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Curso intensivo de Krigeado n Es un método de Interpolación n Lo hemos citado y lo citaremos en: ä Imputación de ausencias (obvio…) ä Detección de errores.

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1 Curso intensivo de Krigeado n Es un método de Interpolación n Lo hemos citado y lo citaremos en: ä Imputación de ausencias (obvio…) ä Detección de errores ä Estimación de sensibilidad de modelos n Base estadística n Incorporado en algunos GIS (¿malamente? ¿parcialmente?...)

2 ¿Qué es la Geoestadística? n Def.: Aplicación de la teoría de las variables regionalizadas a la estimación de procesos en el espacio n Si z(x) es el valor de z en el punto x, z(x) es una variable regionalizada ä Concepto no probabilístico ä Quizá función continua n Usualmente z(x) está compuesta de ä Componentes aleatorios y ä Componentes estructurados ä No luce suave Conviene considerar a z(x) como una función aleatoria

3 Algunas consecuencias… nLnLa r ealidad es simplemente una realización o instancia de un experimento aleatorio nSnSólo tenemos una realidad; hay que hacer inferencia estadística sólo con ello äEäEn general no sería posible äRäRequerirá hipótesis adicionales äEäEj.: homogeneidad espacial nLnLas funciones aleatorias son sólo un modelo posible de la realidad

4 Definiciones… Momentos de la distribución n 1er. orden: Esperanza E(Z(x))=m(x) ä m(x) es llamada deriva o tendencia n 2do. orden: ä Varianza Var(Z(x))=E([Z(x)-m(x)] 2 ) ä Covarianza C(x i,x j ) C(x i,x j )= E([Z(x i )-m(x i )].[Z(x j )-m(x j )]) ä Semivariograma γ(x i,x j ) γ(x i,x j )= 0.5*E([Z(x i )-Z(x j )] 2 ) n Var(Z(x))0; γ(x i,x j )0 pero C(x i,x j ) no se sabe

5 Más definiciones n Def.: Z(x) estacionaria de segundo orden si ä E(Z(x)) existe y no depende de x ä C(x+h,x)=C(h) (sólo depende de la separación) n Implica ä Var(Z(x))=C(0) ä γ(x+h,x)= γ(h)=0.5*E([Z(x+h)-Z(x)] 2 ) n h es en general un vector; suele asumirse isotropía, por lo que γ(h)= γ(|h|) n γ(h)=var(Z)-C(h) sólo si la media es estrictamente constante; en otro caso, usar γ(h) es más conveniente que usar C(h)

6 Más sobre variogramas… Def.: γ(h)=0.5*E([Z(x+h)-Z(x)] 2 ) n γ(0)=0; γ(h)0 Rango (Range): Distancia a la cual el variograma se estabiliza Meseta (Sill) : Valor constante que toma el variograma en distancias mayores al rango

7 Fórmula del Variograma n El variograma debe cumplir algunas condiciones matemáticas restrictivas n Salen de imponer que Var(Y)0, siendo Y=Σ λ i Z(x i ), λ i y x i conjunto arbitrario n Hay algunos modelos de variogramas que se ajustan a los datos ä Esférico, Exponencial, Gaussiano, Pepita, etc. ä Hay otros menos populares n Todos dependen de la meseta S y el rango a, excepto el denominado Pepita (nugget)

8 Estimación del Variograma n Un tópico en sí mismo n Left to the user… n Métodos: ä A sentimiento (!) ä Mínimos cuadrados ä Jacknife ä Máxima Verosimilitud ä Validación Cruzada ä Validación Cruzada de Máxima Verosimilitud ä…ä… n Sin variograma…

9 Krigeado n Del geólogo sudafricano D. G. Krige n Hay muchas variantes y casos particulares n Caso Puntual: se modela el estimador con eligiéndose los pesos λ i (x) para que sea insesgado y de varianza mínima

10 Algunos detalles n Se asume m constante; hay variantes para otro caso n Los pesos son función del punto n Salen del sistema:

11 Algunos detalles (2) n Donde n Nótese que: ä El variograma depende de los datos ä Los coeficientes λ i dependen del variograma, pero no de los datos mismos ä Idem con la varianza, mediante la expresión ä La matriz del sistema es constante; puede usarse LU n El resultado es perfectamente determinista; lo estocástico reside en los datos mismos

12 Algunos detalles (3) n El de Krigeado es un estimador BLUE ä Sólo si el variograma es exacto ä Sólo si la función aleatoria es normal –En ese caso, es el Best incluso comparando con los no lineales –Difícil de verificar la normalidad en la práctica (por lo multivariado…) n El Krigeado es interpolante ä Sólo si se asumen datos sin error n Bajo ciertas hipótesis ä error ~N (-2/d) ; N nro. de puntos y d dimensión del espacio (típicamente 2) ä ¡Incluso con el variograma erróneo! –Pero en este caso la varianza no es consistente

13 Algunos detalles (3) n Si los datos tienen un error cuya varianza es ε 2 el sistema cambia levemente

14 Simulación n Def.: ä No condicionada: Consiste en generar realizaciones con igual media y varianza que la disponible ä Condicionada: Idem, pero obligando a que además adopte valores específicos en ciertos puntos n Tres tipos de métodos ä Espectrales, Bandas Rotantes y Matricial ä Sólo presentaremos el Matricial

15 Método Matricial de Simulación n No es el más eficaz si se necesitan muchos puntos ä Matricial O(n 3 ) ä Bandas rotantes O(n 1/2 ) n Implícitamente se asume normalidad n La fórmula para Z S es: n La simulación se logra generando diversos u ä Problema estándar ä Muchas librerías disponibles

16 ¿Para qué se usa la Simulación? n Generar realizaciones ä Compatibles con las medidas disponibles ä Compatibles con el variograma asumido n Ejemplo: un MDE ä Generar N realizaciones del raster buscado ä Delinear zona de visibilidad a un mástil ä Calcular área A i de esa zona ä Calcular valor esperado, promedio, máximos, etc. del conjunto A i y sus niveles de confianza n Se comentarán más casos luego

17 Literatura & Software n Digital: ä Rudolf Dutter, Vienna Inst. of Technology CD del curso; ä Denis Marcotte, École Polytechnique de Montréal CD del curso; ä Oscar Rondón, Venezuela CD del curso n Papel: ä Samper, F.J. y Carrera, J Geoestadística: Aplicaciones a la hidrología subterránea, CIMNE, ISBN n Biblioteca GSLIB n Matlab+EasyKrig ftp://globec.whoi.edu/pub/software/kriging/V2.1/easy_krig2.1


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