impacto es el 2000 LG6, teniendo una probabilidad de unas cuantas diez milésimas, para el año Por lo que no hay que preocuparse demasiado. Los registros de cráteres más conocidos en la Tierra son: el de Meteoro (Arizona), Chicxulub (Yucatan, México), el de Aorounga (Chad), Manicouagan (Canada), y el de Roter Kamm (Namibia). En el sistema solar: Shumaker- Levy 9 (Júpiter), las cadenas de cráteres en la Luna, en Calisto y en Gamínides.

54 Common Table Column Headings: a semieje mayor e eccentricidád w argumento de preiapsis (valor medio) M anomalía media i inclinación c.r a la eclíptica (valor medio) node longitud del modo ascendente n razón de longitud (valor medio) P periodo sideral (valor medio) P w argumento del periodo de precesión periapsis P node longitud del modo de ascensión Tilt ángulo entre el ecuador del planeta y el plano Laplaciano α y δ del polo c.r al plano Laplaciano.

55 Luz corrida al azul Luz corrida al rojo Se puede inferir la presencia de un planeta, estudiando el bamboleo de una estrella, por medio del efecto Doppler. Planeta Estrella

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57 Lagrange Joseph Louis, Conde de ( ) Laplace Pierre Simon, Marqués de (1749 – 1827) Incluyeron los efectos producidos por la masa de los planetas (perturbaciones) en la descripción de los movimientos del sistema solar. Su conclusión fue, que debido a que las razones de las masas de los planetas en el sistema solar, c.r a la masa del Sol son pequeñas (10 -3 a y a que las eccentricidades (e~10 -2 ) e inclinaciones (i ~10 -2 rad), el movimiento de los planetas en el sistema solar es estable.

58 L5 L1L3L2 L4 Los puntos L4 y L5 son los únicos estables a perturbaciones. Es el sitio de los asteroides troyanos en la órbita de Júpiter. ¿Tiene Troyanos la órbita terrestre?

59 Jules Henri Poincare ( ) Uno de los más grandes matemáticos del siglo pasado. Descubrió que el movimiento de los cuerpos del sistema solar son muy sensibles a las condiciones iniciales. Con su trabajo puso en duda las conclusiones de estabilidad del sistema solar que propusieron Lagrange y Laplace. Pionero en el estudio de sistemas caóticos.

60 Teoría Especial de la Relatividad Creador: Albert Einstein Nace el 14 de Marzo de 1879 en Ulm, Alemania y muere en Princeton, Pensilvania, USA en Las 2 hipótesis: 1.-Las leyes de la física tienen las misma forma en todos los sistemas inerciales. 2.-La velocidad de la luz en el vacío es constante en cualquier sistema de referencia en que se propague.

61 Algunos Resultados de la T. E. de la Relatividad Contracción de la distancia L = L 0 (1-v 2 /c 2 ) 1/2 Dilatación del tiempo Δt = Δt 0 /(1-v 2 /c 2 ) 1/2 Paradoja de los gemelos. V

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64 Distintos Tipos de Geometrías

65 Si todos los sistemas acelerados son equivalentes, el espacio no puede ser Euclidiano. Ecuaciones de Einstein: Curvatura= G (Densidad de materia y energía) Confirmación de la TG de la Relatividad

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67 Lentes Gravitacionales


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