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Tema: 15 Áreas 1Matemáticas 1º Área de una superficie El área de una figura es la cantidad de superficie que ocupa. IMAGEN FINAL Estos dos figuras, aunque.

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2 Tema: 15 Áreas 1Matemáticas 1º Área de una superficie El área de una figura es la cantidad de superficie que ocupa. IMAGEN FINAL Estos dos figuras, aunque diferentes, están formadas por el mismo número de cuadrados: 10 cada una. La unidad de superficie que hemos empleado ha sido el cuadrado. Medir una superficie es hallar su área. Para ello se compara con otra superficie elegida como unidad, y se averigua el número de unidades que contiene.

3 Tema: 15 Áreas 2Matemáticas 1º Unidades de superficie La unidad fundamental se superficie es el metro cuadrado (m 2 ). IMAGEN FINAL La niña esta sentada dentro de un metro cuadrado. Un decímetro cuadrado es la superficie de un cuadrado de 1 dm de lado. Se escribe dm 2 Un centímetro cuadrado es la superficie de un cuadrado de 1 cm de lado. Se escribe cm 2 Un metro cuadrado es la superficie de un cuadrado de un metro de lado. También pueden definirse el decámetro cuadrado (dam 2 ), el hectómetro cuadrado (hm 2 ) y el kilómetro cuadrado (km 2 ). Un milímetro cuadrado es la superficie de un cuadrado de 1 mm de lado. Se escribe mm 2

4 Tema: 15 Áreas 3Matemáticas 1º Observa: IMAGEN FINAL En general, una unidad de superficie es 100 veces mayor que la de orden inmediato inferior, y 100 veces menor que la del orden inmediato superior. Para pasar de una unidad a otra se sigue el esquema: m2m2 dm 2 cm 2 hm 2 km 2 mm 2 dam 2 Relaciones entre las unidades de superficie De mayor a menor: Se multiplica por 100 : 100 x 100 De menor a mayor: Se divide entre 100 : m 2 = (10 · 10 ) dm 2 = 100 dm 2 1 m = 10 dm 10 · = m2m2 dm 2

5 Tema: 15 Áreas 4Matemáticas 1º Son las unidades que utilizan agrónomos, agrimensores y agricultores. IMAGEN FINAL Unidades agrarias El área (a) es la superficie de un cuadrado de 10 m de lado. Un piso mediano tiene, aproximadamente, una superficie de un área. El hectárea (ha) equivale a 100 áreas. La superficie de un campo de fútbol es, aproximadamente, una hectárea. El centiárea (ca) es la unidad más pequeña: 1 área es igual a 100 ca La relación entre las unidades agrarias y las del SMD es: 1 a = 100 m 2 = 1 dam 2 1 ha = m 2 = 1 hm 2 1 ca = 1 m 2 Ejemplo: 8 ha = 800 a= ca = 800 dam 2 = m 2

6 Tema: 15 Áreas 5Matemáticas 1º Área del rectángulo y del cuadrado El largo del rectángulo de la figura es 8 cm, y el ancho es 4 cm. ¿Cuántos cm 2 tiene este rectángulo? IMAGEN FINAL El área de un rectángulo es igual al producto de su base por su altura: A = b · h El área de un cuadrado es igual al producto del lado por sí mismo. Es decir, es igual al lado cuadrado: A = l 2 8 cm Como cada cuadrado es 1 cm 2, en total habrá 8 · 4 = 32 cm 2. El número de centímetros cuadrados es el área del rectángulo. A = b · h b h 4 cm Como un cuadrado es un rectángulo con la altura igual que la base: A = l 2 l l

7 Tema: 15 Áreas 6Matemáticas 1º Área del paralelogramo Al trazar la altura en el paralelogramo ABCD se obtienen dos partes. IMAGEN FINAL b h La base y la altura del rectángulo son las mismas que las del paralelogramo. Además, el área de ambas figuras es la misma, luego: A C D B b h R A C D B P A paralelogramo = A rectángulo = b · h El área del paralelogramo de la figura, cuyas medidas vienen dadas en cm, es: 7 2 A = 7 · 2 = 14 cm 2 Ejemplo: Unidas de otra manera podemos formar el rectángulo PBCR. Observa:

8 Tema: 15 Áreas 7Matemáticas 1º Área del triángulo A partir del triángulo ABC podemos dibujar el paralelogramo ABDC. IMAGEN FINAL b La base y la altura del triángulo son las mismas que las del paralelogramo. Pero en el paralelogramo hay dos triángulos, luego el área del triángulo será la mitad que la del paralelogramo: D A C B b El área del triángulo de la figura, cuyas medidas vienen dadas en cm, es: 7 2 Ejemplo: h D A B h C A = = 7 cm 2 7 · 2 2

9 Tema: 15 Áreas 8Matemáticas 1º Área del trapecio Partiendo del trapecio EHGF, dibujamos el paralelogramo EPRF. IMAGEN FINAL La base del paralelogramo es la suma de las base del trapecio (B + b), y la altura h es la misma. Pero en el paralelogramo hay dos trapecios, luego el área del trapecio será la mitad que la del paralelogramo: G E H F El área del trapecio de la figura, cuyas medidas vienen dadas en m, es: Ejemplo: R A = · 4,5 = 12,8 m 2 3,1 + 2,6 2 h B P b h E F R P B b 3,1 4,5 m 2,6

10 Tema: 15 Áreas 9Matemáticas 1º Área de los polígonos no regulares Para hallar el área de un polígono se descompone en triángulos, uniendo un vértice con los demás: IMAGEN FINAL El área del pentágono de la figura es la suma de las áreas de los triángulos T 1, T 2 y T 3. T 1 T 2 T 3 T 1 T 2 El área del cuadrilátero es la suma de las áreas de los triángulos T 1 y T 2. En cada caso, las áreas de los triángulos se hallarán aproximadamente, midiendo su base y altura. Para T 2, por ejemplo, midiendo b y h. b h

11 Tema: 15 Áreas 9Matemáticas 1º Área de los polígonos no regulares Para hallar el área de un polígono se descompone en triángulos, uniendo un vértice con los demás: IMAGEN FINAL El área del pentágono de la figura es la suma de las áreas de los triángulos T 1, T 2 y T 3. T 1 T 2 T 3 T 1 T 2 El área del cuadrilátero es la suma de las áreas de los triángulos T 1 y T 2. En cada caso, las áreas de los triángulos se hallarán aproximadamente, midiendo su base y altura. Para T 2, por ejemplo, midiendo b y h. b h

12 Tema: 15 Áreas 11Matemáticas 1º Área de un círculo Se descompone el círculo en sectores circulares y se colocan como indica la figura: IMAGEN FINAL r Si se divide el círculo en un número muy grande de sectores circulares, la figura de la derecha se aproxima a un paralelogramo de base la mitad de la longitud de la circunferencia ( ) y de altura el radio r. Luego: El diámetro de un disco es 30 cm. Calcula su área. A = 3,14 · 15 2 = 3,14 · 225 = 706,5 cm 2 Ejercicio: Si el diámetro vale 30, el radio será 15 cm. Luego:

13 Tema: 15 Áreas 12Matemáticas 1º Área de la corona circular IMAGEN FINAL Si de un círculo con centro O y radio R recortamos otro círculo más pequeño de radio r y con el mismo centro, se obtiene una figura que se llama corona circular. R r O El área de la corona circular es igual a la diferencia del área del círculo mayor y del círculo menor: Ejemplo: El área de la corona circular de la figura adjunta es: O 1,6 cm 1,2 cm A = 3,14 ·(1,6 2 – 1,2 2 ) = 3,14 · 1,12 = 3,52 cm 2

14 Tema: 15 Áreas 13Matemáticas 1º Área del sector circular IMAGEN FINAL El área del sector circular depende de su ángulo. Sector circular de de n grados: nº Sector circular completo: 360º Su área se calcula haciendo una regla de tres: Si a 360º le corresponde a nº le corresponderá x Ejemplo: El área del sector circular de la figura adjunta será:

15 Tema: 15 Áreas 14Matemáticas 1º Resolución de problemas IMAGEN FINAL Como es un polígono regular, su área es: Hacer un dibujo para comprender Primero: Problema : Calcula la superficie del hexágono regular inscrito en una circunferencia de radio 8 cm. Hacer cálculos Segundo: a 8 cm O El lado del hexágono regular es igual al radio de la circunferencia. La apotema cae en la mitad del lado. Es pues, un cateto de un triángulo rectángulo de hipotenusa 8 cm y el otro cateto de 4 cm. a 2 = 64 – 16 = 48 Por Pitágoras: 8 2 = a Elegir y aplicar las fórmulas Tercero: 4 4 Por otra parte, el perímetro del hexágono es 6 · 8 = 48 cm El hexágono se descompone en 6 triángulos.


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