TRIGONOMETRIA CONTEMPORANEA ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO EL ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO SE OBTIENE GIRANDO UN RAYO ALREDEDOR DE SU ORIGEN. SENTIDO DE GIRO HORARIO.

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2 TRIGONOMETRIA CONTEMPORANEA

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4 ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO EL ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO SE OBTIENE GIRANDO UN RAYO ALREDEDOR DE SU ORIGEN. SENTIDO DE GIRO HORARIO SENTIDO DE GIRO ANTIHORARIO OA : LADO INICIAL ) O A B < ) < POSITIVO ) < NEGATIVO OB : LADO FINAL O: VÉRTICE

5 TRIGONOMETRÍA

6 Trigonometría Plana La trigonometría estudia la medición de un modo indirecto de segmentos y ángulos. La definición actual de Trigonometría Plana dice que es la rama de la matemática que estudia la resolución de triángulos; calcular de modo indirecto las medidas de todos sus elementos – ángulos y lados a partir de muy pocos datos.

7 Ángulo Trigonométrico Es aquel que se genera al hacer rotar un rayo alrededor de su origen, al que llamaremos vértice, desde una posición o lado inicial hasta una posición final o lado final.

8 Ejercicios 1. A partir del gráfico, calcular el valor de “x” A. 18 B. 15 C. 12 D. 10 E. 8

9 2. De la figura, calcular el valor positivo que toma “x” A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 E. 4

10 3. Del gráfico mostrado, calcular la suma de los valores de “x” A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4

11 4. De la figura, hallar “x” en términos de:

12 Ángulos Coterminales Son aquellos ángulos que tienen el mismo lado inicial y el mismo lado terminal, diferenciándolos solamente del número de vueltas.

13 Relación Entre los Ángulos

14 Problemas 1.Indicar y graficar si los ángulos son coterminales: 140° y 860° 2. Indicar y graficar si los ángulos son coterminales: -285° y - 1365° 3. Indicar y graficar si los ángulos son coterminales: - 420° y 1020° 4. Indicar y graficar si los ángulos son coterminales: 120° y 930° 5. Indicar y graficar si los ángulos son coterminales: 510° ; 870° y 1230°

15 6. Dos ángulos coterminales son entre sí como 2 es a 11. Hallar la medida del mayor de dichos ángulos, si el menor se encuentra entre 90° y 180°. A. 825° B. 858° C. 880° D. 902° E. 935°

16 7. Dos ángulos Coterminales son entre sí como 1 es a 5. Hallar la medida del mayor de ellos, si el menor está comprendido entre 100° y 200° A. 180° B. 360° C. 540° D. 720° E. 900°

17 Sistemas de Medidas Angulares

18 1. Sistema Sexagesimal (S) Llamado inglés es aquel sistema cuya unidad de medida angular es el “grado sexagesimal” (°) que es igual a la 360 ava parte de 1 vuelta. 1 circunferencia 1 vuelta 1 circunferencia 4 cuadrantes 1 cuadrante 90° 1° 60´ 1´ 60” 1° 3600”.

19 2. Sistema Centesimal (C) Sistema francés es aquel sistema que tiene como unidad de medida angular el grado centesimal (g), que es igual a la 400 ava parte del ángulo de una vuelta. 1 circunferencia 400 g 1 vuelta 1 circunferencia 4 cuadrantes 1 cuadrante 100 g 1g 100 m 1m 100 s 1 g 10000 s

20 3. Sistema Radial (R) sistema circular es aquel sistema que tiene por unidad de medida el Radián (rad). Un radián es la medida del ángulo central en una circunferencia que genera un arco cuya longitud tiene la misma medida que el radio de la circunferencia.

21 Problemas Actualmente se conocen 24 números perfectos: 6 ; 28; 496; 8 128; 33 550 336. ¿Cómo los encuentro? Gracias a Euclides: 2 n –1 ( 2 n – 1 ) Al sustituir n por números naturales siempre y cuando ( 2 n – 1 ) sea un número primo.

22 Números amigos Se obtienen a partir de los números perfectos. Sumemos todos los divisores de 220 y 284. 220 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284. 284 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220 Son dos números amigos si cada uno de ellos es igual a la suma de los divisores del otro.

23 Números amigos Se conoce más de 1 000 parejas en la actualidad. Algunos amigos son: 1 184 y 1 210 2 620 y 2 924 5 020 y 5 564 6 232 y 6 368

24 Criptografía Desde 1978 existe un procedimiento para cifrar llamado RSA ( Rives, Shamir y Adleman) Existen dos claves, una para cifrar y otra para descifrar. La segunda está formada por dos números primos muy elevados (P y Q), mientas que la primera esta formada por su producto (M). Los números primos son del orden de cien a doscientas cifras. Sin embargo en 1994 se logro factorizar el número de 129 cifras propuesto en 1978.

25 Primos gemelos. Son aquellos que se diferencian en dos unidades, como 41 y 43 Primos capicúas, son aquellos que son ambas cosas a la vez (primos y capicúas), tales como 919, 10501, 11311, … 181 y 191, 373 y 383,…

26 Juegos con números Utilizando 3 veces el mismo número construye el número 30.

27 Juegos con números Empleando cuatro veces el número tres y las operaciones habituales: expresar todos los números del 1 al 10. Ejemplos: 1 = 33/33 = 3 – 3 + 3 / 3 8 = 33/3 - 3

28 Juegos con números El número 31 se puede obtener combinando el número 3 ¿Cuál de las expresiones siguientes es la combinación correcta? a) 3 3 + 3 x 3 – 3 b) (3 + 3) 3 + 3 x 3 c) (3 + 3) 3 – 3 3 d) 3 3 + 3 + 3/3 e) 3 3 + 3 + 3 3

29 Juegos con números Utiliza cuatro veces el número 4… Empleando todos ellos cada vez y las operaciones usuales (+.-,*, :, raíces cuadradas,....) se pueden obtener al menos todos los naturales desde 1 hasta 10 (y en muchos casos de varias formas diferentes). Trata de lograrlo. Ejemplos: 0 = 4 + 4 - 4 - 4 = 44 - 44 7 = 4 + 4 - (4/4) = (44/4) - 4

30 Juegos con números Con 4 cincos Empleando cuatro cincos y las operaciones habituales: (+, -, x, /, potencias, etc.) expresar todos los números del 1 al 10. Ejemplo: 1 = (5/5) + 5 – 5 2 = 5/5 + 5/5

31 Juegos con números Escribe el número 100 con nueve cifras idénticas. Éstas sólo podrán estar separadas por los signos matemáticos +, -, x, /, ( ) Ejemplo: 100 = 111 – 11 + 1 - 1 + 1 – 1 100 = (99 + 99) : (9 + 9) x 9 + (9 : 9)

32 Juegos con números Escribir en cada espacio en blanco uno de los números enteros del 3 al 7 de manera que ninguno se repita y se verifique la igualdad en el esquema. {[( + ) - ] x } : = 1

33 Juego con números Elabora generalizaciones, encontrando regularidades. Se refuerza conceptos: divisor, primo, etc. Se afianza operaciones básicas al expresar un número determinado en función de otro, se analiza otras formas de realizar operaciones básicas. Se estimula los factores de creatividad

34 La tabla cien 12345678910 11121314151617181920 21222324252627282930 31323334353637383940 41424344454647484950 51525354555657585960 61626364656667686970 71727374757677787980 81828384858687888990 919293949596979899100

35 Desplázate Sitúate en el número 34, desplázate dos casillas a la derecha y una hacia abajo ¿en qué número terminaste? ¿Para llegar a este número que operación realizarías sobre el número 34?

36 La tabla cien 12345678910 11121314151617181920 21222324252627282930 31323334353637383940 41424344454647484950 51525354555657585960 61626364656667686970 71727374757677787980 81828384858687888990 919293949596979899100

37 Formando triángulos Halla la suma de diversos triángulos, procura encontrar una generalización.

38 La tabla cien 12345678910 11121314151617181920 21222324252627282930 31323334353637383940 41424344454647484950 51525354555657585960 61626364656667686970 71727374757677787980 81828384858687888990 919293949596979899100

39 Tríos curiosos Elige tres números que figuren en posiciones consecutivas de una fila, multiplica los dos números de los extremos. Ahora eleva al cuadrado el número central. ¿Encuentras algún patrón de comportamiento? ¿Puedes redactar esto en términos de los extremos y del número central?

40 La tabla cien 12345678910 11121314151617181920 21222324252627282930 31323334353637383940 41424344454647484950 51525354555657585960 61626364656667686970 71727374757677787980 81828384858687888990 919293949596979899100

41 Tríos curiosos Pide a un compañero que elija tres números que figuren en posiciones consecutivas de una columna y lo sume, pide que te dé el total, puedes decirle ¿Cuáles fueron los números que sumó? ¿Cómo logras descubrirlos? Si un amigo te dice que su resultado es 34 ¿Esta diciendo la verdad?

42 La tabla cien 12345678910 11121314151617181920 21222324252627282930 31323334353637383940 41424344454647484950 51525354555657585960 61626364656667686970 71727374757677787980 81828384858687888990 919293949596979899100

43 Diagonales misteriosas Encierra nueve números en un cuadrado (tabla 3 x 3), luego suma cada una de las dos diagonales principales ¿Qué observas? ¿Ocurrirá esto siempre? ¿Cómo fundamentarías tus afirmaciones?

44 La tabla cien 12345678910 11121314151617181920 21222324252627282930 31323334353637383940 41424344454647484950 51525354555657585960 61626364656667686970 71727374757677787980 81828384858687888990 919293949596979899100

45 Diagonales misteriosas Toma un cuadrado 2 x 2 elige una diagonal y resta el número menor del mayor, haz lo mismo con la otra diagonal ¿Qué observas?

46 La tabla cien 12345678910 11121314151617181920 21222324252627282930 31323334353637383940 41424344454647484950 51525354555657585960 61626364656667686970 71727374757677787980 81828384858687888990 919293949596979899100

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53 SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR SISTEMA SEXAGESIMAL (SISTEMA INGLÉS) GRADO : MINUTO : SEGUNDO : 1vuelta= EQUIVALENCIAS

54 En el sistema sexagesimal los ángulos se pueden expresar en grados,minutos y segundos Los números B y C deben ser menores de 60 RELACIONES DE CONVERSIÓN GRADOSMINUTOS SEGUNDOS x 60 x 3600 : 60 : 3600 << < < < < < < < < < < Para convertir de grados a minutos se multiplica por 60 Para convertir de minutos a grados se divide entre 60 Para convertir de minutos a segundos se multiplica por 60 Para convertir de segundos a minutos se divide entre 60 Para convertir de grados a segundos se multiplica por 3600 Para convertir de segundos a grados se divide entre 3600

55 EJEMPLO : EXPRESAR EN GRADOS SEXAGESIMALES CONCLUSIÓN: RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS DE GRADOS,MINUTOS y SEGUNDOS NÚMERO DE GRADOS SEXAGESIMALES = S NÚMERO DE MINUTOS SEXAGESIMALES ( m ) = 60S NÚMERO DE SEGUNDOS SEXAGESIMALES ( p ) = 3600S Al número 36 se le divide entre 60 y Al número 45 se le divide entre 3600

56 EJEMPLO Calcular la medida de un ángulo en el sistema sexagesimal, sabiendo que su número de minutos sexagesimales más el doble de su número de grados sexagesimales es igual a 155. SOLUCIÓN Sea S = número de grados sexagesimales Entonces el número de minutos sexagesimales = 60S Dato : El ángulo mide :

57 ESTAN ENTENDIENDO ? NO REPITE POR FAVOR

58 SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR SISTEMA CENTESIMAL (SISTEMA FRANCÉS) GRADO : MINUTO : SEGUNDO : 1vuelta= EQUIVALENCIAS

59 En el sistema centesimal los ángulos se pueden expresar en grados,minutos y segundos Los números B y C deben ser menores de 100 RELACIONES DE CONVERSIÓN GRADOSMINUTOS SEGUNDOS x 100 x 10 000 : 100 : 10 000 << < < < < < < < < < < Para convertir de grados a minutos se multiplica por 100 Para convertir de minutos a grados se divide entre 100 Para convertir de minutos a segundos se multiplica por 100 Para convertir de segundos a minutos se divide entre 100 Para convertir de grados a segundos se multiplica por 10000 Para convertir de segundos a grados se divide entre 10000

60 RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS DE GRADOS,MINUTOS y SEGUNDOS NÚMERO DE GRADOS CENTESIMALES = C NÚMERO DE MINUTOS CENTESIMALES ( n ) = 100C NÚMERO DE SEGUNDOS CENTESIMALES ( q ) = 10 000C RELACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS SEXAGESIMAL Y CENTESIMAL GRADOSMINUTOSSEGUNDOS SABEMOS QUE SIMPLIFICANDO SE OBTIENE SABES QUE :

61 SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR SISTEMA RADIAL (SISTEMA CIRCULAR) UN RADIÁN ES LA MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL QUE SUBTIENDE EN CUALQUIER CIRCUNFERENCIA UN ARCO DE LONGITUD IGUAL AL RADIO. R R R ) EN ESTE SISTEMA LA UNIDAD DE MEDIDA ES EL RADIÁN.

62 RELACIÓN ENTRE LOS TRES SISTEMAS ESTA RELACIÓN SE USA PARA CONVERTIR DE UN SISTEMA A OTRO. EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR A RADIANES EJEMPLOS SABES QUE EL ÁNGULO DE UNA VUELTA MIDE : SIMPLIFICANDO SE OBTIENE :

63 EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR AL SISTEMA SEXAGESIMAL............................ EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR AL SISTEMA CENTESIMAL...........................

64 FACTORES DE CONVERSIÓN DE GRADOS SEXAGESIMALES A RADIANES DE GRADOS SEXAGESIMALES A CENTESIMALES DE GRADOS CENTESIMALES A RADIANES DE GRADOS CENTESIMALES A SEXAGESIMALES DE RADIANES A GRADOS SEXAGESIMALES DE RADIANES A GRADOS CENTESIMALES

65 ESTAN ENTENDIENDO ? NO REPITE POR FAVOR

66 FÓRMULA DE CONVERSIÓN S : NÚMERO DE GRADOS SEXAGESIMALES C : NÚMERO DE GRADOS CENTESIMALES R : NÚMERO DE RADIANES EJEMPLO CALCULAR EL NÚMERO DE RADIANES DE UN ÁNGULO,SI SE CUMPLE: EN ESTE TIPO DE PROBLEMA SE DEBE USAR LA FÓRMULA DE CONVERSIÓN SOLUCIÓN

67 SE REEMPLAZA EN EL DATO DEL PROBLEMA,SIMPLIFICANDO SE OBTIENE FINALMENTE EL NÚMERO DE RADIANES ES : NOTA : LA FÓRMULA DE CONVERSIÓN EN ALGUNOS CASOS CONVIENE EXPRESARLA DE LA SIGUIENTE MANERA

68 OTRAS RELACIONES IMPORTANTES * ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS SUMAN : * ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS SUMAN : * EQUIVALENCIAS USUALES: SISTEMA SEXAGESIMAL CENTESIMAL RADIAL COMPLEMENTOSUPLEMENTO S C R 90 - S180 - S 100 - C200 - C

69 EJERCICIOS 1. CALCULAR : SOLUCIÓN Para resolver este ejercicio la idea es convertir cada uno de los valores dados a un solo sistema,elegimos el SISTEMA SEXAGESIMAL ; Reemplazamos en E

70 2. El número de grados sexagesimales de un ángulo más el triple de su número de grados centesimales es 78, calcular su número de radianes SOLUCIÓN Sea S = número de grados sexagesimales C = número de grados centesimales Sabes que : = K y Dato : S + 3C = 78 S = 9KC = 10K 9K + 3( 10K ) = 7839K = 78 K = 2 El número de radianes es :

71 3. Determinar si es verdadero o falso A ) B ) El complemento de es C ) D ) Los ángulos interiores de un triángulo suman E ) F ) G ) El número de grados sexagesimales de un ángulo es igual al 90% de su número de grados centesimales

72 TRIGONOMETRIA CONTEMPORANEA rubalva@hotmail.com

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