¿Qué es una ecuación diferencial?

Presentación del tema: "¿Qué es una ecuación diferencial?"— Transcripción de la presentación:

1 ¿Qué es una ecuación diferencial?
Introducción ¿Qué es una ecuación diferencial? Ö  Toda ecuación que establece la dependencia de una variable respecto a otra u otras mediante derivadas es una ecuación diferencial

2 Ejemplos de ecuaciones diferenciales
 2) La rapidez con que un cuerpo se calienta es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo T(t) y la temperatura del ambiente Ta Donde K es el coeficiente dde transmisión de calor que depende del material

3 Clasificación General
EDO de primer orden.- La forma general es F(x,y,y’)=0 A la forma y’=f(x,y) Se le denomina resuelta respecto a la derivada. También aparecen en la forma:

4 Solución de una ED La Solución General, también llamada integral general de la ED de la forma F(x,y,y’,y’’,...,y(n))=0, es la función y=f(x,c) que satisface dicha ecuación. Ejemplo.- Es fácil ver que las funciones son soluciones de la ecuación del ejemplo (4). La solución general es en realidad una familia de funciones parametrizadas por la constante desconocida c. Para cada valor particular de la constante c se obtiene una Solución Particular de la ED

5 Solución de una ED Tarea: a) Para el ejemplo (2). Verificar que la solución general de la ED es: b) Si K=0.1°C/seg. ¿Cuánto tiempo tardará en enfriarse una taza de café hirviendo si la temperatura ambiente es de Ta=15°C ?

6 Métodos de Solución Analítica
NO existe un método general para resolver ED’s, es decir, dada una ecuación diferencial no tenemos un procedimiento para hallar su solución analítica. Sin embargo, en algunos casos particulares bien identificados sí se tienen procedimientos para calcular dicha solución.

7 Métodos de Solución Analítica
El único método entonces consiste en saber Identificar el tipo de ED que se quiere resolver. Si es un caso conocido. Aplicar el procedimiento correspondiente Si no es un caso conocido, intentar algún cambio de variable que la transforme en un caso conocido

8 Separación de variables
La idea más simple de los procedimientos de solución es reescribir la ecuación como una ecuación de variables separadas: Donde f(y) es una función exclusivamente de y y g(x) es una función exclusivamente de x. Esta ecuación se resuelve integrando a ambos lados:

9 Separación de variables
La ED de la forma Se denomina ED de variables separables, ya que es inmediata su reescritura como una ED con variables separadas:

10 Separación de variables
Ejemplo: Resolver la ecuación Solución: Separando variables ydy = -xdx integrando Reescribiendo x2+y2 = c2

11 ED Lineales de 1er orden Las ED de la forma Se denominan ED Lineales.
Se resuelven usando variación de la constante c de la solución para el caso Homogéneo (q(x)=0), es decir, donde

12 ED Lineales de 1er orden Ejemplo: La ecuación del circuito RC serie
Es una ED lineal de primer orden, por lo tanto, su solución es Donde Si Vs(t)=1, se obtiene: Por lo tanto

13 ED exactas La ecuación de la forma
tiene de la forma de una diferencial exacta du(x,y) = 0 y por consiguiente la solución: u(x,y) = c si cumple la condición de Euler: En tal caso y la función u(x,y) se puede obtener integrando M respecto a x:  y se puede determinar c(y) derivando

14 ED exactas Ejemplo: La siguiente ED Es exacta puesto que
Integrando respecto a x Es decir, Derivando respecto a y De donde Finalmente la solución general es

15 Teorema de existencia y unicidad
Ejemplo: ¿Son ED exactas?