Condición inicial y(t = t o ) = y o En donde f(t,y) es una función arbitraria. Remplazando la derivada por un esquema de diferencias finitas adelantado.

Presentación del tema: "Condición inicial y(t = t o ) = y o En donde f(t,y) es una función arbitraria. Remplazando la derivada por un esquema de diferencias finitas adelantado."— Transcripción de la presentación:

1 Condición inicial y(t = t o ) = y o En donde f(t,y) es una función arbitraria. Remplazando la derivada por un esquema de diferencias finitas adelantado de O(  t): Ecuación diferencial Haciendo  t = h y despejando el valor de la función en el punto t + h, se obtiene y(t + h) = y(t) + hf(t,y) y n+1 = y n + hf(t n, y n ) n = 0, 1, 2....... t n+1 = h(n + 1) Método explícito de Euler

2 Método explícito de Euler y e = y n + L 1 ; L 1 = hf(t n, y n ) ; n = 0, 1.. y exacta AB C t n t n+1 h L1L1 Recta con pendiente f(t n, y n ) yeye ynyn y t

3 dy/dt = -ky; y(t=0) = y 0 y = y 0 e -kt y n+1 = y n + hf(y n, t n ) ; f(t n, y n ) = -ky n ; n = 0, 2…. Solución Analítica y numérica de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden por el método explícito de Euler dy / dt = f (t, y) ; y(t = 0) = y 0 h t y

4 Método explícito de Euler dy / dt = f(t, y) y e = y n + L 1 ; L 1 = hf(t n, y n ) ; n = 0, 1.. y exacta AB C t n t n+1 h L1L1 Recta con pendiente f(t n, y n ) yeye ynyn y t

5 Considérese ahora el siguiente sistema formado por Ne ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden dy i / dt = f i (t, y i ), y i (t = to) = yo i ; i = 1...Ne La aplicación del método de Euler a este sistema de ecuaciones conduce a y n+1,i = y n,i + L 1,i ; i = 1... Ne, n = 0…. con la distancia L 1,i definida así: L 1,i = hf i (t n, y n,i ) Obsérvese que el sistema de ecuaciones algebraicas pede resolverse individualmente para cada paso de integración, lo cual hace muy sencillo de aplicar esta técnica a sistemas de ecuaciones diferenciales.

6 Ejemplo El siguiente par de ecuaciones diferenciales, conocidas como ecuaciones de Lotka-Volterra, simulan la evolución de una población de presas y 1, y predadores y 2, dentro de un sistema ecológico. La primera ecuación describe la evolución de la población de las presas (por ejemplo conejos). La población se incrementa al pasar el tiempo pero también tiende a menguar por la voracidad de los depredadores (por ejemplo coyotes). La segunda ecuación describe a la población de los depredadores. La población tiende a incrementarse, pero se ve restringida por el número de presas disponibles, ya que la población de éstas disminuye al ser devorada por los primeros. Entonces se observa que ambas ecuaciones se encuentran acopladas, es decir, ambas son interdependientes. Presas: dy 1 / dt = 0.01y 1 – 0.00002y 1 y 2 Predadores:dy 2 / dt = 0.00001y 1 y 2 - 0.04y 2 Elabore un programa de computadora que resuelva, mediante el método de Euler, un sistema de ne ecuaciones diferenciales ordinarias. Posteriormente utilice el programa para resolver el par de ecuaciones diferenciales presentadas, desde t = 0 hasta t = 800 días y presente los resultados en forma gráfica. Use las siguientes condiciones iniciales y 1 (t = 0) = 1000 y 2 (t = 0) = 1000