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TEMA 9. VECTORES..

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Presentación del tema: "TEMA 9. VECTORES.."— Transcripción de la presentación:

1 TEMA 9. VECTORES.

2 GUIÓN DEL TEMA MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. VECTORES.
SUMA Y RESTA DE VECTORES. MULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR POR UN ESCALAR. VECTOR UNITARIO O VERSOR. COMPONENTES CARTESIANAS DE UN VECTOR. 7. PRODUCTO ESCALAR. 8. PROYECCIÓN DE UN VECTOR. 9. DERIVADA DE UN VECTOR.

3 1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES.
Llamamos magnitud física a cualquier propiedad que se puede medir. Las magnitudes se clasifican en fundamentales y derivadas. Llamamos magnitudes fundamentales a aquellas a partir de las cuales podemos expresar todas las demás. Las más importantes son: la longitud, la masa y el tiempo. Llamamos magnitudes derivadas a las que se expresan en función de la fundamentales. Algunos ejemplos son: la superficie, el volumen, la velocidad, etc.

4 1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES.
En 1960, la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM), para que a nivel internacional se utilizaran las mismas unidades, creo el Sistema Internacional (SI). Está formado por siete magnitudes fundamentales y sus correspondientes unidades. Se utilizan también múltiplos y submúltiplos de dichas unidades.

5 1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES.
MAGNITUD UNIDAD Longitud metro (m) Tiempo segundo (s) Masa kilogramo (kg) Temperatura kelvin (K) Cantidad de sustancia mol Intensidad de corriente amperio (A) Intensidad luminosa candela (cd)

6 1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES.

7 1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES.
Las magnitudes escalares quedan determinadas por un número y su unidad. Ejemplo: la masa m = 2 kg Las magnitudes vectoriales necesitan, además de un número y su unidad, la dirección y sentido. Ejemplo: la velocidad

8 2. VECTORES. Se denotan con una letra con una flecha encima. Ejemplo:
Un vector es un segmento orientado en el que podemos distinguir los siguientes elementos: - Módulo. es el valor numérico o intensidad de la magnitud. Se puede representar así: Dirección. Es la recta que contiene al vector o cualquiera de sus paralelas. - Sentido. Se indica mediante el extremo de la flecha.

9 2. VECTORES. El sistema cartesiano de ejes está formado por tres ejes: OX, OY y OZ perpendiculares entre sí dos a dos y orientados de tal manera que aplicando la regla de la mano derecha, al girar desde el eje OX al eje OY por el camino más corto, el pulgar nos indica la dirección y sentido positivo del eje OZ.

10 2. VECTORES. - Llamamos vector 𝑖 al vector que tiene de módulo la unidad y sentido positivo en la dirección del eje OX. De igual modo, se llaman vectores 𝑗 y 𝑘 a los vectores unitarios (módulo unidad) en las direcciones positivas de los ejes OX y OZ. - Para encontrar las componentes de un vector 𝑀𝑁 se puede aplicar la resta de vectores: 𝑀𝑁 = 𝑂𝑁 - 𝑂𝑀 De un modo directo, se obtiene el vector restando las coordenadas del extremo menos las del origen.

11 3. SUMA Y RESTA DE VECTORES.
Los vectores se pueden sumar gráficamente, aplicando el método del polígono o el método del paralelogramo.

12 3. SUMA Y RESTA DE VECTORES.
Suma aplicando el método del paralelogramo Resta de vectores (flecha de color verde)

13 3. SUMA Y RESTA DE VECTORES.
Para obtener el módulo de la suma de dos vectores analíticamente se puede aplicar la expresión: Si α = 90º, entonces la expresión queda del siguiente modo: Para calcular el módulo de la resta simplemente cambiaremos el signo más por menos del tercer sumando.

14 4. MULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR POR UN ESCALAR.
La multiplicación de un vector 𝑎 por un escalar λ es un nuevo vector cuyo módulo es el de λ 𝑎 , dirección de 𝑎 y sentido el de 𝑎 si λ es positivo y sentido contrario si λ es negativo. Ejemplo: 2· (2 𝑖 +3 𝑗 )= 4 𝑖 𝑗

15 5. VECTOR UNITARIO O VERSOR.
Un vector unitario es todo vector cuyo módulo es la unidad. Según esto, si 𝑢𝑣 es un vector unitario en la dirección del vector 𝑣 , se puede considerar que: 𝑣 = 𝑣 · 𝑢𝑣 es decir, que todo vector se puede expresar como el producto de su vector unitario por su módulo. Esto nos permite calcular el vector unitario de cualquier vector. 𝒖𝒗 = 𝒗 𝒗

16 6. COMPONENTES CARTESIANAS DE UN VECTOR.
Se llaman componentes cartesianas de un vector a las proyecciones del vector sobre los ejes cartesianos. El vector se puede expresar en función de sus componentes vectoriales cartesianas del siguiente modo: 𝑣 = 𝑣𝑥 + 𝑣𝑦 (en el plano) Teniendo en cuenta los vectores unitarios en las direcciones de los ejes X e Y, podemos expresar el vector en función de las componentes escalares cartesianas: 𝑣 = vx · 𝑖 +𝑣y · 𝑗 (en el plano)

17 6. COMPONENTES CARTESIANAS DE UN VECTOR.
Si el vector se encuentra en el espacio, tenemos que añadir la tercera componente: 𝑣 = vx · 𝑖 +𝑣y · 𝑗 +vz· 𝑘

18 6. COMPONENTES CARTESIANAS DE UN VECTOR.
El módulo del vector, se puede obtener, a partir de las componentes cartesianas del vector. 𝒗 = 𝒗𝒙 𝟐 +𝒗𝒚𝟐+𝒗𝒛𝟐 Al ángulo que forma el vector con el eje OX se le llama α, al ángulo que forma el vector con el eje OY se le llama β, y al ángulo que forma el vector con el eje OZ se le llama γ.

19 6. COMPONENTES CARTESIANAS DE UN VECTOR.
Aplicando las reglas de la trigonometría, se obtiene que: vx = 𝒗 · cos α vy = 𝒗 · cos β vz = 𝒗 · cos γ A los cosenos de los ángulos anteriores se les llama cosenos directores, y para todos ellos se cumple que: cos2 α + cos2β + cos 2γ = 1

20 EJERCICIOS Dibuja los vectores 𝑣 =3 𝑖 +2 𝑗 y 𝑎 =2 𝑖 −3 𝑗 .
Un vector tiene un módulo igual a120 y forma un ángulo de 60º con la horizontal. Calcular las componentes horizontal y vertical. Expresa el vector en función de sus componentes. Dibuja el vector 𝑏 =3 𝑖 +3 𝑗 +4 𝑘 . Calcular las tres componentes de un vector cuyo módulo es 8 y los ángulos con los ejes OX y OZ son 30º y 120º, respectivamente.

21 EJERCICIOS 5. Dados los vectores 𝑎 =3 𝑖 −2 𝑗 y 𝑏 =−4 𝑖 + 𝑗 , calcular:
El vector suma y su módulo. El vector diferencia (a – b) y el ángulo que forma con el eje OX y con el eje OY. El vector 𝑐 =2 𝑎 −3 𝑏 y el vector unitario que define la dirección y sentido de c. Indica la dirección del vector, mediante el ángulo α con el eje OX.

22 EJERCICIOS 5. Las longitudes de los lados del ortoedro de la figura son OA = 3 cm, OC = 5 cm y OG = 4 cm. Calcula los vectores 𝐶𝐺 , 𝐺𝐵 , 𝑦 𝐴𝐸.

23 EJERCICIOS 6. Obtener un vector unitario en la misma dirección y sentido que 𝑣 =8 𝑖 −6 𝑗 . 7. Encontrar las componentes de un vector de origen en A(1,3) y extremo en B(5,7). Realizarlo gráfica y analíticamente. ¿Qué ángulo forma con los ejes de coordenadas? 8. Determinar un vector unitario de la misma dirección y sentido que el vector que tiene su origen en A(3,5,-5) y su extremo en B(5,-4,1). 9. Hallar un vector de módulo 3 y que sea paralelo al vector suma de los vectores 𝑎 = 𝑖 +2 𝑗 +3 𝑘 , 𝑏 =2 𝑖 − 𝑗 , 𝑦 𝑐 = 𝑖 − 𝑗 +2 𝑘 .

24 EJERCICIO 10 Calcular el vector suma de los siguientes vectores. Para obtener el resultado descompón previamente aquellos vectores que no sean horizontales o verticales.

25 𝒂 · 𝒃 = ax · bx + ay · by + az ·bz
7. PRODUCTO ESCALAR. El producto escalar de dos vectores 𝑎 y 𝑏 , que forman un ángulo α, es por definición un número real, dado por la expresión: 𝒂 · 𝒃 = 𝒂 · 𝒃 · cos α Obsérvese que si los vectores son perpendiculares, el producto escalar es cero, ya que cos 90º = 0. Si el ángulo que forman los vectores es agudo el producto escalar es positivo. Si es obtuso, resultará negativo. El producto escalar también se puede calcular, a partir de las componentes cartesianas de los dos vectores: 𝒂 · 𝒃 = ax · bx + ay · by + az ·bz

26 Esta expresión es consecuencia de:
𝑖 · 𝑖 = 𝑗 · 𝑗 = 𝑘 · 𝑘 =1 𝑖 · 𝑗 = 𝑖 · 𝑘 = 𝑗 · 𝑘 =0 resultados que se obtienen al aplicar la definición del producto escalar a los productos anteriores.

27 EJERCICIOS 11. Calcular el producto escalar de los siguientes vectores e indicar en cada caso si el ángulo que forman es agudo, recto u obtuso (sin calcular el ángulo): 𝑎 =2 𝑖 +3 𝑗 − 𝑘 y 𝑏 =3 𝑖 −2 𝑗 + 𝑘 𝑎 =2 𝑖 − 𝑘 y 𝑏 = 𝑖 −3 𝑗 −5 𝑘 𝑎 =3 𝑗 y 𝑏 = 𝑖 +2 𝑗 −2 𝑘 12. Calcula el ángulo entre los vectores del ejercicio anterior.

28 EJERCICIOS 13. Dado el vector 𝑎 =− 𝑖 +2 𝑗 +4 𝑘 hallar el producto de dicho vector por su vector unitario. 14. Si el vector 𝑎 =2 𝑖 +3 𝑗 − 𝑘 se multiplica por el vector 𝑏 =− 𝑖 +2 𝑗 +𝑚 𝑘 , que depende del parámetro b, ¿qué valor ha de tomar m para que ambos vectores sean perpendiculares?

29 8. PROYECCIÓN DE UN VECTOR.
La proyección de un vector 𝑣 sobre una recta r, se denota por 𝑣 𝑟 , viene dado por la expresión: 𝒗 𝒓 = 𝒗 𝒓 · 𝒖 𝒓 siendo 𝑢 𝑟 el vector unitario de la recta r. El módulo de dicho vector se puede calcular de dos formas: a) 𝒗 𝒓 = 𝒗 · 𝒖 𝒓 b) 𝒗 𝒓 = 𝒗 ·cos α

30 EJERCICIOS 15. Dados los vectores 𝑎 =6 𝑖 −7 𝑗 y 𝑏 =3 𝑖 +4 𝑗 , calcula el módulo de la proyección del primer vector sobre la dirección del segundo. 16. Calcular la proyección del vector 𝑎 =4 𝑖 +2 𝑗 sobre el vector 𝑣 =7 𝑖 −24 𝑗 . Exprésala vectorialmente.

31 9. DERIVADA DE UN VECTOR. Las magnitudes vectoriales (velocidad, fuerza, etc.) pueden expresarse como funciones dependientes de otra variable (normalmente el tiempo t). Ejemplo: 𝑣 =(3 𝑡 2 +2) 𝑖 + 𝑡 3 +2𝑡 𝑗 +4 𝑘 Si queremos calcular el valor de dicha función vectorial para t = 1 s para t = 3 s, se expresa así 𝑣 (1) y 𝑣 3 , respectivamente. Durante el período de tiempo Δt el vector ha experimentado una variación o incremento Δ 𝑣 .

32 9. DERIVADA DE UN VECTOR. La variación promedio del vector por unidad de tiempo durante el periodo anterior se calcula así: Δ 𝑣 Δ𝑡 Sin embargo, si queremos obtener la variación instantánea de dicha función vectorial por unidad de tiempo, eso se consigue mediante la derivada del vector: 𝑑 𝑣 𝑑𝑡 NOTA. El profesor explicará las reglas para derivar polinomios.

33 EJERCICIOS 17. Dada la función vectorial 𝑣 =( 𝑡 2 +5) 𝑖 + 5𝑡−9 𝑗 Calcular 𝑣 1 , 𝑣 3 , Δ 𝑣 , Δ 𝑣 Δ𝑡 y 𝑑 𝑣 𝑑𝑡 ¿Qué valor ha de cumplir t para que el módulo del vector 𝑣 =(𝑡+1) 𝑖 + 𝑡−1 𝑗 +(2𝑡+1) 𝑘 sea igual a 35 ?


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