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Publicada porErnesto Buenaventura Modificado hace 9 años
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Integración Numérica Cálculo Numérico Práctica 2
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Integración Numérica n Integral simple u Método de Simpson adaptativo u Cuadratura de Gauss n Integral doble u Recinto rectangular u Recinto limitado por funciones
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Regla de Simpson n Simple n Compuesta n Error
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Método de Simpson adaptativo Simpson [a, b] c=(a+b)/2 Simpson [a, c] Simpson [c, b] I=I 1 +I 2 a c b
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bac Parábola Función Simpson simple
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Parábola Función Parábola adceb Simpson compuesta (2 int.)
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Algoritmo de Simpson adaptativo n Entrada: f,a, b, tol, nivel n Proceso: u Calcular la estimación inicial de I 0 por Simpson simple en [a,b] u Multiplicar tol por 10 (suficiente para la precisión deseada) u Refinar recursivamente la integral n Salida: I: Estimación de la integral
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Refinamiento recursivo: (RR) n Entrada: f,a, b,tol, nivel, I 0 n Proceso Si nivel = 0, devuelve I 0 (nivel excedido) Si no Evalúa I 1 en [a,c] e I 2 en [c,b] Si abs(I 0 I 1 I 2 ) > tol I = RR(f, a, c, tol/2, nivel-1, I 1 ) + RR(f, c, b, tol/2, nivel-1, I 2 ) I= I 1 + I 2 RR(f, c, b, tol/2, nivel-1, I 2 ) I= I 1 + I 2
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Cuadratura adaptativa con MATLAB n f.m u y = 100*sin(10./ x)./ x.^2 quad(' f ', 1, 3, 1e 3, 1) quad(' f ', 1, 3, 1e 3, 1) u Simpson adaptativo n quad8 u Newton-Cotes con 8 paneles
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Cuadratura de Gauss n Integral n Fórmula aproximada n Nodos:x 1, x 2,..., x n, ceros del n-ésimo polinomio ortogonal p n (t) n Coeficientes
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Cuadratura de Gauss-Legendre n Integral n Polinomios de Legendre u p 0 (x) = 1 u p 1 (x) = x p 2 (x) = (3x 2 1) / 2... p k+1 (x) = [(2k+1) x p k (x) k p k 1 (x)] / (k+1)
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Algoritmo iterativo de los Polinomios de Legendre n Entrada: n: grado del polinomio Proceso r = 1;% Grado 0 (p 0 =1) q = [1 0]; % Grado 1 (p 1 =x) para k=1,2, …, n 1% Grado k+1 p = ((2*k+1)*[q 0] k*[0 0 r])/(k+1) r = q; q = p; fin Proceso r = 1;% Grado 0 (p 0 =1) q = [1 0]; % Grado 1 (p 1 =x) para k=1,2, …, n 1% Grado k+1 p = ((2*k+1)*[q 0] k*[0 0 r])/(k+1) r = q; q = p; fin n Salida: p: vector de coeficientes de p n
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Cuadratura de Gauss-Legendre n Coeficientes
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Cálculo de los nodos y coeficientes de Gauss-Legendre n Entrada: p: n-ésimo polinomio de Legendre n Proceso u Cálculo de los nodos nodos = roots(p) Cálculo de los coeficientes dp = polyder(p, 1); y = polyval(dp, nodos); coeficientes = 2./(1 nodos.^2)./ y.^2; n Salida: nodos, coeficientes
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Gauss-Legendre en [a, b] n Cambio de variable n Fórmula de Gauss en [a,b]
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Algoritmo de Gauss-Legendre n Entrada: f, a, b, n n Proceso: u Obtener los nodos y coeficientes de la fórmula de Gauss-Legendre de orden n. u Escalar los nodos en el intervalo [a, b] n Salida: I = (b a) / 2 * sum(coeficientes.* f(nodos))
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Ejemplo: Gauss-Legendre Resultados
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Integral doble en un rectángulo Aproximación de la integral exterior Aproximación de las integrales interiores Aproximación de la integral doble
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Simpson doble en un rectángulo n Entradas: f, a, b, c, d, m, n n Proceso h = (b a) / (2*m), k = (d c) / (2*n) u x = a : h : b,y = c : k : d% Nodos ejes u p = h/3*[1 4 2 4 2 … 4 1] 2m+1 % Pesos eje X u q = k/3*[1 4 2 4 2 … 4 1] 2n+1 % Pesos eje Y u [X,Y] = meshgrid(x, y)% Matrices de coordenadas de los nodos (2n+1) (2m+1) u Z = feval(f, X, Y) % f en los nodos n Salida: I = q*Z*p'
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Ejemplo: Simpson doble en un rectángulo Resultados
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Simpson doble en recintos limitados por funciones n Integrales iteradas n Aproximar la integral exterior por Simpson en el intervalo [a, b] n Para cada x i, aproximar la integral interior por Simpson en el intervalo [c(x i ), d(x i )]
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Simpson doble en un recinto limitado por funciones n Aproximación de la integral exterior
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Simpson doble en un recinto limitado por funciones n Aproximación de las integrales interiores n Integral doble
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Simpson doble en un recinto limitado por funciones n Entradas: f, a, b, c, d, m, n n Proceso (nodos integral exterior) h = (b a) / (2*m) u x = a : h : b% Nodos eje X u p = [1 4 2 4 2 … 4 1] 2m+1 % Pesos eje X u uno = ones(2*n+1, 1) u X = uno*x% Matriz de abscisas de los nodos Funciones.m
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Simpson doble en un recinto limitado por funciones n Proceso (nodos integrales interiores) u cx = feval(c, x);% Vector extremos infs.. u dx = feval(d, x);% Vector extremos sups. kx=(dx cx)./ (2*n)% Vector de pasos u Y=uno*cx+(0 : 2*n)'*kx% Matriz de ordenadas de los nodos u q = [1 4 2 4 2 … 4 1] 2n+1 % Pesos eje Y u Z = feval(f, X, Y) % f en los nodos n Salida: I = q*Z*(p.*kx)’ *h / 9
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Ejemplo n Resultados Nodos
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F I N
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