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Métodos de Análisis Ingenieril Raíces de Ecuaciones M.C. Fco. Javier de la Garza S. Cuerpo Académico Sistemas Integrados de Manufactura Gama.fime.uanl.mx/~jdelagar.

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1 Métodos de Análisis Ingenieril Raíces de Ecuaciones M.C. Fco. Javier de la Garza S. Cuerpo Académico Sistemas Integrados de Manufactura Gama.fime.uanl.mx/~jdelagar

2 De la ecuación Pero en otros casos Raíces de Ecuaciones

3 Solución de Ecuaciones no lineales Intervalo Bisección Falsa Posición GráficaMétodos Abiertos Newton Raphson Secante Todos Interactivos

4 Se requieren dos valores iniciales. Estos valores deben dar resultados con signo distinto al aplicarlos a la ecuación. Si una raíz de una función real y continua f(x)=0 esta entre dos valores x=x l, x =x u entonces f(x l ) * f(x u ) < 0. (La función cambia de signo) Métodos de Intervalos

5 Sin respuesta (no hay raíces ) Sencillo (una raíz) Dos raíces Tres raíces

6 Dos raíces Función discontinua. Requiere otro método

7 Muchas raíces f(x)=sin 10x+cos 3x

8 Método de Bisección Para una ecuación de una variable, f(x)=0 1.Elegir x l y x u de forma que la raíz de interés quede en medio, revisar si f(x l )*f(x u ) <0. 2.Estimar la raíz evaluando f[(x l +x u )/2]. 3.Encontrar la pareja de valores Si f(x l )*f[(x l +x u )/2]<0, la raíz se encuentra en el intervalo inferior, entonces x u =(x l +x u )/2 e ir al paso 2.

9 Si f(x l )*f[(x l +x u )/2]>0, la raíz está en el intervalo superior, entonces x l = [(x l +x u )/2, ir al paso 2. Si f(x l )*f[(x l +x u )/2]=0, entonces la raíz es (x l +x u )/2 y terminamos. 4.Comparar s con a 5.Si a < s, detener. De lo contrario repetir el proceso.

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11 Evaluación del Método Ventajas Sencillo Siempre encuentra la raíz Se puede calcular el número de iteraciones requeridas para obtener un error absoluto. Desventajas Lento Conocer que entre a y b esta la raíz Multiples raíces No se toma en cuenta f(x l ) y f(x u ), Si f(x l ) esta cerca de cero, es probable que la raíz este cerca de x l.

12 ¿Cuántas iteraciones se necesitan? Longitud inicialL o =b-a Iteración 1L 1 =L o /2 Iteración 2L 2 =L o /4 Iteración kL k =L o /2

13 Si la magnitud absoluta del error es: y L o =2, ¿Cuántas iteraciones se requieren para obtener la exactitud requerida en la solución?

14 Método de la Falsa Posición Si una raíz real esta entre x l y x u de f(x)=0, entonces se puede aproximar la solución haciendo una interpolación lineal entre los puntos [x l, f(x l )] y [x u, f(x u )] para encontrar x r valor que hace l(x r )=0, l(x) es la aproximación lineal de f(x).

15 Procedimiento 1.Encontrar un par de valores de x, x l y x u tales que f l =f(x l ) 0. 2.Estimar el valor de la raíz de la siguiente fórmula y evaluar f(x r ).

16 3.Utilizar el nuevo punto para reemplazar uno de los originales manteniendo ambos puntos en lados opuestos del eje x. Si f(x r ) f l =f(x r ) Si f(x r )>0 entonces x u =x r = > f u =f(x r ) Si f(x r )=0 se a encontrado la raíz

17 4.Revisar si los nuevo x l y x u están tan cerca para declarar convergencia. Si no lo están, regresar al paso 2. Ventajas de este método –Más rápido –Siempre converge para una sola raíz. Nota: Siempre se debe revisar el valor estimado de la raíz en la ecuación original para validar que f(x r ) 0.


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