Tema 3 Técnicas de Modulación Analógica MODULACIÓN EN FRECUENCIA REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA “ANTONIO.

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1 Tema 3 Técnicas de Modulación Analógica MODULACIÓN EN FRECUENCIA REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA “ANTONIO JOSÉ DE SUCRE” “ANTONIO JOSÉ DE SUCRE” VICE-RECTORADO PUERTO ORDAZ Departamento de Ingeniería Electrónica Vigencia Mayo 2011

2 1. Frecuencia de una señal periódica y frecuencia instantánea. 2. Modulación de fase (PM) y Modulación de frecuencia (FM). 3. Determinación de la frecuencia instantánea para una señal modulada en fase y en frecuencia. 4. Expresiones complejas para una señal modulada en fase y en frecuencia. 5. Análisis de una señal modulada en fase y en frecuencia cuando la modulante es una señal senusoidal. 6. Espectro de frecuencia de una señal modulada en frecuencia.

3 7. Modulación de frecuencia de banda estrecha o angosta: NBFM. 8. Modulación de frecuencia de banda ancha: WBFM. 9. Generación de señales moduladas en ángulo. 10. Demodulación de FM. 11. Potencia asociada a una señal con modulación de ángulo. 12. Sistema de comunicación con modulación angular en presencia de ruido.

4 Una señal periódica es aquella que se repite cada T segundos. Por ejemplo, se puede representar por la expresión: Por ejemplo, se puede representar por la expresión: La Frecuencia puede ser lineal (f) o angular (w).

5 Es de interés conocer el valor que toma la frecuencia de la señal f(t) en un instante dado de tiempo t i. El valor que toma la frecuencia de la señal en un instante de tiempo t i, se conoce como frecuencia instantánea de la función f(t). Veamos dos ejemplos: Cambios bruscos de Frecuencia Cambios graduales de Frecuencia

6 Sea la ecuación: Si en la ecuación anterior se considera que el ángulo de fase no es constante sino que puede ser considerado como una función del tiempo, se tiene: Al hacer variar φ(t) en esta ecuación, se tendrá una dependencia del tiempo “t” de la fase de la ecuación. Se tiene en este caso una señal modulada en ángulo.

7 Consideremos la ecuación: donde k p es constante y m(t) es la modulante, entonces la señal modulada es: Esta ecuación representa una señal modulada en fase y se denota como g PM (t) Fase de la señal

8 El índice de modulación de la señal modulada en fase se puede determinar como: El índice de modulación representa la máxima desviación de fase que puede darse a la función g PM (t) y está dado por el valor máximo de la amplitud de la modulante por la constante k P

9 Considere ahora que  (t) está dado como la integral de la función m(t), entonces se tiene: Como vimos previamente: Si se remplaza por la ecuación previa, se tiene: Esta ecuación representa la señal modulada en frecuencia y se denota por g FM (t)

10 El índice de modulación de la señal modulada en frecuencia se determina por: El índice de modulación está dado por el máximo valor positivo de la integral de la modulante por el factor de escala k f

11 En resumen, se tiene que las ecuaciones que definen las técnicas de modulación angular y su índice de modulación son: TécnicaEcuación Índice de Modulación MODULACIÓN EN FASE MODULACIÓN EN FRECUENCIA

12 Considérese la ecuación: Si se toma que  (t)=w c t +  (t), se tiene: La frecuencia instantánea de la ecuación anterior, se define como: Esta ecuación expresa que la frecuencia instantánea es igual a la variación respecto al tiempo del ángulo de la función

13 Aplicando este criterio a la modulación en fase se tiene: Esta ecuación permite determinar la frecuencia instantánea para una señal modulada en fase

14 Cuando la modulante va de – a + su derivada es positiva, siendo la frecuencia máxima. Cuando la modulante va de + a - su derivada es negativa, siendo la frecuencia mínima. Representación gráfica de una señal modulada en FASE.

15 De igual forma para la modulación en frecuencia se tiene: Esta ecuación permite determinar la frecuencia instantánea para una señal modulada en frecuencia.

16 Cuando la modulante tiene su máximo “+” su frecuencia es máxima. Cuando la modulante tiene su máximo “-” su frecuencia es mínima. Representación gráfica de una señal modulada en FRECUENCIA

17 Conclusión: Al comparar las dos ecuaciones se establece que en la modulación de fase, la frecuencia instantánea varía linealmente con la derivada de la señal modulante, mientras que en la modulación en frecuencia, la frecuencia instantánea varía linealmente con la señal modulante. Modulación de Fase Modulación de Frecuencia

18 La ecuación para Modulación de fase se puede escribir utilizando la notación compleja, de esta manera: Para la Modulación de frecuencia, se tiene:

19 Hasta ahora, el análisis matemático para la modulación en fase y en frecuencia se ha realizado en función de una señal modulante genérica, llamada : Se considerará a continuación para el análisis, una señal particular y a través de ella, realizar el análisis espectral correspondiente que permita tener una clara idea de cómo se presenta el espectro de la señal modulada en fase y en frecuencia.

20 Considérese, que la señal modulante es: Reemplazando por la modulante dada, se tiene: Como: Entonces reemplazando, se tiene: Ecuación de PM cuando la modulante es una onda senusoidal

21 Considérese, que la señal modulante es: Reemplazando la modulante, tiene: Como: Al resolver la integral se tiene:

22 Ya que el máximo valor de  m es: La expresión final es: Ecuación de FM cuando la modulante es una señal senusoidal

23 Según se vió, la frecuencia instantánea de una señal modulada está dada por: Si consideramos como modulante la señal: entonces:

24 Factorizando, se tiene: El valor máximo que puede tomar el miembro derecho de la ecuación, es k f m 0 por tanto: El valor máximo que puede tomar el miembro derecho de la ecuación, es k f m 0, por tanto: Sea, y como Integrando se tiene: (Ec. 1)

25 Reemplazando en la Ec. 1, se tiene: La ecuación anterior permite determinar la desviación de frecuencia angular de la señal modulada en frecuencia cuando la modulante es una señal senusoidal. Representa el índice de modulación para FM Finalmente:

26 Por naturaleza la FM posee un ancho de banda amplio, lo cual se constituye en una limitación cuando la disponibilidad de ancho banda es limitada. Sin embargo, la excelente relación señal a ruido que posee la hace interesante aún a pesar de la limitación anterior. Se han realizado análisis y estudios que permiten reducir el ancho de banda de esta técnica de modulación, logrando salvar esta limitación.

27 La ecuación de una señal modulada en frecuencia es: En forma compleja se puede escribir: (Ec. 2) También la Ec. 2 puede ser reescrita usando identidades trigonométricas como: (Ec. 3)

28 Al observar la ecuación 3 se evidencia su complejidad para resolverla. Para simplificarla se harán algunas consideraciones. En primer lugar, considérese que los valores de  son pequeños, entonces: Los valores de  f usuales para las consideraciones anteriores, pueden ser tomados como menores a 0,2, es decir,  f < 0,2. Apliquemos este criterio en la ecuación 3.

29 Así, se tiene que: La ecuación 4 representa la ecuación para la modulación de frecuencia de banda angosta y se denota como NBFM, donde  f es el índice de modulación para FM. (Ec. 4) Señal Portadora Índice de Modulación Señal Modulante En ausencia de modulante, solo está presente la portadora de frecuencia w c llamada frecuencia de reposo. En caso contrario, la frecuencia de la señal portadora se desvía por encima y por debajo de w c en un valor dado según  f

30 Representando la ecuación 4 en forma fasorial, se tiene: (Ec. 5) Consideremos una señal modulada en amplitud: Escrita en forma fasorial, se tiene: (Ec. 6)

31 Las ecuaciones 5 y 6 pueden ser graficadas tomando como referencia el término de cada una.

32 Realizando una comparación entre los resultados para AM y NBFM se puede establecer lo siguiente: Ambas modulaciones poseen dos bandas laterales y su ancho de banda es igual a 2w m. Ambas modulaciones poseen dos bandas laterales y su ancho de banda es igual a 2w m. En AM la modulación se agrega en fase con la portadora mientras que en NBFM se hace en cuadratura. En AM la modulación se agrega en fase con la portadora mientras que en NBFM se hace en cuadratura. La modulación AM proporciona variación de amplitud sin desviación de fase mientras que NBFM da origen a una variación de fase con muy pequeño cambio de amplitud. La modulación AM proporciona variación de amplitud sin desviación de fase mientras que NBFM da origen a una variación de fase con muy pequeño cambio de amplitud.

33 El desfase se puede determinar a partir del triángulo resultante del diagrama fasorial como: La desviación de la frecuencia instantánea respecto a la frecuencia de la portadora es: Angulo de Desfase

34 La desviación de la frecuencia instantánea respecto a la frecuencia de la portadora es: Análisis: Para evitar variaciones en la amplitud de una señal modulada en frecuencia, se debe restringir el valor de .

35 Según el diagrama fasorial b, la magnitud del vector resultante se puede determinar como: Para que la magnitud de la ecuación 7 se mantenga constante, se deben hacer algunas consideraciones.  Si, como sen 2 w m t≤1 entonces  2 < 1, que nos dice que los valores de  deben ser menores que uno.  En la práctica  < 0,3, es una buena aprox. (Ec. 7)

36 Con las consideraciones anteriores, se garantiza que la amplitud de una señal modulada en frecuencia sea constante, es decir: NOTA: Para que esto se cumpla, el índice de modulación debe ser muy pequeño.

37 Considérese una modulante senusoidal: De la Ec. 7, el ángulo de fase se determina como: (Ec. 7) (Ec. 8)

38 El segundo exponencial de la ecuación 8, se puede expandir en una serie exponencial de Fourier, resultando: en donde: Si se considera que: (Ec. 9)

39 La solución de la integral de la ecuación 9 se obtiene por medio de la función de BESSEL de primera clase y se indica como, donde n es el orden y  es el argumento. Los valores de se obtienen a partir de las tablas de BESSEL La función de BESSEL de primera clase y enésimo orden se denota como:

40 Teoría de las Funciones de BESSEL La expresión matemática para determinar los valores de cada uno de los componentes espectrales, está definida como: Usando la función de BESSEL, se puede expresar una ecuación en otra forma. Veamos El argumento de la primera ecuación, es una función trigonométrica, en la segunda es una función trigonométrica con argumento simple.

41 Teoría de las Funciones de BESSEL Normalmente para trabajar con las funciones de Bessel no hay que hacer todos los engorrosos cálculos. Al contrario, es muy simple empleando las tablas ya calculadas, llamadas TABLAS DE BESSEL. Propiedades de las funciones de BESSEL: ElementoDescripción Son de valor real Para n PAR Para n IMPAR Friedrich Wilhelm Bessel

42 Funciones de Bessel para valores de n = 0 a n = 15 FUNCIÓN DE BESSEL Portadora ORDEN DE LA FUNCIÓN J0J1J2J3J4J5J6J7J8J9J10J11J12J13J14J15 01,00~~~~~~~~~~~~~~~ 0,11,000,05~~~~~~~~~~~~~~ 0,20,990,10~~~~~~~~~~~~~~ 0,250,980,120,01~~~~~~~~~~~~~ 0,50,940,240,03~~~~~~~~~~~~~ 0,750,860,350,070,01~~~~~~~~~~~~ 10,770,440,110,02~~~~~~~~~~~~ 1,50,510,560,230,060,01~~~~~~~~~~~ 20,220,580,350,130,030,01~~~~~~~~~~ 2,40,000,520,430,200,060,02~~~~~~~~~~ 3-0,260,340,490,310,130,040,01~~~~~~~~~ 4-0,40-0,070,360,430,280,130,050,02~~~~~~~~ 5-0,18-0,330,050,360,390,260,130,050,020,01~~~~~~ 60,15-0,28-0,240,110,36 0,250,130,060,020,01~~~~~ 70,300,00-0,30-0,170,160,350,340,230,130,060,020,01~~~~ 80,170,23-0,11-0,29-0,110,190,340,320,220,130,060,030,01~~~ 9-0,090,250,14-0,18-0,27-0,060,200,330,310,210,120,060,030,01~~ 10-0,250,040,250,06-0,22-0,23-0,010,220,320,290,210,120,060,030,01~ 11-0,17-0,180,140,23-0,02-0,24-0,200,020,220,310,280,200,120,060,030,01 120,05-0,22-0,080,200,18-0,07-0,24-0,170,050,230,300,270,200,120,070,03 130,21-0,07-0,220,000,220,13-0,12-0,24-0,140,070,230,290,260,190,120,07 140,170,13-0,15-0,180,080,220,08-0,15-0,23-0,110,090,240,290,250,190,12 15-0,010,210,04-0,19-0,120,130,210,03-0,17-0,22-0,090,100,240,280,250,18 Representa la Portadora de la señal Modulada Para este índice de modulación la portadora se hace CERO ! Desde J1 Hasta J15 representan las bandas laterales Índice de Modulación A mayor índice de Modulación, mayor numero de Bandas Laterales

43 Las funciones de Bessel pueden ser graficadas, obteniéndose por ejemplo las siguientes graficas para valores de n = 0 a n = 4

44 Retomando el análisis, la ecuación puede ser reescrita como: y empleándola en la expresión general para FM:

45 Analizando la expresión: Se puede concluir que el ancho de banda de una señal modulada en frecuencia por una onda seno, tiene un número de bandas laterales infinito. Pero según la tabla de Bessel solo algunas bandas laterales tienen magnitud significativas y en consecuencia el ancho de banda se hace finito.

46 CRITERIO PARA DEFINIR EL ANCHO DE BANDA. Sea la ecuación de una señal modulada en frecuencia: Una banda lateral es significativa si tiene magnitud igual ó mayor al 1 % de la magnitud de la portadora no modulada. Esto es:

47 CRITERIO PARA DEFINIR EL ANCHO DE BANDA. Los valores de J n (  ) son despreciables para n > . Entonces el ancho de banda para FM se puede obtener tomando la última banda lateral significativa en n = , esto es: Para una forma de onda general, se emplea la regla de Carlson para determinar el ancho de banda:

48 Análisis espectral para una señal modulada en frecuencia para diferentes índices de modulación.

49 CONSIDERACIÓN PRELIMINAR Según los análisis anteriores, la modulación angular se produce cuando se hace variar el ángulo de fase de una señal portadora de frecuencia w c en dependencia de la amplitud de una modulante. El tipo de modulación obtenida PM o FM depende de que se use la señal modulante directamente o se utilice como modulante la señal después de ser integrada.

50 Generación de WBFM y NBFM. CASO DE NBPM: Si partimos de la ecuación: analicemos como generarla…. Una alternativa se muestra en la figura siguiente:

51 Generacion de NBPM: El generador de portadora cuya salida es desfasada en 90 grados para se multiplicada linealmente con la señal f(t) de entrada (modulante) señal senw m t. El índice de modulación se puede controlar por medio de k p. Finalmente la señal de salida de modulador balanceado con ganancia ajustada se suma con la señal portadora sin desfase alguno para dar como resultado la señal de FM de banda estrecha.

52 Generación de NBFM y NBPM. CASO DE NBFM: Si se integra la función antes de ingresar al sistema, se tiene NBFM, según vimos. Entonces para generar NBFM se tiene:

53 Método Directo El proceso de demodular una señal de FM involucra un método tal que permita convertir las variaciones de frecuencia en una variación de voltaje. Este sistema debe tener una característica de transferencia lineal, llamado discriminador de frecuencia. Un circuito con esta característica lo constituye el diferenciador ideal con función de transferencia jw.

54 Método Directo La señal de FM es: Si se aplica la ecuación 48 a la entrada del diferenciador ideal se tiene como salida: (Ec. 48) (Ec. 49)

55 Método Directo La señal de FM es: (Ec. 49) La señal de la ecuación 49 está modulada tanto en frecuencia como en amplitud. La envolvente de la ecuación 49 es: De la ecuación 50, se concluye que la envolvente es siempre positiva, es decir, toma valores por encima del eje del tiempo, lo cual permite usar detección de envolvente para obtener la señal m(t) (la modulante). (Ec. 50)

56 El esquema de un demodulador de FM es entonces: La ecuación de salida supone la amplitud constante. Si la amplitud no fuese constante, sino una función del tiempo, se tendría como envolvente: Esta ecuación indica que la salida del detector de envolvente es proporcional a A(t)m(t). De acuerdo al resultado de la ecuación 50 es necesario mantener la amplitud constante.

57 La amplitud se puede mantener constante si se usa un limitador de pasabanda, el cual posee un limitador seguido de un filtro pasabanda. La expresión de la señal modulada en frecuencia general tiene la ecuación siguiente: FrecuenciaFundamental Frecuencia Armónicas superiores

58 El limitador hace la amplitud constante y el filtro pasa banda extrae la señal modulante ubicada en w El limitador hace la amplitud constante y el filtro pasa banda extrae la señal modulante ubicada en w c.

59 Seay Ec. 51 Considerando la ortogonalidad de la función coseno, el valor cuadrático medio de la suma es igual a la suma de los valores cuadráticos medios, por lo cual: pero

60 Obteniendo finalmente que: El valor cuadrático medio de cada banda lateral es: El valor cuadrático medio es igual a la potencia promedio si se considera como resistencia R = 1 Ohm. Las bandas laterales o la portadora se pueden hacer tan pequeñas como se desee eligiendo el índice de modulación  apropiado.

61 Análisis espectral para una señal modulada en frecuencia para diferentes índices de modulación.

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