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Eduardo Véliz, Ing.Tema 4: Introducción a Probabilidad1 Estadística Tema 4: Introducción a Probabilidad.

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1 Eduardo Véliz, Ing.Tema 4: Introducción a Probabilidad1 Estadística Tema 4: Introducción a Probabilidad

2 2 Eduardo Véliz, Ing. Reglas de Probabilidad Eventos Exclusivos o Mutuamente Excluyentes son aquellos cuyos conjuntos no se intersecan. Es decir que un dato no aparece en ambos a la vez. Eventos Exhaustivos son aquellos cuya Unión es el Espacio Muestral, es decir que cada dato aparece al menos en un evento. A B AB= AB A B = S

3 Tema 4: Introducción a Probabilidad3 Eduardo Véliz, Ing. Sistema exhaustivo y excluyente de sucesos A1A1 A2A2 A3A3 A4A4 Son una colección de sucesos A 1, A 2, A 3, A 4 … Tales que la unión de todos ellos forman el espacio muestral, y sus intersecciones son disjuntas.

4 Tema 4: Introducción a Probabilidad4 Eduardo Véliz, Ing. Reglas de Probabilidad Eventos independientes son aquellos que no afectan en el resultado del otro. Cumplen la propiedad: P(AB) = P(A)P(B) P(A) = 0.20 P(B) = 0.30 P(AB) = 0.06 P(A)P(B) = 0.06 Nótese al graficar que: P(A) = = P(B) = = A B

5 Tema 4: Introducción a Probabilidad5 Eduardo Véliz, Ing. Reglas de Probabilidad Regla Complementaria. P(A) = P(S) - P(A) = 1 – P(A). Regla Multiplicativa. Similar a Inclusión-Exclusión. P(AB) = P(A)P(B|A) P(AB) = P(B)P(A|B) Esto significa que la probabilidad que sucedan A y B a la vez es equivalente a la probabilidad que suceda A por la probabilidad que suceda B, dado que ya sucedió A. Qué sucede si A y B son Independientes? Puesto que P(AB) = P(A)P(B) Entonces P(A)P(B) = P(B)P(A|B) Entonces P(A) = P(A|B) Lo mismo sucede con P(B) = P(B|A).

6 Tema 4: Introducción a Probabilidad6 Eduardo Véliz, Ing. Reglas de Probabilidad Regla Aditiva. Similar a Inclusión-Exclusión. P(A B) =P(A) +P(B) –P(AB). Qué sucede si A y B son Exclusivos? Puesto que P(AB) = P( ) = 0. Entonces P(A B) =P(A) +P(B). Qué sucede si A y B son Independientes? Puesto que P(AB) = P(A)P(B) Entonces P(A B) =P(A) +P(B) –P(A)P(B). Qué sucede si A y B son Exhaustivos? P(A B) = P(S) = 1.

7 Tema 4: Introducción a Probabilidad7 Eduardo Véliz, Ing. Probabilidad condicional Despejemos de la Regla Multiplicativa. Se llama probabilidad de A condicionada a B, o probabilidad de A sabiendo que sí sucede B. E espacio muestral A B tamaño de uno respecto al otro

8 Tema 4: Introducción a Probabilidad8 Eduardo Véliz, Ing. EJEMPLO: En una muestra de 1000 individuos elegidos al azar, entre una población de enfermos de osteoporosis 760 eran mujeres. ¿Qué porcentaje de mujeres hay en la muestra? 760/1000 = 0,76 76% Si elegimos a un individuo de la población, qué probabilidad hay de que sea mujer: Es equivalente a medir la proporción de mujeres P(Mujer) = 0.76 ¿Cuál es la probabilidad de que elegido un individuo de la población sea hombre: P(Hombre) = P(Mujer ) = 1 -0,76 =0,24 Se sabe de otros estudios que entre los individuos con osteoporosis, aprox. la cuarta parte de las mujeres fuman y la tercera parte de los hombres. Elegimos a un individuo al azar de la población de enfermos. ¿Qué probabilidad hay de que sea mujer fumadora? P(Mujer Fumar) = P(Mujer) P(Fumar|Mujer) = 0,76 x ¼ = 0,19 ¿Qué probabilidad hay de que sea un hombre fumador? P(Hombre Fumar) = P(Hombre) P(Fumar|Hombre) = 0,24 x 1/3 = 0,08

9 Tema 4: Introducción a Probabilidad9 Eduardo Véliz, Ing. Teorema de la probabilidad total A1A1 A2A2 A3A3 A4A4 B Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces… … podemos calcular la probabilidad de B. P(B) = P(BA 1 ) + P(BA 2 ) + P( BA 3 ) + ( BA 4 ) =P(B|A 1 ) P(A 1 ) + P(B|A 2 ) P(A 2 ) + …

10 Tema 4: Introducción a Probabilidad10 Eduardo Véliz, Ing. Ejemplo: En este aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los varones, son fumadores el 20%. ¿Qué porcentaje de fumadores hay en total? P(F) = P(FH) + P(FM) = P(F|H) P(H) + P(F|M) P(M) =0,2 x 0,3 + 0,1 x 0,7 = 0,13 =13% ¿Se elije a un individuo al azar y resulta fumador. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un hombre? P(H|F) = P(F H)/P(F) = P(F|H) P(H) / P(F) = 0x2 x 0,3 / 0,13 = 0,46 = 46% Mujeres Varones fumadores T. Prob. Total. Hombres y mujeres forman Un Sist. Exh. Y Excl. De sucesos T. Bayes

11 Tema 4: Introducción a Probabilidad11 Eduardo Véliz, Ing. Fuente


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