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Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas 1 4. Fonones: Vibraciones Cristalinas Bibliografía: Kittel, cap. 4.

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1 Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas 1 4. Fonones: Vibraciones Cristalinas Bibliografía: Kittel, cap. 4.

2 Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas 2 VIBRACION ELASTICA EN MEDIOS CONTINUOS Ecuacion de Onda para ondas elasticas medio lineal homogeneo, Ey modulo de elasticidad, densidad del medio Solucion de la forma, ondas viajeras

3 Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas 3 Desplazamiento Atómico en una red Las posiciones de los átomos en una red de Bravais están dadas por: Por simplicidad sólo consideraremos 1 átomo por celda y supondremos un sistema de coordenadas ortogonal. Por conveniencia, n i =(h i,k i,l i ) denota al átomo I-ésimo que tiene posición R. El desplazamiento del átomo i se puede escribir como

4 Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas 4 Desplazamiento Atómico Cuando onda plana se propaga por el cristal, los planos atómicos se mueven en fase paralelos o transversales a la dirección de propagación. Problema se vuelva 1D: para cada k (vector de onda) hay 3 modos de vibración: –1 de polarización longitudinal –2 de polarizaciones transversales

5 Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas 5 Energía y Fuerza debido a los Desplazamientos La energía del cristal cambia si los átomos son desplazados res pecto de sus posiciones de equilibrio El cambio de energía puede escribirse en función de la posición de todos los átomos: E=E(R 1,R 2,R 3,... R N ) El orden más bajo de los desplazamientos es cuadrático: ley de Hooke (límite armónico). (No hay términos lineales si se expande en torno a las posiciones de equilibrio.)

6 Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas 6 Energía y Fuerza debido a los Desplazamientos La expresión general para la fuerza sobre el átomo s es: De la expresión armónica se puede expresar la fuerza como C s : constantes de fuerza - razón entre la fuerza sobre el átomo s y el desplazamiento del átomo j (es generalización de la constante de fuerza de un resorte).

7 Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas 7 Consideremos una línea de átomos. Entonces, la fuerza sobre atomo s es: Considerando sólo las interacciones con primeros vecinos mas cercanos: Cadena Lineal monoatomica

8 Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas 8 Ley de Newton (ecuación de movimiento): Dependencia temporal: luego aparece una ecuación de diferencias en los desplazamientos: Oscilaciones de una Cadena Lineal

9 Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas 9 Oscilaciones de una Cadena Lineal Solucion de la forma

10 Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas 10 Oscilaciones de una Cadena Lineal Una forma más conveniente es: Finalmente:

11 Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas 11 Oscilaciones de una Cadena Lineal La solución para cada oscilador con vector de onda k y frecuencia Relación de k en función de k se llama relación de dispersión. Aproximación en el continuo: k >a)

12 Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas 12 La solución de k sobre el espacio recíproco es periódica. Toda la información está en la primera zona de Brillouin. La pendiente de k es 0 en los bordes de la ZB: G = /a El resto se repite con periodicidad 2 /a, i.e. k = k+G ! (G es cualquier vector de la red recíproca; G = n(2 /a) Primera Zona de Brillouin k

13 Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas 13 Primera Zona de Brillouin

14 Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas 14 Significado de la Periodicidad en el Espacio Recíproco El movimiento atómico con el vector de onda k es idéntico al de k+G. Todas las vibraciones independientes se pueden describir por k dentro de la 1 a zona de Brillouin (1ZB) Punto B, onda propagandose derecha Punto A, onda propagandose izquierda

15 Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas 15 La 1ZB es el rango físicamente significativo para las ondas elásticas. El cuociente de desplazamiento de 2 planos sucesivos es: El rango (-, ) para la fase ka cubre todos los valores independientes: Significado de la Periodicidad en el Espacio Recíproco

16 Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas 16 La onda u s = u exp(iksa-i t) es una onda plana. La velocidad del paquete de ondas (velocidad de grupo) es v k =d k /dk (i.e. es la pendiente de k vs. k) Significado físico de v k : velocidad de transporte de energía en el medio Significado de la Periodicidad en el Espacio Recíproco kv k =v sonido V k =0 en borde de ZB (esperable en una onda estacionaria)

17 Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas 17 d k /dk =0 en el límite de la ZB. Toda onda (vibraciones u otras ondas) son difractadas si k está en el borde de la ZB. Esto es equivalente a la reflexión de Bragg de rayos x: cuando se cumple la condición de Bragg (k max = /a ), la onda estacionaria no puede desplazarse por la red sino que a través de sucesivas reflexiones y se establece una onda estacionaria. Ello lleva a una onda estacionaria con velocidad de grupo Vs= 0. Significado de v k =0 en frontera de zona de Brillouin

18 Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas 18 Este es un resultado general válido para todos los cristales en todas las dimensiones. Las vibraciones son un ejemplo de excitaciones. Los átomos no están en su posición de mínima energía mientras vibran. Las excitaciones se denominan con un vector de onda k y son funciones periódicas de k en el espacio recíproco. Todas las excitaciones se cuentan si los k considerados están dentro de la 1 a zona de Brillouin (ZB). Las excitaciones fuera de la ZB son idénticas a aquellas dentro de ella y no son excitaciones independientes. Significado de la Periodicidad en el Espacio Recíproco

19 Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas 19 límite de longitud de onda largo ka<<1 cos(ka) 1 - 1/2(ka) 2 Resultado: es directamente proporcional al vector de onda, i.e. velocidad del sonido es independiente de la frecuencia en el límite de longitudes de onda largas: = vk (mecánica del continuo).

20 Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas 20 Dispersión en Cu

21 Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas 21 Red Biatómica 1D Mmunun u n+1 vnvn CCC

22 Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas 22 Red Biatómica 1D Mm unun u n+1 vnvn CCC Resultado: Ecuación se puede resolver para 2, pero es más simple examinar casos límite: –ka << 1 : cos(ka) 1 - ½ (ka) –ka = (borde 1ZB) Para ka << 1:

23 Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas 23 Red Biatómica 1D Para ka << 1:

24 Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas 24 Red Biatómica 1D

25 Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas 25

26 Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas 26 RELACION DISPERSION PARA REDES 3D

27 Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas 27 Dispersión en KBr

28 Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas 28 VIBRACIONES DE RED CUANTIZADAS Modelo cuantizado de las vibraciones de red: hay un conjunto de 3N oscilaciones lineales independientes( modos) con energia E=(n( )+1/2) El numero medio de fonones en el modo con frecuencia es Frecuencia de Debye D : la mas grande frecuencia de vibracion en el cristal asumiendo la relacion de dispersion : v k. Temperatura de Debye D /k B Las frecuencias fononicas acusticas tipicas esde orden Hz, frecuencias opticas tipicas~ Hz, temperature Debye: diamante K, Cu -320K, Pb -90K

29 Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas 29 DISPERSION INELASTICA DE NEUTRONES Neutrones pueden ser dispersados del cristal cuando absorben o Emiten un fonon

30 Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas 30 ABSORCION INFRAROJO EN CRISTALES IONICOS Luz transmitida en el rango de infrarojo, ~ Hz ( ~ m) Es absorvida por cristales ionicos con modo optico de fonones Cl Na Iones de Cl y Na se mueven en direcciones opuestas ( m) Transmittance 100% Transmitancia a traves pelicula delgada de NaCl (0.17 m)


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