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Métodos iterativos para sistemas de ecuaciones lineales.

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Presentación del tema: "Métodos iterativos para sistemas de ecuaciones lineales."— Transcripción de la presentación:

1 Métodos iterativos para sistemas de ecuaciones lineales

2 zIntroducción zEcuación del Calor zMétodo de Jacobi zMétodo de Gauss-Seidel zMétodo de Sobrerrelajación zProblema del Condensador

3 Métodos directos frente a métodos iterativos DIRECTOS zAx =b zx = A\ b zTamaño moderado zModifican la estructura Error de redondeo ITERATIVOS zx = Cx + d zx (k+1) = Cx (k) + d zTamaño grande zConservan los ceros zError de truncamiento

4 Convergencia y número de operaciones zCoste (para matrices densas) Directos: n 3 Iterativos: k.n 2 zConvergencia zCriterio de parada:

5 Ecuación del Calor zSistema de ec. lin.zMatriz asociada T 0 T 1 T 2...T n T n+1

6 Matriz de la Ecuación del Calor con MATLAB function A = mcalor1(n) v = ones(1,n-1); A = 2*eye(n) - diag(v,1) - diag(v,-1);

7 El método de Jacobi zSistema de ecuaciones lineales

8 Ecuación de punto fijo

9 Iteración de Jacobi

10 Expresión matricial Resolución con MATLAB U = triu(A,1); L = tril(A,-1); d = diag(A); x = (b-(L+U)*x)./d

11 Condición suficiente de convergencia estrictamente diagonalmente dominante zMatriz estrictamente diagonalmente dominante: para i=1,2,...,n estrictamente diagonalmente dominante zSi A es estrictamente diagonalmente dominante, los iterados de Jacobi convergen a la solución del sistema partiendo de cualquier estimación inicial.

12 Iteración de Gauss-Seidel

13 Expresión matricial Resolución con MATLAB d = diag(A); D = diag(d); U = triu(A,1); L = tril(A,-1); x = (L + D)\(b - U*x)

14 Método de sobrerrelajación xikxik zizi x i k+1 i k+1

15 Paso de sobrerrelajación

16 Expresión matricial Resolución con MATLAB D = diag(diag(A)); c = *b; C = (1- ) *D - *U x = ( L + D)\(c + C*x)

17 Condición suficiente de convergencia simétrica definida positiva zMatriz simétrica definida positiva: A T = A, x T Ax > 0 simétrica definida positiva zSi A es simétrica definida positiva y 0< w <2, los iterados de SR convergen a la única solución del sistema, partiendo de cualquier estimación inicial.

18 Ecuación del Calor en un rectángulo zV C = (V N + V S + V E + V W )/4 C N EW S

19 Generación de la matriz con MATLAB function A = mcalor2(m,n) p = m*n; v = ones(1,p-1); for k=n:n:p-1, v(k) = 0; end w = ones(1,p-n); A = 4*eye(p)... - diag(v,1) - diag(v,-1)... - diag(w,n) - diag(w,-n);

20 Resumen grandesdispersas zLos métodos iterativos se aplican a matrices grandes y dispersas. O(n 2 ) zEl coste por iteración es O(n 2 ) o menor si se aprovecha la dispersidad n zSe espera que converjan en menos de n pasos. zLa matriz ha de cumplir ciertas condiciones para que el método converja.


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