Ecuaciones diferenciales

Presentación del tema: "Ecuaciones diferenciales"— Transcripción de la presentación:

1 Ecuaciones diferenciales
2. Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales Objetivo El alumno aplicará los conceptos fundamentales de las ecuaciones diferenciales lineales y de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales, en la resolución e interpretación de Problemas físicos y geométricos

2 La ecuación diferencial homogénea de orden n
Soluciones de la ecuación diferencial homogénea de orden n Principio de superposición para ED lineales homogéneas La solución trivial y dependencia e independencia lineal El Wronskiano y la solución general de ED homogéneas Espacios vectoriales y el conjunto fundamental de soluciones ED homogéneas de coeficientes constantes: obtención del conjunto fundamental de soluciones

3 ¿Cuántas soluciones tiene la ED mostrada?
Características principales de la ED: Lineal Homogénea Orden n La ecuación diferencial homogénea de orden n tiene n soluciones

4 Principio de superposición para una ED lineal homogénea de orden n
Sean y1, y2, … , yn soluciones de la ED lineal homogénea de orden n: Entonces la combinación lineal donde ci, i = 1, 2, … , n son constantes arbitrarias, también es una solución

5 (A) Solución trivial de una ED homogénea
y dependencia e independencia lineal Corolario: Una ED homogénea posee siempre la solución trivial y(x) = 0 En el caso de una ED homogénea lineal: (A) Solución trivial

6 Para que (A) se cumpla existen dos posibilidades:
(1) no todas son cero (2) Dependencia e independencia lineal Se dice que un conjunto de funciones f1(x), f2(x), … , fn(x) es linealmente dependiente en un intervalo I si existen constantes c1, c2, … , cn, no todas cero, tales que para toda x en I. Si el conjunto NO es linealmente dependiente en el intervalo, se dice que es linealmente independiente.

7 Ejemplo de conjunto de funciones linealmente dependiente
Demuestre que el conjunto A de funciones es linealmente dependiente en (-, )

8 Ejemplo de conjunto de funciones linealmente independiente
Demuestre que el conjunto A de funciones es linealmente independiente en (-, )

9 ¿Cómo evaluar la dependencia lineal de un conjunto de funciones?
Wronskiano Sean f1, f2, …, fn funciones que poseen al menos n-1 derivadas. El determinante se llama el Wronskiano de las funciones

10 Se dice que el conjunto de funciones
es linealmente independiente si y sólo si

11 Solución general de una ED lineal homogénea de orden n
Sean y1, y2, …, yn n soluciones de la ecuación (I) (I) Si el conjunto es linealmente independiente, es decir, , entonces la solución general de (I) es y al conjunto B se le llama conjunto fundamental de soluciones de (I)

12 De acuerdo con lo anterior, tenemos que
El conjunto fundamental de soluciones es la base del espacio vectorial de dimensión n que contiene a todas las soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea El elemento genérico del espacio vectorial que contiene a todas las soluciones de (I) es la solución general de la ED y se obtiene a través de una combinación lineal de los elementos de la base Para obtener la solución general de (I) basta con conocer al conjunto B, conjunto fundamental de soluciones de (I), y hacer una combinación lineal de sus elementos

13 ¿Cómo obtener el conjunto fundamental de
soluciones, B, de una ED lineal homogénea? Veremos un método para obtener los elementos de B para una ED lineal homogénea de orden n con coeficientes constantes, a partir de sus valores característicos

14 ED lineales de coeficientes constantes
El procedimiento basado en los valores característicos de una ED lineal de coeficientes constantes permite obtener soluciones del tipo Donde l es un valor característico de la ecuación diferencial. Es decir, l es una raíz de la ecuación característica de la ED.

15 El tipo de soluciones de una ED lineal homogénea de coeficientes constantes depende del tipo de raíces de su ecuación característica: Raíces reales distintas Raíces reales repetidas Raíces complejas