Problemas Resueltos sobre Sucesiones Monótonas

Presentación del tema: "Problemas Resueltos sobre Sucesiones Monótonas"— Transcripción de la presentación:

1 Problemas Resueltos sobre Sucesiones Monótonas
Sucesiones monótonas. Problemas resueltos

2 Sucesiones monótonas. Problemas resueltos
Demostrar que la sucesión es monótona. Problema 1 Solución Sea Entonces para todo n. Por lo tanto la sucesión (an) = es creciente. Sucesiones monótonas. Problemas resueltos

3 Sucesiones monótonas. Problemas resueltos
Se define la sucesión (an) de la forma an = 1 y Estudiar la convergencia de esta sucesión. Solución El siguiente dibujo muestra el intervalo [1/2,1] con algunos términos de an. a5=47/60 a6=37/60 a2=1/2 a4=7/12 a3=5/6 a1=1 La sucesión (a1,a2,a3,…) no es creciente ni decreciente. Por lo tanto no es monótona, pero parece que los términos impares de la sucesión (an) forman una sucesión decreciente y los pares una sucesión creciente. Sucesiones monótonas. Problemas resueltos

4 Sucesiones monótonas. Problemas resueltos
Se define la sucesión (an) de la forma an = 1 y Estudiar la convergencia de esta sucesión. Solución (cont.) Hemos visto que (a1,a2,a3,…) no es monótona. Sea bm = a2m, y cm = a2m-1, para m = 1,2,3,… . Entonces Conclusión: la sucesión (bm) es creciente. Sucesiones monótonas. Problemas resueltos

5 Sucesiones monótonas. Problemas resueltos
Se define la sucesión (an) de la forma an = 1 y Estudiar la convergencia de esta sucesión. Solución (cont.) Sean bm = a2m, y cm = a2m-1, para m = 1,2,3,… . Hemos visto que (bm) es una sucesión creciente. Asimismo Conclusión: la sucesión (cm) es decreciente. Sucesiones monótonas. Problemas resueltos

6 Sucesiones monótonas. Problemas resueltos
Se define la sucesión (an) de la forma an = 1 y Estudiar la convergencia de esta sucesión. Solución (cont.) Sean bm = a2m, y cm = a2m-1, para m = 1,2,3,… . Hemos visto que (bm) es creciente y (cm) es decreciente. Observamos que bm < cm para todo m ya que Entonces bm < cm < c1, luego la sucesión (bm) está acotada superiormente (por c1). En consecuencia la sucesión (bm) tiene límite. Sucesiones monótonas. Problemas resueltos

7 Sucesiones monótonas. Problemas resueltos
Se define la sucesión (an) de la forma a1 = 1 y Estudiar la convergencia de esta sucesión. Solución (cont.) Sean bm = a2m, y cm = a2m-1, para m = 1,2,3,… . Hemos visto que la sucesión (bm) tiene límite. Con un razonamiento similar demostramos que (cm) tiene límite. Ya que , estos límites son los mismos. Observación Más tarde veremos que Límite=ln 2 c1=1 b1=1/2 c2=5/6 b2=7/12 c3=47/60 b3=37/60 Sucesiones monótonas. Problemas resueltos

8 Cálculo en una variable
Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa Autor: Mika Seppälä