Unidad 2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Presentación del tema: "Unidad 2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR"— Transcripción de la presentación:

1 Unidad 2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES: TEORÍA BÁSICA

2 Problemas de valores iniciales (PVI)
Para una ecuación diferencial lineal, un problema de valor inicial de n-ésimo orden es: Resuelva: Sujeto a:

3 Existencia de una solución única
Sean an(x), an-1(x), …, a1(x), a0(x) y g(x) continuas en un intervalo I, y sea an(x) diferente de 0 para toda x en este intervalo. Si x=x0 es cualquier punto en este intervalo, entonces una solución y(x) del problema de valor inicial existe y es única.

4 Problema de valores en la frontera (PVF)
Otro tipo de problema consiste en resolver una ecuación diferencial lineal de orden dos o mayor en el que la variable dependiente y o sus derivadas se especifican en diferentes puntos. Un problema como: Se llama problema de valores en la frontera.

5 Ecuaciones homogéneas
Una ecuación diferencial lineal de orden n de la forma: es homogénea, mientras que una ecuación: con g(x) no igual a cero, es no homogénea.

6 Principio de superposición, ecuaciones homogéneas
Sean y1, y2, …, yk, soluciones de la ecuación homogénea de n-ésimo orden en un intervalo I. Entonces la combinación lineal , donde ci=1,2,…,k son constantes arbitrarias, también es una solución en el intervalo.

7 Dependencia lineal e independencia
Un conjunto de funciones f1(x), f2(x), …, fn(x), es linealmente dependiente en un intervalo I si existen constantes c1, c2, …, cn, no todas cero, tales que: para toda x en el intervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmente dependiente en el intervalo, se dice que es linealmente independiente.

8 Wronskiano Suponga que cada una de las funciones f1(x), f2(x), …, fn(x), posee al menos n-1 derivadas. El determinante: donde las primas denotan derivadas, se llama el wronskiano de las funciones.

9 Criterio para soluciones linealmente independientes
Sean y1, y2, …, yn, n soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de n-ésimo oden en el intervalo I. El conjunto de soluciones es linealmente independiente en I si y sólo si W(y1, y2, …, yn) es diferente de cero para toda x en el intervalo.

10 Conjunto fundamental de soluciones
Cualquier conjunto y1, y2, …, yn de n soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial lineal homogénea de n-ésimo orden en un intervalo I es un conjunto fundamental de soluciones en el intervalo.

11 Existencia de un conjunto fundamental de soluciones
Existe un conjunto fundamental de soluciones para la ecuación diferencial homogénea de n-ésimo orden en un intervalo I.

12 Solución general, ecuaciones homogéneas
Sean y1, y2, …, yn un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de n-ésimo orden en el intervalo I. Entonces, la solución general de la ecuación en el intervalo es: donde ci, i=1,2,…,n son constantes arbitrarias.