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1 Animaciones tomadas de: Wikipedia y ONDAS Antonio J. Barbero,

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1 1 Animaciones tomadas de: Wikipedia y ONDAS Antonio J. Barbero, Mariano Hernández, Alfonso Calera, Pablo Muñiz, José A. de Toro and Peter Normile Departamento Física Apolicada. UCLM

2 2 Una onda es una perturbación periódica en el espacio y el tiempo capaz de propagar energía. La ecuación de ondas es la descripción matemática del modo en que dicha perturbación se propaga en el espacio y el tiempo. Ondas transversales: Las oscilaciones ocurren perpendicularmente a la dirección de propagación en que se transfiere la energía de la onda. Así ocurre por ejemplo en una onda viajera en una cuerda tensa, en este caso la magnitud que varía es la distancia desde la posición horizontal de equilibrio. Ondas longitudinales: Aquellas en que la dirección de propagación coincide con la dirección de vibración. Así el momvimiento de las partículas del medio es o bien en el mismo sentido o en sentido opuesto a la propagación de la onda. Por ejemplo, la propagación del sonido en un fluido: lo que cambia en este caso es la presión en el medio. Vibración PropagaciónVibración Propagación Algunas ondas transversales, las ondas electromagnéticas, pueden propagarse en el vacío. Sin embargo, las ondas longitudinales se propagan solo en medios materiales.

3 3 INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO Ecuación de ondas Signo + La onda viaja hacia la derecha La onda viaja hacia la izquierda Signo - EspacioTiempo Velocidad de fase X Y X Y Forma de onda (perfil) f La ecuación de onda describe una onda viajera si está presente el grupo (x v t). Esta es una condición necesaria. (El término onda viajera se usa para enfatizar que nos referimos a ondas que se propagan en un medio, caso distinto del de las ondas estacionarias que se considerarán después.

4 4 Onda armónica moviéndose hacia la derecha Ecuación de onda o ONDAS ARMÓNICAS Podemos elegir cualquiera de las dos formas añadiendo una fase inicial 0 al argumento de la función… Se dice que una onda es armónica si la forma de onda f es una función seno o coseno. ? … lo que significa que elegimos el inicio de tiempos a nuestra conveniencia. Una cosa más Siempre que una onda armónica se propaga en un medio, cada punto del mismo describe un movimiento armónico. Por ejemplo: Si la onda alcanza un máximo en t = 0 y elegimos escribir su ecuación en forma coseno, entonces 0 = 0 y nos queda Esto describe exactamente la misma onda ¿Qué hay que hacer para escribir la misma onda usando la ecuación para el seno? Respuesta: Recordatorio: Perfil de onda en t = 0 y depende sólo del tiempo es una distancia

5 5 Dependencia temporal en x = x 0 t y Perfil de onda para t = t 0 y x ONDAS ARMÓNICAS / 2 Ec. de onda armónica (eligiendo forma coseno) Velocidad de fase Espacio Tiempo Recordatorio: la función coseno es periódica, verificando que. Las ondas armónicas exhiben doble periodicidad Periodo Fase Amplitud Fase inicial Desplazamiento espacio tiempo Valle Cresta A -A Puntos en fase Longitud de onda Period Foto instantáneaGráfica posición / tiempo

6 6 ONDAS ARMÓNICAS / 3 Ec. de onda armónica (eligiendo forma coseno) Desplazamiento : valor actual de la magnitud y, dependiente de espacio y tiempo. Su valor máximo es la amplitud A. Longitud de onda : distancia entre dos puntos consecutivos cuya diferencia de fase es 2.. Número de ondas k: número de ondas contenido en una vuelta completa (2 radianes). A veces se le llama número de ondas angular o número de ondas circular. Unidades S.I.: rad/m, pero a menudo se indica solo m st onda 2 nd onda 3 rd onda Periodo T: tiempo que tarda la fase de la onda armónica en aumentar 2 radianes. Frequencia f: inversa del periodo. La frecuencia nos dice el número de oscilaciones por unidad de tiempo. Unidades S.I.: s -1 (1 s -1 = 1 Hz). Frecuencia angular : número de oscilaciones en un intervalo de fase de 2 radianes. La velocidad de fase está dada por Velocidad de fase Espacio Tiempo Amplitud Fase inicial Desplazamiento Fase En función del número de ondas y de la frecuencia angular, la ecuación de onda se escribe como

7 7 Ecuación de onda donde x, y están en m, t en s, v = 0.50 m/s Gráfica de y en función del tiempo (instantánea) x (m) y (m) t = 0 t = 5 t = 10 EJEMPLOS Ejemplo 1: pulso viajero Cada perfil indica la forma del pulso para el tiempo señalado. El pulso se mueve hacia la derecha (sentido positivo del eje X) a razón de 0.50 m/s

8 8 Ecuación de onda donde x, y están en m, t en s Gráfica de y en función del tiempo (instantánea) Ejemplo 2: pulso viajero x (m) y (m) t = 0 t = 2 t = 4 Cada perfil indica la forma del pulso para el tiempo señalado. Escribamos la ecuación de onda de modo que el grupo x+v·t aparezca explícitamente Este pulso se mueve hacia la izquierda (sentido negativo del eje X) a razón de 0.50 m/s. Véase que v t = t/2. EJEMPLOS / 2

9 9 Onda armónica Ejemplo 3: onda armónica viajera donde x, y están en m, t en s Comparar con x (m) y (m) t = 0 t = 2 t = 1 EJEMPLOS / 3 Esta onda se mueve hacia la derecha (sentido positivo del eje X) con una velocidad de 1.00 m/s

10 10 Onda armónica Ejemplo 4 donde x, y están en m, t en s EJEMPLOS / 4 x (m) y (m) Esta onda se mueve hacia la derecha (sentido positivo del eje X) con una velocidad de 0.50 m/s Número de ondas y frecuencia Velocidad de fase Comparando A = 1 m, y

11 11 VELOCIDAD DE LAS ONDAS MECÁNICAS Las ondas mecánicas necesitanun medio material para propagarse Y su velocidad de propagación depende de las propiedades del medio. Fluidos densidad del fluido (kg/m 3 ) Módulo de compresibilidad Solidos densidad del sólido (kg/m 3 ) Módulo de Young Cuerda tensa densidad lineal de masa (kg/m) VELOCIDAD Y ACELERACIÓN DE LAS PARTÍCULAS DEL MEDIO Velocidad máxima Aceleración máxima

12 12 LAS ONDAS TRANSPORTAN ENERGÍA: ONDAS EN UNA CUERDA Cada sección de la cuerda (masa m) oscila hacia arriba y abajo debido a la energía transportada por la onda. Consideremos una onda transversal en una cuerda. Según la onda se propaga en la cuerda, cada punto de la misma describe un movimiento armónico. A partir de la ecuación de onda, obtenemos para el elemento m en la posición fija x 0 Puesto que en un punto fijo k. x 0 ie constante, podemos escribir que Esta es la ecuación del movimiento armónico descrito por el elemento de masa m. La frecuencia angular de ese movimiento es. Recordemos que la energía de una masa m en un movimiento armónico de frecuencia angular y amplitud A está dada por Velocidad máxima Sea la masa de la cuerda por unidad de longitud x Potencia transmitida por la onda Unidades: Julio/s = watio

13 13 EL SONIDO Sistema mecánico vibrante. Variaciones de densidad en el medio Frecuencia de vibración característica (depende del sistema) Onda mecánica. Transporte de energía Mayor amplitud de vibración Menor amplitud de vibración A A

14 14 Figura 1 EL SONIDO / 2 Máximos de presión Mínimos de presión ONDAS DE PRESIÓN La velocidad del sonido aumenta cuando aumenta la rigidez del medio. Sólidos Líquidos Gases Velocidad del sonido

15 15 LAS ONDAS TRANSPORTAN ENERGÍA: ONDAS SONORAS En el sonido la vibración de las partículas ocurre en la misma dirección de la transmisión de la onda: son ondas longitudinales. A la vibración de las partículas del medio les corresponden desplazamientos s(x,t) cuyo valor máximo llamaremos aquí s 0 : En la transmisión del sonido, la masa vibrando en cada punto será la que corresponda al volumen elemental V que contiene a dicho punto, esto es m = ρ V. La energía asociada con esta vibración es: A tales desplazamientos les corresponden variaciones de presión alrededor de un valor de equilibrio p 0, que se encuentran desfasadas /2 rad respecto a ellos donde En términos de energía por unidad de volumen Energía movimiento armónico

16 16 INTENSIDAD DE LAS ONDAS: APLICACIÓN AL SONIDO Para una fuente que emite ondas en todas direcciones, la energía se distribuye uniformemente en una superficie esférica A, de radio r. La intensidad de una onda, I, es la potencia por unidad de área, o energía por unidad de tiempo y unidad de área, que incide perpendicularmente a la dirección de propagación Frentes de onda Rayos Fuente Como la energía por unidad de volumen es

17 17 NIVELES Al definir un nivel es preciso indicar la base del logaritmo, la cantidad de referencia y el tipo de nivel (por ejemplo, nivel de presión sonora, nivel de potencia sonora o nivel de intensidad) Un NIVEL es el logaritmo de la razón de una cantidad dada respecto de una cantidad de referencia del mismo tipo. Potencia de referencia: W 0 = W Nivel de potencia sonora: Emisión de sonido por una fuente Intensidad de referencia: I 0 = w/m 2 Umbral de audición: w/m 2 (0 dB) Umbral de dolor: 1 w/m 2 (120 dB) Nivel de intensidad sonora: Recepción del sonido de una fuente

18 18 NIVELES: EJEMPLO a) Si se dobla la intensidad de un sonido, ¿qué variación sufre el nivel de intensidad? b) Si se multiplica por 10 la intensidad de un sonido, ¿qué variación sufre el nivel de intensidad? Se dobla la intensidad Se multiplica por 10 la intensidad

19 19 Consiste en que la frecuencia de la onda emitida por una fuente tiene diferente valor para un receptor que esté en movimiento relativo respecto a la fuente. Es decir, si fuente de la onda y receptor se mueven uno respecto de otro, la frecuencia que medirá el receptor no es la misma que la originada en la fuente. Si el movimiento relativo es de acercamiento, la frecuencia que mide el receptor es mayor; si se alejan la frecuencia es menor. EFECTO DOPPLER Fuente y receptor en reposo Fuente moviéndose hacia el receptor Las sucesivas ondas alcanzan al receptor en intervalos de tiempo menores que el intervalo con el que son emitidas por la fuente, luego la frecuencia que percibe el receptor es mayor que la frecuencia de emisión. Fuente alejándose del receptor Sucesivas ondas emitidas en intervalos de tiempo iguales

20 20 EFECTO DOPPLER (2) v velocidad de la onda f r frecuencia que mide el receptor f s frecuencia de la fuente Subíndice s (fuente) Subíndice r (receptor) Alejamiento: signo + Acercamiento: signo u s velocidad de la fuente Ejemplo. Un tren pasa por una estación a una velocidad de 90 km por hora. La frecuencia del silbato del tren es 1320 Hz. ¿Qué frecuencia percibirá una persona en el andén de la estación cuando el tren se acerca y cuando el tren se aleja? Suponemos que la velocidad del sonido es de 340 m/s. Acercándose Alejándose

21 21 Galaxia de Andrómeda Galaxia de Pegaso EFECTO DOPPLER (3) El desplazamiento al rojo

22 22 ONDAS ESTACIONARIAS Una onda estacionaria es el resultado de la superposición de dos ondas armónicas de iguales amplitudes y frecuencias que se propagan en sentidos opuestos a través de un medio. Pero una onda estacionaria NO ES UNA ONDA VIAJERA, porque su equación no contiene términos de la forma (k x - t). Ejemplo sencillo de formación de ondas estacionarias: una onda viajera transversal que se propaga hacia la derecha ( ) en una cuerda tensa fija por sus extremos. Esta onda se refleja en el extremo derecho y da lugar a una nueva onda que se propaga hacia la izquierda ( ). Su combinación puede formar ondas estacionarias. Onda incidente, direccion ( ): Cuando la onda viajera viajando hacia la derecha se refleja en el extremo, su fase cambia radianes (se invierte). Onda reflejada, direccion ( ): Cada punto de la cuerda tensa vibra describiendo un movimiento armónico de amplitud 2A sen kx: la amplitud de esta vibración depende de la posición, pero no del tiempo, pues el grupo kx- t no aparece. No es una onda viajera.

23 23 Como los extremos de la cuerda están fijos, la amplitud de vibración de tales puntos debe ser nula. Si L es la longitud de la cuerda, las siguientes condiciones se deben verificar en todo momento: ¿Puede cualquier par de ondas incidentes y reflejadas dar lugar a ondas estacionarias en una cuerda, independientemente de su frecuencia y número de ondas? NO! La igualdad L = n /2 significa que sólo aparecerán ondas estacionarias cuando la longitud de la cuerda L sea un múltiplo entero de media longitud de onda. ONDAS ESTACIONARIAS / 2 Para una longitud L dada las ondas estacionarias sólo aparecen si la frecuencia cumple que A partir de la relación entre frecuencia y longitud de onda f = v/, donde v es la velocidad de propagación, La velocidad es n = 1 f 1 frecuencia fundamental n > 1 f n armónicos superiores Nod0Nodo Anti-nodo Ejemplo: 4 o armónico n = 4 n+1 nodos n antinodos

24 24 Onda estacionaria en una cuerda 7 th ARMÓNICO Pesas para tensar la cuerda n = 1 f 1 Frecuencia fundamental n = 2 f 2 2 º armónico n = 3 f 3 3 er armónico ONDAS ESTACIONARIAS / 3

25 25 ONDAS ESTACIONARIAS / EJEMPLO Dos ondas viajeras de 40 Hz se propagan en sentidos opuestos a través de una cuerda tensa de 3 m de longitud dando lugar al 4º armónico de una onda estacionaria. La densidad lineal de masa de la cuerda es kg/m. 4 o armónico n = 4 de L = n /2 se obtiene a) Calcular la tensión de la cuerda b) La amplitud de los antinodos es 3.25 cm. Escribir la ecuación de este armónico de la onda estacionaria c) Calcular la frecuencia fundamental. La velocidad de propagación es constante, y la frecuencia fundamental cumple que (Todos los armónicos son múltiplos enteros de la frec. fundamental, luego f 4 = 4 f 1 )


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