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Pulso de onda v x,t f(x vt) Movimiento sentido positivo de x v x,t f(x vt) Movimiento sentido negativo de x Ecuación de ondas Sin disipación 1.

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1 Pulso de onda v x,t f(x vt) Movimiento sentido positivo de x v x,t f(x vt) Movimiento sentido negativo de x Ecuación de ondas Sin disipación 1

2 ¿Qué sucede frente a un cambio en las condiciones de propagación? Sea una cuerda compuesta por dos sectores de distinta densidad lineal v i = v > 1 Pulso incidente v t = v 2 (v 2 < v 1 ) v r = v Pulso transmitidoPulso reflejado v i = v < 1 Pulso incidente v t = v 2 (v 2 > v 1 ) v r = v Pulso reflejado Pulso transmitido Nunca se invierte Cambia la amplitud Se invierte Cambia la amplitud No se invierte Cambia la amplitud Pot inc = Pot trans +Pot ref ¿Vínculo entre amplitudes? 2

3 Pulso de onda viajando hacia la izquierda en un resorte liviano y que es parcialmente reflejado y parcialmente transmitido al encontrarse con un resorte más denso Pulso de onda que viaja hacia la derecha en un resorte denso y que es parcialmente reflejado y parcialmente transmitido al encontrarse con un resorte menos denso Las fotos están tomadas a intervalos regulares, se puede apreciar la diferencia de velocidad del pulso para distinta densidad 3

4 Onda circular reflejada en una frontera fija Pulso de onda viajando, a la izquierda inicialmente, en un resorte y reflejado en una frontera fija Ejemplos con frontera fija 4

5 Casos extremos. v i = v 1 v r = v Pulso incidente Pulso reflejado v i = v 1 Pulso incidente Se invierte No se invierte Barrera Extremo fijo =0 El pulso ejerce una fuerza ascendente sobre el soporte Tercera Ley de Newton El soporte ejerce una fuerza descendente sobre el pulso Cambia la fase en 2 0 Extremo libre x =0 v r = v 1 Pulso reflejado Anillo muy ligero sin fricción Ejerce una fuerza sobre el elemento de cuerda, éste se acelera, como un péndulo, va mas allá del eq., dispara con demasiada potencia y ejerce una fuerza de reacción en la cuerda. El pulso regresa No hay cambio de fase 5

6 ¿Qué pasa si en vez de un pulso de onda es una onda propagante arbitraria la que llega a la frontera? ¿Qué sucede cuando coincidan en el tiempo y el espacio la onda incidente y la onda reflejada? O, en general, ¿qué sucede cuando coinciden dos o más ondas en el tiempo y el espacio? Superposición de ondas 6

7 Sistema E1E1 S1S1 E2E2 S2S2 E1E1 E2E2 E=E 1 +E 2 S1S1 S2S2 S=S 1 +S 2 ++ E=c 1 E 1 +c 2 E 2 S=c 1 S 1 +c 2 S 2 SISTEMA LINEAL PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN LINEAL 7

8 ¿Qué pasa con las ondas? (I) Linealidad de la derivación; (II) Por satisfacer la ecuación de ondas Vale el Principio de Superposición Lineal para las ondas 8

9 Caso de superposición de dos pulsos de onda que viajan en un mismo eje con distintos sentidos y a la misma rapidez. Observación inicial. 9

10 Caso de superposición de dos ondas armónicas de igual frecuencia e igual amplitud que se propagan en el mismo eje x pero en distintos sentidos Principio de Superposición Lineal 10

11 = + Superposición lineal de dos ondas armónicas viajeras No es un onda viajera ¿ x vt ? ¿ x + vt ? ONDA ESTACIONARIA Para cada x, el movimiento es armónico simple con frecuencia angular pero diferente amplitud |2 Asen ( kx )| Amplitud mínima nula sen ( kx )=0 kx =0,, 2, 3,... k =2 / Número entero de medias longitudes de onda n /2, t )=0 t NODOS Amplitud máxima 2 A kx = /2, 3 /2, 5 /2,... k =2 / Número semientero de medias longitudes de onda ANTINODOS |sen ( kx ) | =1 11

12 t = 0 t = T/4 t = T/2 t = 3T/4 t = T Nodos 12

13 t = 0 t = (1/3)T/4 t = (2/3)T/4 t = T/4 t = (4/3)T/4 t = (5/3)T/4 t = T/2 13

14 Energía mecánica para un dx en una onda estacionaria K (dx) = U (dx) Para un dx en un x fijo… ? ¿Se conserva la energía mecánica para dx? En el tiempo en que K (dx) tiene su máximo, U (dx) tiene su mínimo y viceversa Sólo se conserva si A mitad de camino entre un nodo y un antinodo 14 donde vale

15 Para los nodos: La energía cinética es siempre nula La energía potencial varía de 0 a su valor máximo Para los antinodos: La energía cinética varía de 0 a su valor máximo La energía potencial es siempre nula (el dx sobre un antinodo está siempre estirado) 15

16 Onda Propagante Armónica Onda Estacionaria Movimiento armónico simple Frecuencia angular de vibración Idéntica amplitud A (todos los puntos pasan por las mismas posiciones a distintos tiempos) x fijo Movimiento armónico simple (excepto nodos) Frecuencia angular de vibración Amplitud dependiente de la posición 2A|sen(kx+ )| x fijo La energía no se transporta (no puede fluir más allá de los nodos) Transporta energía Para cada elemento dx Energía cinética=energía potencial (Máximo de una es máximo de la otra, mínimo de una es mínimo de la otra) Para cada elemento dx Alternancia entre energía cinética y potencial (Máx. desplazamiento, mín. energía cinética; mín. desplazamiento, Máx. energía cinética) 16

17 ONDAS ESTACIONARIAS Y RESONANCIAS Onda estacionaria en una cuerda fija por ambos extremos x = 0 x = L 0 1 k=2 / >0, L >0 s N L=n /k f 1 frecuencia fundamental; { f n } espectro de frecuencias de resonancia 17

18 x = 0 x = L t = 0 t1t1 t2t2 t3t3 t4t4 t5t5 n -ésimo armónico (modo de vibración) 18

19 ONDAS ESTACIONARIAS Y RESONANCIAS Onda estacionaria en una cuerda fija por un extremo y libre por el otro x = 0 x = L 0 1 k=2 / >0, L >0 s N f 1 frecuencia fundamental; { f n } espectro de frecuencias de resonancia 19

20 x = 0 x = L t = 0 t1t1 t2t2 t3t3 t4t4 t5t5 20

21 ONDAS ESTACIONARIAS Y RESONANCIAS Onda estacionaria en un tubo de aire p(x,t): presión del aire dentro del tubo; p 0 : presión de referencia Extremo abierto Extremo abierto p 0 =P atm x = 0 x = L Nodo Extremo cerrado Extremo abierto p 0 =P atm x = 0 x = L Nodo Antinodo (ondas longitudinales) 21

22 ¿Cómo resulta la superpoción lineal de …? Batidos Interferencia 22


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