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BIENVENIDOS. Matemáticas Financieras A lo largo de este módulo, aprenderás conceptos básicos sobre Finanzas e Inversiones, que te ayudarán en tu trabajo.

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1 BIENVENIDOS

2 Matemáticas Financieras A lo largo de este módulo, aprenderás conceptos básicos sobre Finanzas e Inversiones, que te ayudarán en tu trabajo diario.

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4 Tasa de Interés La tasa de interés es el porcentaje al que está invertido un capital en una unidad de tiempo, determinando lo que se refiere como "el precio del dinero en el mercado financiero".capital La tasa de interés es fijada por el Banco central de cada país a los otros bancos y estos, a su vez, la fijan a las personas por los préstamos otorgados.Banco central Una tasa de interés alta incentiva al ahorro y una tasa de interés baja incentiva al consumo.

5 BIENVENIDO AL INTERÉS SIMPLE

6 Interés Simple Comencemos revisando los conceptos claves : Capital, Interés y Tasa de Interés.

7 Interés Simple Si un amigo(a) te pide un préstamo de $10.000, podemos decir que el CAPITAL que has prestado es de $

8 Interés Simple Si tu amigo(a) promete devolverte $ en un mes más, podemos decir que obtendrás un interés de $1.000.

9 Interés Simple Si tu amigo(a) promete devolverte $ en un mes más, podemos decir que obtendrás un interés de $1.000.

10 Interés Simple Pero además hay otro concepto importante asociado a los dos anteriores. LA TASA DE INTERÉS, que es el porcentaje que representa el interés sobre el capital en un periodo determinado. A este concepto de tasa de interés, también se le denomina RENTABILIDAD en renta fija.

11 Interés Simple En consecuencia, tenemos tres conceptos básicos que serán permanentemente empleados en operaciones crediticias, Inversiones y Finanzas en general. Así abreviaremos : No confundas interés con tasa de interés. Como ves son muy diferentes. Cuando ustedes consultan por rentabilidad, puedes asociarla con el concepto de TASA DE INTERÉS.

12 Interés Simple EJEMPLO : Imagina que vas al banco y

13 Interés Simple Veamos ahora si podemos reconocer y aplicar los conceptos revisados. C I i

14 Interés Simple A continuación veremos como opera el cálculo de intereses………….. REVISEMOS EL SIGUIENTE GRÁFICO :

15 Interés Simple En el interés simple, el Capital y la Ganancia por el interés permanece invariable en el tiempo.

16 Interés Simple Analicemos el caso de un Capital de $ colocado a una Tasa de Interés de 8% anual durante 5 años : Veamos ahora cómo funciona, en el siguiente gráfico :

17 Interés Simple En el ejemplo anterior, notaste que el interés simple era de $800. Ello es así porque el interés simple es directamente proporcional al Capital, a la tasa de interés y al número de períodos. Matemáticamente, ello se expresa de la siguiente forma: I C i n I = C x i x n Interés Simple Capital Tasa de interés Período

18 Interés Simple El interés Simple posee las siguientes características : A mayor C A P I T A L A mayor TASA DE INTERÉS A mayor N° DE PERÍODOS Mayor INTERÉS

19 Interés Simple Ejercicio 1 : Si depositas en una cuenta de ahorro $ al 6% anual y mantienes este ahorro durantes 5 años... ¿ Cuánto interés recibirás al final del quinto año, si el interés a recibir es de tipo SIMPLE ? Seleccionamos la fórmula : I = C x i x n Reemplazando los valores en la fórmula : I = x 0.06 x 5 I = x 0.06 x 5 Efectuando los cálculos se obtiene : I = $ I = $ Es necesario precisar que la tasa de interés (i) se expresa en porcentaje (%) y para usarla en una fórmula, es necesario expresarla en decimales. Por Ejemplo : 6% = 0,06 (6 Dividido por 100)

20 Interés Simple A modo de práctica, resolvamos los siguientes ejercicios : ¿ Qué capital colocado al 24% anual producirá al cabo de 6 meses $ de Interés ? ¿ Qué fórmula usaras ? Verificando fórmula..... Correcto, en este caso la incógnita es el Capital, al despejarla de la fórmula de Interés Simple obtenemos la fórmula seleccionada. En este caso n = 6 meses o para homogeneizar, 0,5 años. ¡Muy bien! $ es el CAPITAL

21 Interés Simple Ejercicio 2 : Si depositas en una cuenta de ahorro $ al 6% anual y mantienes este ahorro durantes 5 días... ¿ Cuánto interés recibirás al final del quinto día, si el interés a recibir es de tipo SIMPLE ? Seleccionamos la fórmula : I = C x i x n / 360 I = C x i x n / 360 Reemplazando los valores en la fórmula : I = x 0.06 x 5 / 360 I = x 0.06 x 5 / 360 Efectuando los cálculos se obtiene : I = $ 83,3 I = $ 83,3 El interés que obtendría usted es de $83

22 Interés Simple Los ejemplos y actividades que verás, se basan en el llamado tiempo ajustado, o Tiempo comercial, que considera cada mes como de 30 días. El denominado tiempo real que tiene meses de entre 28 y 31 días, no se usará por razones prácticas.

23 Interés Simple OJO : Debemos igualar las unidades de tiempo en que están expresadas la tasa y el período.

24 BIENVENIDO AL INTERÉS COMPUESTO

25 Interés Compuesto El interés simple es necesario de conocer, pero en la práctica se emplea muy poco. La gran mayoría de los cálculos financieros se basan en lo que se denomina INTERÉS COMPUESTO. Al final de cada período el capital varía, y por consiguiente, el interés que se generará será mayor.

26 Interés Compuesto Lo más importante que debes recordar es que para efectuar el cálculo de cada período, el nuevo capital es = al anterior más el interés ganado en el período.

27 Interés Compuesto Revisemos cuidadosamente el siguiente desarrollo de la fórmula para interés compuesto :

28 Interés Compuesto Revisemos cuidadosamente el siguiente desarrollo de la fórmula para interés compuesto : Recuerda que el exponente de (1+i) es igual al número de períodos.

29 Interés Compuesto Un concepto importante que debes recordar, se refiere a la CAPITALIZACIÓN de los intereses, es decir, cada cuánto tiempo el interés ganado se agrega al Capital anterior a efectos de calcular nuevos intereses. En general la CAPITALIZACIÓN se efectúa a Intervalos regulares : Diario Diario Mensual Mensual Trimestral Trimestral Cuatrimestral Cuatrimestral Semestral Semestral Anual Anual

30 Interés Compuesto Se dice entonces : que el interés es CAPITALIZABLE, o convertible en capital, en consecuencia, también gana interés El interés aumenta periódicamente durante el tiempo que dura la transacción. El capital al final de la transacción se llama MONTO COMPUESTO y lo designaremos MC. A la diferencia entre el MONTO COMPUESTO y el CAPITAL (C) se le conoce como INTERÉS COMPUESTO y lo designaremos por IC. Obtenemos entonces la siguiente fórmula : IC = MC – C Interés Compuesto = Monto Compuesto - Capital

31 Interés Compuesto De acuerdo a lo que ya hemos revisado respecto a INTERÉS COMPUESTO: Monto Compuesto, al final del periodo n estaría dado por : MC = C*(1+i)^n En los problemas de Interés Compuesto el Principio fundamental Establece que la Tasa De Interés y el Tiempo deben estar en la misma unidad que establece la capitalización. El factor (1+i)^n Se denomina FACTOR DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTO

32 Interés Compuesto Ejercicio 1 : ¿ Cuál es el MONTO COMPUESTO de un CAPITAL de $ depositado a una TASA del 2% mensual durante 8 meses, capitalizable mensualmente ? Seleccionamos la fórmula : MC = C * (1+i)^n Reemplazando los valores en la fórmula : MC = * (1+0.02)^8 MC = * (1+0.02)^8 Efectuando los cálculos se obtiene : MC = $ MC = $ PARE : Recuerde respetar las prioridades Operacionales : 1° Resolvemos el paréntesis. 2° Multiplicamos.

33 Interés Compuesto Ejercicio 2 : Un CAPITAL de $ , colocados a una TASA DE INTERÉS COMPUESTO del 3,5%, capitalizable mensualmente, se convirtió en un MONTO COMPUESTO de $ ¿Cuánto TIEMPO duró la operación? Seleccionamos la fórmula : N = Log MC – Log C / Log (1+i) Reemplazando los valores en la fórmula : N = Log – Log N = Log – Log / Log 1,035 Efectuando los cálculos se obtiene : N = 5, – 5, N = 5, – 5, / 0, = 4, = 5

34 Interés Compuesto Ejercicio 3 : Un CAPITAL de $ , colocados durante 5 MESES en un banco, se convirtió en un MONTO COMPUESTO de $ , capitalizable mensualmente. ¿Cuál es la TASA DE INTERÉS de la operación? Seleccionamos la fórmula : i = (MC / C ) ^ 1/n - 1 Reemplazando los valores en la fórmula : i = (( / ) ^ (1/5)) - 1 i = (( / ) ^ (1/5)) - 1 Efectuando los cálculos se obtiene : i = 1, ^ 1/5 - 1 i = 1, ^ 1/5 - 1 i = 1, – 1 = 0, = 0,035 i = 1, – 1 = 0, = 0,035 Entonces la TASA DE INTERÉS fue de un 3,5 % mensual.

35 Interés Compuesto Ejercicio 4 : ¿ Cuánto CAPITAL depositó una persona, a una TASA DE INTERÉS del 12% anual, si al cabo de 2 AÑOS tiene un MONTO COMPUESTO de $ , capitalizable anualmente ?. Seleccionamos la fórmula : C = MC / (1 + i)^n Reemplazando los valores en la fórmula : C = / (1 + 0,12)^2 C = / (1 + 0,12)^2 Efectuando los cálculos se obtiene : C = / 1,2544 = $ C = / 1,2544 = $ Entonces el CAPITAL DEPOSITADÓ fue de $

36 Interés Real y Nominal El ultimo concepto que revisaremos en esta lección se refiere a INTERÉS REAL. Como muchos otros bienes, el dinero se deprecia en el tiempo (tiene un menor valor). En el caso del dinero, esto se produce (tiene un menor valor). En el caso del dinero, esto se produce por el efecto que tiene sobre él un fenómeno denominado INFLACIÓN. La inflación tiene un efecto directo sobre la rentabilidad que exigirá un Inversionista respecto de su inversión. El interés que se pacta normalmente, no tiene en cuenta el efecto de la INFLACIÓN. Se le denomina INTERÉS NOMINAL. Los conceptos y ejercicios que hemos desarrollado hasta ahora, siempre han considerado el interés NOMINAL. No obstante, ustedes se deben interesar siempre por el interés o rentabilidad REAL de su inversión.

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38 Inflación y tasas de interés Aumento sostenido en el nivel general de precios. Normalmente medido a través del cambio en el IPC Inflación: En presencia de inflación (π), la capacidad de compra o poder adquisitivo de un monto de dinero es mayor hoy que en un año más. $100 Si π = 25% Periodo 0 (Año 0) Periodo 1 (Año 1) PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS

39 Inflación y tasas de interés La ecuación que relaciona las tasas nominal y real, es conocida en la literatura con el nombre de igualdad de Fischer: Donde i = tasa de interés nominal r = tasa de interés real = Tasa de inflación AB La tasa de interés (conocida como tasa nominal) deberá incorporar: A. La rentabilidad exigida para hacer indiferente un monto ahora o en el futuro (valor dinero en el tiempo) (tasa real) B. Diferencial que cubra la inflación y mantenga el poder adquisitivo (tasa inflación)...continuación... PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS

40 RESUMEN: 2 conceptos: * Costo de oportunidad (tasa interés real) * Poder adquisitivo (inflación) Paso 1: Valora costo de oportunidad, tasa de interés de 10% Paso 2: Valora costo de oportunidad y además; Mantiene poder adquisitivo, inflación de 25% Inflación y tasas de interés $1100$1375 Año 1 Si π = 25% $1000$1100 Año 0 Año 1 Si r = 10%...continuación... PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS

41 Inflación y tasas de interés Si tengo $ 500 y un banco me ofrece una tasa de interés nominal anual del 37,5% y me encuentro en una economía donde la inflación es del 25% anual. ¿ Cuál es la tasa real correspondiente ? ¿ cuánto es mi capital nominal al final del año ? Ejemplo:...continuación... PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS

42 Si: ( 1 + i ) = ( 1 + ) * ( 1 + r ) Donde =0,25 y i =0,375 Entonces: (1+0,375) = (1+0,25)*(1+r) (1+r) = 1,1 r = 10% Si el capital inicial es C 0 = $ 500 Entonces: C 1 = C 0 *(1+i) = 500*(1,375) C 1 = $ 687,5 Inflación y tasas de interés...continuación... PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS

43 Inflación y tasas de interés...continuación La evaluación de proyectos utiliza tasas de interés reales y por tanto flujos reales, de esta forma se evita trabajar con inflaciones que normalmente tendrían que ser estimadas a futuro con el consiguiente problema de incertidumbre. Nota importante PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS

44 Interés Real y Nominal El interés REAL, es el ajuste que debe efectuarse al interés NOMINAL para que refleje correctamente la inflación del período. En otras palabras, el interés REAL refleja el PODER ADQUISITIVO de la rentabilidad obtenida en una inversión. Si la inflación es positiva, siempre el interés REAL será menor que el interés NOMINAL.

45 Interés Real y Nominal El impacto de la inflación se puede estimar. Ello es necesario, para muchas decisiones financieras donde lo que realmente importa es la rentabilidad REAL.

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47 Interés Real y Nominal IPCNOMINAL N OMINAL REAL REAL IPM INFERIOR SIMPLE IPC IPM REALNOMINAL REAL NOMINAL INFERIOR

48 MATEMÁTICA FINANCIERA Valor del dinero en el tiempo Valor futuro y valor actual Temario PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS

49 Corresponde a la rentabilidad que un agente económico exigirá por no hacer uso del dinero en el periodo 0 y posponerlo a un periodo futuro Sacrificar consumo hoy debe compensarse en el futuro. Un monto hoy puede al menos ser invertido en el banco ganando una rentabilidad. La tasa de interés (r) es la variable requerida para determinar la equivalencia de un monto de dinero en dos periodos distintos de tiempo La sociedad es un participante más que también tiene preferencia intertemporal entre consumo e inversión presente y futura. Valor del dinero en el tiempo PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS

50 Periodo 0 (Año 0) $1.000 $1.100 Si r = 10% Periodo 1 (Año 1) Valor del dinero en el tiempo...continuación... Ejemplo Un individuo obtiene hoy un ingreso (Y 0 ) de $1.000 por una sola vez y decide no consumir nada hoy. Tiene la opción de poner el dinero en el banco. a) ¿Cuál será el valor de ese monto dentro de un año si la tasa rentabilidad o de interés (r) que puede obtener en el banco es de 10% ? * (0,1) = 100 (rentabilidad) = (valor dentro de un año) PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS

51 Valor del dinero en el tiempo...continuación Si : Sólo hay sólo 2 periodos Ingreso sólo hoy (Y 0 =1.000) Puede consumir hoy o en un año (C 0, C 1 ) Rentabilidad exigida por no consumir hoy: r=10% b) ¿ Cuál sería el monto final disponible para consumir dentro de un año si consume $200 hoy ? Si C 0 =200, C 1 =( )*1,1= 880 Entonces C 1 = (Y 0 – C 0 )*(1+r) (200, 880) (500, 550) (800, 220) Consumo total= = PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS

52 Valor futuro (VF) y valor actual (VA) 0 3 VF Año: VA 12 Si son 3 periodos Caso General: VALOR FUTURO 0 1 VFVA Año: Sólo 1 periodo Donde: r = tasa de interés PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS

53 Valor futuro (VF) y valor actual (VA) 0 3 VF Año: VA 12 Caso 3 periodos Caso General: VALOR ACTUAL...continuación VFVA Año: Caso 1 periodo Donde: r = tasa de interés PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS

54 Ejemplos VF y VA: Valor futuro (VF) y valor actual (VA) a) Si se tiene $1.000 hoy y la tasa de interés anual es de 12%. ¿Cuál será su valor al final del tercer año? Año 0:1.000 Año 1:1.000 * (1+0,12) = Año 2:1.120 * (1+0,12) = Año 3:1.254 * (1+0,12) = VF= * (1+0,12) 3 = * 1,4049 = Alternativamente:...continuación... PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS

55 Ejemplos VF y VA: Valor futuro (VF) y valor actual (VA) b) Si en cuatro años más necesito tener $ y la tasa de interés anual es de 15%. ¿Cuál es el monto que requiero depositar hoy para lograr la meta? Año 4:3.300 Año 3:3.300 / (1+0,15) = 2.869,6 Año 2:2.869,6 / (1+0,15) = 2.495,3 Año 1:2.495,3 / (1+0,15) = 2.169,8 Año 0:2.169,8 / (1+0,15) = 1.886,8 VA= / (1+0,15) 4 = / 1,749 = 1.886,8 Alternativamente:...continuación PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS

56 Ejemplos VF y VA: Valor futuro (VF) y valor actual (VA) Caso especial c) Si los $1.000 de hoy equivalen a $1.643 al final del año 3. ¿Cuál será la tasa de interés anual relevante?...continuación VF= * (1+r) 3 = (1+r) 3 = 1,64 (1+r) = (1,64) 1/3 1+r = 1,18 r = 0,18 PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS

57 Tasas de interés compuesta y simple Tasa de interés compuesta Corresponde al mismo concepto asociado a la conversión de un valor actual (VA) en un valor final (VF) y viceversa. El monto inicial se va capitalizando periodo a periodo, así por ejemplo, luego del primer periodo se suma el capital más los intereses ganados y este total es el que gana intereses para un segundo periodo. VF = Monto capitalizado (valor final) VA = Inversión inicial (valor actual) r = tasa de interés del periodo n = número de períodos (1+r) n : Factor de capitalización : Factor de descuento 1 (1+r) n PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS

58 Tasas de interés compuesta y simple Tasa de interés simple Concepto poco utilizado en el cálculo financiero, es de fácil obtención, pero con deficiencias por no capitalizar la inversión periodo a periodo. El capital invertido es llevado directamente al final sin que se capitalice periodo a periodo con los intereses ganados VF = Monto acumulado (valor final) VA = Inversión inicial (valor actual) r = tasa de interés del periodo n = número de períodos (1+r*n) : Factor acumulación simple : Factor descuento simple 1 (1+r*n)...continuación... PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS

59 Tasas de interés compuesta y simple Ejemplo tasa interés compuesta versus tasa interés simple Si se tiene $1.000 hoy y la tasa de interés anual es de 12%. ¿Cuál será su valor al final del tercer año? Con tasa interés compuesta: C = * (1+0,12) 3 = * 1,4049 = Con tasa interés simple: C = * (1+0,12*3) = * 1,36 = r r*3...continuación... Intereses ganados: Año 1: $ 120 Año 2: $ 134 Año 3: $ 151 Intereses ganados: Año 1: $ 120 Año 2: $ 120 Año 3: $ 120 PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS

60 Interés Real y Nominal A continuación resolveremos unos ejercicios, que nos ayudarán a determinar si has adquirido los conocimientos entregados en esta LECCIÓN.

61 NIVEL II Responde las siguientes preguntas para que puedas verificar tu avance : La diferencia fundamental entre interés SIMPLE y COMPUESTO es que en el cálculo del interés SIMPLE, el capital es constante, en cambio en el interés COMPUESTO, el capital va aumentando según se capitalizan los intereses ganados. El cálculo del interés COMPUESTO es poco empleado en la practica. Los conceptos claves para resolver problemas de INTERÉS SIMPLE son : CAPITAL, INTERÉS, TASA DE INTERÉS y PERÍODO TIEMPO. La fórmula básica para resolver un problema de interés simple es : i = C * I * n

62 Ejercicios ¿ Cuál es la alternativa correcta ? Si una persona invierte $ a un interés simple de 7% anual, al final de un período de 30 años, habrá obtenido un interés de : a) $ a) $ b) $ b) $ c) $ c) $ d) $ d) $ e) Ninguna de las anteriores e) Ninguna de las anteriores

63 Ejercicios ¿ Qué opciones son correctas ? Marca aquellas sentencias que consideres correctas, respecto al interés compuesto: a) Es aquella que se utiliza en las aplicaciones a) Es aquella que se utiliza en las aplicaciones financieras prácticas. financieras prácticas. b) Debe especificar un período de capitalización b) Debe especificar un período de capitalización c) Si la inflación es 0, el interés nominal siempre c) Si la inflación es 0, el interés nominal siempre será mayor al interés real en un mismo período será mayor al interés real en un mismo período de tiempo. de tiempo. d) Ninguna de las anteriores d) Ninguna de las anteriores

64 Ejercicios ¿ Qué opciones son correctas ? Marca aquellas sentencias que consideres correctas, respecto al interés real: a) El interés real es siempre compuesto. a) El interés real es siempre compuesto. b) Es aquel que tiene incorporado el efecto de la b) Es aquel que tiene incorporado el efecto de la inflación. inflación. c) Si la inflación medida por el IPC, es positiva, el c) Si la inflación medida por el IPC, es positiva, el interés nominal será siempre mayor que el real. interés nominal será siempre mayor que el real. d) Ninguna de las anteriores. d) Ninguna de las anteriores.

65 CONCLUSIÓN FINAL En este módulo hemos revisado conceptos claves que son permanentemente utilizados en tú desarrollo profesional : 1) Definimos Capital, Interés y Tasa de Interés 2) Interés Simple y ejemplos. 3) Interés Compuesto y ejemplos. 4) Analizamos el impacto de la inflación sobre el interés o la rentabilidad de una inversión. interés o la rentabilidad de una inversión. 5) Interés nominal v/s Interés real.

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