APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA Espacio Espacio : Taller I Profesora Profesora : Debárbora Nancy Alumna Alumna : Acosta Verónica Año Año : 2011 I.N.T.

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1 APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA Espacio Espacio : Taller I Profesora Profesora : Debárbora Nancy Alumna Alumna : Acosta Verónica Año Año : 2011 I.N.T. «Prof. Eduardo A. Fracchia»

2 INTRODUCCIÓN HISTÓRICA E L PROBLEMA DEL CÁLCULO DE ÁREAS PLANAS Y DE VOLÚMENES DE SÓLIDOS SE REMONTA A LOS TIEMPOS DE LOS GRIEGOS. B ÁSICAMENTE EXISTÍAN DOS TIPOS DE MÉTODOS : LOS MÉTODOS HEURÍSTICOS O ATÓMICOS, Y LOS MÉTODOS DE EXHAUCIÓN. L OS MÉTODOS HEURÍSTICOS SE BASABAN EN LA TEORÍA ATOMISTA DE D EMÓCRITO, QUE CONSIDERABA UNA LÍNEA, SUPERFICIE O VOLUMEN COMO FORMA DE UN GRAN ( AUNQUE FINITO ) NÚMERO DE ÁTOMOS. S E TRATABA ENTONCES, DE SUMAR TODOS SUS ÁTOMOS PARA CALCULAR SU LONGITUD, SUPERFICIE O VOLUMEN. C ON ESTE MÉTODO, D EMÓCRITO CALCULÓ POR PRIMERA VEZ LOS VOLÚMENES DEL CONO Y LA PIRÁMIDE. L OS MÉTODOS DE EXHAUCIÓN TRATABAN DE FORMA MÁS RIGUROSA EL CÁLCULO DE ÁREAS Y VOLÚMENES, REALIZANDO DEMOSTRACIONES EXHAUSTIVAS DE LOS RESULTADOS, PERO TENÍAN LA DESVENTAJA DE LA NECESIDAD DE CONOCER EL RESULTADO PARA PODER DEMOSTRARLO. E STOS MÉTODOS FUERON TÍPICOS DE LA M ATEMÁTICA GRIEGA Y RENACENTISTA. L A OBRA DE A RQUÍMEDES FUE LA MAYOR APORTACIÓN DE LA MATEMÁTICA GRIEGA AL CÁLCULO INTEGRAL. E NTRE SUS RESULTADOS SE ENCUENTRAN LAS RELACIONES ENTRE EL ÁREA DE LA ESFERA Y LA LONGITUD DEL ECUADOR, ENTRE EL VOLUMEN DE LA ESFERA Y EL DEL CILINDRO CIRCUNSCRITO, EL ÁREA DE UN SEGMENTO DE PARÁBOLA, EL ÁREA DE LA ELIPSE, EL VOLUMEN Y ÁREA LATERAL DE ESFERAS, CONOS Y PIRÁMIDES. A RQUÍMEDES UTILIZÓ AMBOS TIPOS DE MÉTODOS.

3 L OS PROBLEMAS DE CÁLCULO DE ÁREAS RESURGIERON EN EL SIGLO XVII POR LAS NECESIDADES DE LA M ECÁNICA. J OHANN K EPLER CALCULA EL VOLUMEN DE DETERMINADAS VASIJAS OBTENIDAS A PARTIR DE LA REVOLUCIÓN DE SEGMENTOS DE CÓNICAS : UN CÍRCULO ESTÁ FORMADO POR UNA INFINIDAD DE TRIÁNGULOS CON UN VÉRTICE COMÚN EN EL CENTRO. E RA UN MÉTODO MÁS HEURÍSITICO Y MENOS RIGUROSO QUE EL DE A RQUÍMEDES. E N EL SIGLO XVII EL PRINCIPIO DE C AVALIERI ESTABLECE QUE DOS SÓLIDOS CON LA MISMA CURVA DE ALTURA TIENEN EL MISMO VOLUMEN SI LAS SECCIONES PLANAS DE IGUAL ALTURA TIENEN LA MISMA ÁREA. E STE PRINCIPIO PERMITIÓ INTEGRAR POLINOMIOS. P ASCAL CALCULÓ ÁREAS Y VOLÚMENES RELACIONADOS CON LA CICLOIDE, UTILIZANDO INDIVISIBLES. T AMBIÉN OBTUVO POR SUMA LAS ÁREAS DE LAS FUNCIONES SEN X, SEN 2 X Y X SEN X CUANDO UNO DE LOS LÍMITES ES 0 Ó PI. E N 1670 EL MATEMÁTICO B ARROW DESCUBRE UN MÉTODO GENERAL PARA CALCULAR TANGENTES Y FORMULA LA RELACIÓN ENTRE LA TANGENTE Y EL ÁREA, AUNQUE PARECE QUE ¡ NO FUE CONSCIENTE DE LA IMPORTANCIA DE SU DESCUBRIMIENTO !. E L RECONOCIMIENTO DEL PROBLEMA DEL CÁLCULO DE ÁREAS COMO EL INVERSO DEL CÁLCULO DE DIFERENCIALES, SE DEBE A N EWTON Y L EIBNIZ. N EWTON SÍ SE DIO CUENTA DE LA RELACIÓN EXISTENTE ENTRE LOS DOS PROBLEMAS, UNIFICÁNDOLOS EN EL " CÁLCULO DE FLUXIONES ". N EWTON CALCULÓ ÁREAS POR ANTI DIFERENCIACIÓN, DANDO EL PRIMER ENUNCIADO EXPLÍCITO DEL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL C ÁLCULO. I NDEPENDIENTEMENTE, L EIBNIZ LLEGA A LOS MISMOS RESULTADOS, PERO CONSIDERANDO LA INTEGRACIÓN COMO UNA SUMA. L EIBNIZ INTRODUJO ADEMÁS LA MODERNA NOTACIÓN DE

4 EL NOMBRE DE CÁLCULO INTEGRAL FUE PUESTO POR JACOB BERNOULLI A FINALES DEL SIGLO XVII. EN EL SIGLO XIX EULER PUBLICÓ EN UN LIBRO TODO EL CÁLCULO INTEGRAL ELEMENTAL. EL CÁLCULO INTEGRAL FUE ASENTADO DE FORMA RIGUROSA A PARTIR DE LA NOCIÓN DE LÍMITE DE CAUCHY. PERO LA INTEGRAL DE CAUCHY SÓLO ERA VÁLIDA PARA FUNCIONES CONTINUAS EN INTERVALOS CERRADOS Y ACOTADOS. ESTO DEJABA FUERA MUCHAS FUNCIONES, ASÍ QUE FUE RIEMANN QUIEN DEFINIÓ LA INTEGRAL QUE LLEVA SU NOMBRE, AMPLIANDO LA CLASE DE FUNCIONES INTEGRABLES A LAS FUNCIONES CONTINUAS SALVO EN UN NÚMERO NUMERABLE DE DISCONTINUIDADES; PERO LA RELACIÓN ENTRE DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DEJA DE SER VÁLIDA EN LOS PUNTOS DE DISCONTINUIDAD. Y EL GRAN DESARROLLO DEL ANÁLISIS HIZO APARECER LA NOCIÓN DE INTEGRAL DE LEBESGUE, EN EL QUE TODA FUNCIÓN DEFINIDA DE FORMA CONSTRUCTIVA ES INTEGRABLE. ESTA INTEGRAL TIENE MAYOR GENERALIDAD, Y UN MEJOR COMPORTAMIENTO EN LOS PROCESOS DE PASO AL LÍMITE.

5 El número que asignaremos eventualmente como área de R(f, a, b) recibirá el nombre de integral de f sobre [a, b]. En realidad, la integral se definirá también para funciones f que no satisfacen la condición f (x) ≥0, para todo x de [a, b]. Si f es la función dibujada en la figura 2, la integral representará la diferencia entre las áreas de las regiones de sombreado claro y de sombreado fuerte ('área algebraica' de R(f, a, b)). Supongamos que una curva situada por encima del eje x representa la gráfica de la función y = f (x). Intentemos encontrar el área S de la superficie limitada por la curva y = f (x), el eje x y las rectas que, pasando por los puntos x = a y x = b, son paralelas al eje y.

6 INTEGRALES Aunque será necesario definirla de forma esencialmente complicada, la integral viene a formalizar un concepto sencillo, intuitivo: el de área. Ahora ya no nos debe causar sorpresa el encontrarnos con que la definición de un concepto intuitivo puede presentar grandes dificultades y ciertamente el 'área' no es ninguna excepción a esto... Ahora solo intentaremos definir el área de algunas regiones muy especiales (figura 1): aquellas que están limitadas por el eje horizontal, las verticales por (a, 0) y (b, 0), y la gráfica de una función f tal que f (x) ≥ 0, para todo x de [a, b]. Conviene denotar esta región por R(f, a, b)... Figura1 figura2

7 PARA RESOLVER ESTE PROBLEMA SE PROCEDE COMO SIGUE. DIVIDIMOS EL INTERVALO [ A, B ] EN N PARTES, NO NECESARIAMENTE IGUALES. NOTAMOS LA LONGITUD DE LA PRIMERA PARTE POR ΔX 1, LA DE LA SEGUNDA POR ΔX 2, Y ASÍ SUCESIVAMENTE HASTA LA ÚLTIMA, ΔX N. EN CADA PARTE ELEGIMOS LOS NÚMEROS X 1, X 2,..., X N, Y ESCRIBIMOS LA SUMA S n es evidentemente igual a la suma de las áreas de los rectángulos de la figura 3. Cuanto más fina sea la subdivisión del segmento [a, b], más próxima se hallará S n al área S. Si consideramos una sucesión de tales valores por división del intervalo [a, b] en partes cada vez más pequeñas, entonces la suma S n tenderá a S. La posibilidad de dividir el intervalo [a, b] en partes desiguales exige definir lo que entendemos por subdivisiones 'cada vez más pequeñas'. Suponemos no sólo que n crece indefinidamente, sino también que la longitud del mayor Δx i en la n-sima subdivisión tiende a cero. El cálculo del área buscada se ha reducido a calcular el límite., hemos obtenido una definición rigurosa del concepto de área: es el límite. Así:

8 I NTEGRAL DEFINIDA EL LÍMITE SE LLAMA INTEGRAL DEFINIDA DE LA FUNCIÓN F ( X ) EN EL INTERVALO [ A, B ], Y SE DENOTA POR : La expresión f (x)dx se llama integrando; a y b son los límites de integración; a es el límite inferior, y b, el límite superior. Ahora comenzaremos a poner a práctica lo aprendido.

9 CÁLCULO DE ÁREAS ENTRE CURVAS. CÁLCULO DE ÁREAS ENTRE CURVAS. * MÉTODO DEL TRAPECIO * MÉTODO DE SIMPSON

10 EJEMPLO : CALCULAR EL ÁREA DEL RECINTO LIMITADO POR LA CURVA Y = 9 − X 2 Y EL EJE OX. EN PRIMER LUGAR HALLAMOS LOS PUNTOS DE CORTE CON EL EJE OX PARA REPRESENTAR LA CURVA Y CONOCER LOS LÍMITES DE INTEGRACIÓN. Y = 9 – X 2 EN EL INTERVALO [-3, 3] Como la parábola es simétrica respecto al eje OY, el área será igual al doble del área comprendida entre x = 0 y x = 3.

11 M ÉTODO DEL TRAPECIO.

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13 M ÉTODO DE SIMPSON

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15 El área entre dos curvas El área comprendida entre dos funciones es igual al área de la función que está situada por encima menos el área de la función que está situada por debajo. Ejemplos 1. Calcular el área limitada por la curva y = x 2 -5x + 6 y la recta y = 2x. En primer lugar hallamos los puntos de corte de las dos funciones para conocer los límites de integración.

16 De x = 1 a x = 6, la recta queda por encima de la parábola.

17 Calcula el área de la figura plana limitada por las parábolas y= x 2 − 2x, y = −x 2 + 4x. Representamos las parábolas a partir del vértice y los puntos de corte con los ejes.

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19 VOLUMEN DE SÓLIDO DE REVOLUCIÓN *M ÉTODO DE D ISCO * M ÉTODO DE LA A RANDELA O R OLDANA *M ÉTODO DE LOS C ASCARONES C ILÍNDRICOS

20 Ejemplo : Calcular el volumen de la esfera de radio r. Partimos de la ecuación de la circunferencia x² + y² = r². Girando un semicírculo en torno al eje de abscisas se obtiene una esfera.

21 MÉTODOS DE LOS CASCARONES CILÍNDRICOS.

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23 DESARROLLO.

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25 MÉTODO DEL DISCO. Esta fórmula solo se aplica el eje de rotación es el eje x

26 E JEMPLO : CALCULA EL VOLUMEN DEL SÓLIDO QUE SE OBTIENE GIRANDO LA REGIÓN BAJO DE LA CURVA Y = √ X, SOBRE EL EJE X ; DE 0 A 1.

27 GRÁFICA

28 M ÉTODO DE LA ARANDELA O ROLDANA

29 Ejemplo : la región R, acotada por las curvas y=x e y=x 2, se gira alrededor del eje x. Calcula el volumen del cuerpo resultante Las curvas y=x e y =x 2 se intersecan en los puntos (0;0) y (1;1). La figura exhibe la región entre ellas, el sólido de revolución y una sección transversal perpendicular al eje x. Una sección transversal en el plano P x tiene la forma de un anillo cuyo diámetro interior es x 2 y diámetro exterior x.

30 Desarrollo

31 ACTIVIDAD 1)Determinar el área de la región acotada por las parábolas y= x 2 ; y= 2x – x 2. Constatar con el método del trapecio y de Simpson para n= 4 rectángulos. (Solución: A = 1/3 u 2 ). 2)Calcular el área de la región acotada por la recta y= x-1 y la parábola y 2 = 2x + 6. Constatar con el método de Simpson para n= 8 rectángulos.(Solución : A = 18 u 2 ). 3)Calcula el volumen del cuerpo generado al girar la región limitada por y= x (x-1) 2 e y = 0 alrededor del eje y. (Solución : V= π/15 u 3 ). 4)Calcula el volumen del cuerpo generado al girar la región limitada por y= x – x 2 e y= 0, en torno de la recta x=2.(Solución : V= π/2 u 3 ). 5)Aplica el método de los cascarones cilíndricos para calcular el volumen generado al girar la región acotada por y= x 2 ; y= 0 ; x=1 ; x= 2 en torno del eje y. Constatar con el método del disco. (Solución : V= 15/ 2 π u 3 ) 6)Aplica el método de los cascarones cilíndricos para calcular el volumen generado al girar la región acotada por y= √(x-1) ; y= 0 en torno y= 3. (Solución : V= 16π u 3 )

32 http://centros5.pntic.mec.es/ies.de.melilla/area_entre_dosC.htm (pagina web) http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso- elsie/aplicacionesintegral/html/node6.html Calculo: «transcendentes tempranas » James Stewart; tercera edicion,1998, pag 380 a 402. Spivak, M., (1975): Calculus. Tomo 1. Barcelona: Reverté. Aleksandrov, A.D., Kolmogorov, A.N., Laurentiev, M.A., et al., (1985): La Matemática: su contenido, métodos y significado. 3 vols., Madrid: Alianza. Ayres, F. Jr., (): Cálculo Diferencial e Integral. México: McGraw-Hill. Aquiles Páramo Fonseca aparamo@uniandes.edu.co Departamento de Matemáticas - Universidad de Los Andes - Bogotá - Colombia - Junio, 2004 BIBLIOGRAFÍA

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