UNIVERSIDAD PONTIFICIA BOLIVARIANA Ingenierías – Centro de Ciencias Básicas – Material preparado por William Alexander Torres Zambrano

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1 UNIVERSIDAD PONTIFICIA BOLIVARIANA Ingenierías – Centro de Ciencias Básicas – Material preparado por William Alexander Torres Zambrano william.torres@upb.edu.co Curso de Geometría Analítica

2 Ingenierías – Centro de Ciencias Básicas – MSc. William Alexander Torres Zambrano william.torres@upb.edu.cowilliam.torres@upb.edu.co Texto guía, disponible en fotocopiadora de San Alejo, (304 páginas) En biblioteca está con el nombre de : Geometría Analítica 516.3 E72ge En biblioteca está con el nombre de : Geometría Analítica 516.3 E72ge Bibliografía complementaria Acá se agrega descripción del libro y otros…

3 Ingenierías – Centro de Ciencias Básicas – MSc. William Alexander Torres Zambrano william.torres@upb.edu.cowilliam.torres@upb.edu.co Evaluación del curso ActividadFechaPorcentaje ExamenSemana 310% Parcial 1Semana 520% Tarea Geogebra Semana 710% Parcial 2Semana 920% Quiz Online Semana 1310% TareaSemana 1510% Parcial 3Semana 1720% La evaluación es un proceso permanente y continuo, donde se pone de manifiesto por parte del estudiante las competencias desarrolladas a lo largo del curso. Las evaluaciones son individuales?

4 Ingenierías – Centro de Ciencias Básicas – MSc. William Alexander Torres Zambrano william.torres@upb.edu.cowilliam.torres@upb.edu.co 1. COORDENADAS CARTESIANAS 2. VECTORES 3. VARIEDADES LINEALES 4. TRANSFORMACIONES DE COORDENADAS 5. LÍNEAS CÓNICAS EN EL PLANO 6. VARIEDADES NO LINEALES Contenido del curso

5 UNIDAD 1 COORDENADAS CARTESIANAS En esta unidad se comienza con el estudio del Axioma llamado de “Cantor – Dedekind” y analizar de esta manera, una de las características de los números Reales que es su infinitud. A continuación presenta las coordenadas en una, dos, y tres dimensiones con su respectiva métrica. Se presentan Teoremas que permiten calcular distancia entre puntos, además de las coordenadas de un punto que divide a un segmento en otros dos. Al final de la unidad, se generalizan los conceptos para el espacio Euclídeo n- dimensional. Al cierre se plantea al estudiante un grupo de ejercicios para practicar los conceptos abordados en clase. Tiempo: 2 clases Imagen 1 Ingenierías – Centro de Ciencias Básicas – MSc. William Alexander Torres Zambrano william.torres@upb.edu.cowilliam.torres@upb.edu.co

6 Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (San Petersburgo, 3 de marzo de 1845 - Halle, 6 de enero de 1918) fue un matemático Ruso, inventor con Dedekind y Frege de la teoría de conjuntos, que es la base de las matemáticas modernas. Gracias a sus atrevidas investigaciones sobre los conjuntos infinitos fue el primero capaz de formalizar la noción de infinito bajo la forma de los números transfinitos (cardinales y ordinales). Vivió aquejado por episodios de depresión, atribuidos originalmente a las críticas recibidas y sus fallidos intentos de demostración de la hipótesis del continuo, aunque actualmente se cree que poseía algún tipo de "depresión ciclo-maníaca". Hoy en día, la comunidad matemática reconoce plenamente su trabajo, y admite que significa un salto cualitativo importante en el raciocinio lógico. Tomado con fines educativos de: https://es.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor# cite_note- FOOTNOTEDauben1988.2C_2005Cyclic_mani c-depression-1 (recuperado julio 8 de 2015) https://es.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor# cite_note- FOOTNOTEDauben1988.2C_2005Cyclic_mani c-depression-1 Ingenierías – Centro de Ciencias Básicas – MSc. William Alexander Torres Zambrano william.torres@upb.edu.cowilliam.torres@upb.edu.co Imagen 2

7 (6 de octubre de 1831 - 12 de febrero de 1916), matemático alemán. Dedekind franciscus nació en Brunswick (Braunschweig en alemán), el más joven de los cuatro hijos de Julius Levin Ulrich Dedekind. Dedekind aprendió matemáticas en los departamentos de matemáticas y física de la niversidad de Gotinga, siendo uno de sus principales profesores Moritz Abraham Stern, y también física de la mano de Wilhelm Eduard Weber. Su tesis doctoral, supervisada por Gauss, se titulaba Über die Theorie der Eulerschen Integrale (Sobre la teoría de las Integrales eulerianas), y aunque en ella no se reflejaba el talento que mostró en sus trabajos posteriores, Gauss supo apreciar el don de Dedekind para las matemáticas. Dedekind recibió su doctorado en 1852, siendo el último alumno de Gauss, y trabajó a continuación en una tesis de habilitación, que era necesaria en Alemania para obtener la "venia docendi" (habilitación de enseñanza docente en universidades alemanas). Ingenierías – Centro de Ciencias Básicas – MSc. William Alexander Torres Zambrano william.torres@upb.edu.cowilliam.torres@upb.edu.co Imagen 3 Julius Wilhelm Richard Dedekind Tomado con fines educativos de: https://es.wikipedia.org/wiki/Julius_Wilhelm _Richard_Dedekind https://es.wikipedia.org/wiki/Julius_Wilhelm _Richard_Dedekind (recuperado julio 9 de 2015)

8 Axioma Cantor - Dedekind. Existe una correspondencia biunívoca entre los números reales y los puntos de una recta de modo que: a)A cada punto de la recta le corresponde exactamente un número real. b)A cada número real le corresponde exactamente un punto de la recta. Existe una correspondencia biunívoca entre los números reales y los puntos de una recta de modo que: a)A cada punto de la recta le corresponde exactamente un número real. b)A cada número real le corresponde exactamente un punto de la recta. Imagen 4 Ingenierías – Centro de Ciencias Básicas – MSc. William Alexander Torres Zambrano william.torres@upb.edu.cowilliam.torres@upb.edu.co Establecida la anterior correspondencia, la recta se llama “recta numérica real” ó “eje coordenado”

9 Coordenadas Cartesianas en una Dimensión Ingenierías – Centro de Ciencias Básicas – MSc. William Alexander Torres Zambrano william.torres@upb.edu.cowilliam.torres@upb.edu.co Ejemplo Imagen 5

10 Ingenierías – Centro de Ciencias Básicas – MSc. William Alexander Torres Zambrano william.torres@upb.edu.cowilliam.torres@upb.edu.co Solución Analicemos dos caminos:

11 Coordenadas Cartesianas en dos Dimensiones Ingenierías – Centro de Ciencias Básicas – MSc. William Alexander Torres Zambrano william.torres@upb.edu.cowilliam.torres@upb.edu.co Plano cartesiano Primer cuadrante Segundo cuadrante Cuarto cuadrante Tercer cuadrante Plano cartesiano ortogonal

12 Ingenierías – Centro de Ciencias Básicas – MSc. William Alexander Torres Zambrano william.torres@upb.edu.cowilliam.torres@upb.edu.co Distancia entre dos puntos en dos dimensiones:

13 Ingenierías – Centro de Ciencias Básicas – MSc. William Alexander Torres Zambrano william.torres@upb.edu.cowilliam.torres@upb.edu.co Demostración:

14 Ingenierías – Centro de Ciencias Básicas – MSc. William Alexander Torres Zambrano william.torres@upb.edu.cowilliam.torres@upb.edu.co

15 Ingenierías – Centro de Ciencias Básicas – MSc. William Alexander Torres Zambrano william.torres@upb.edu.cowilliam.torres@upb.edu.co

16 Referencias imágenes http://www.aulasystem.com/Cursos/1084/images/12_01.jpg http://cs.mcgill.ca/~rwest/wikispeedia/wpcd/images/184/18499.jpg http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/BigPictures/Dedekind_3.jpeg http://www.profesorenlinea.cl/imagenmatematica/Numeros_reales_image008.jpg http://www.darwin- milenium.com/estudiante/matematicas/Numeros%20Reales_archivos/image092.gif Ingenierías – Centro de Ciencias Básicas – MSc. William Alexander Torres Zambrano william.torres@upb.edu.cowilliam.torres@upb.edu.co