El Triángulo.... Más que un polígono de tres lados...

I. Definición: Polígono de tres lados, tres ángulos y tres vértices. ¿Cómo nombrar lados, ángulos y vértices?

II. Clasificación: Según la medida de sus lados: Equilátero Isósceles Escaleno Según la medida de sus ángulos: Acutángulo Rectángulo Obtusángulo

Clasificación: ¿Qué combinación de tipos de triángulos existen? Dibujarlos

Observación: En el triángulo isósceles, se tiene que:

Postulado de existencia de un triángulo (llamado también desigualdad triangular ) Un triángulo queda determinado si ocurre que: La suma de las medidas de dos de sus lados es siempre mayor que el tercer lado. a + b › c

Observación: En todo triángulo se cumple que: A mayor lado se opone mayor ángulo, entonces, a menor ángulo se opone …… A lados congruentes se oponen ………..

¿Qué es un teorema? Verdad que se puede demostrar Veremos 3 teoremas relacionados a los ángulos del triángulo:

III. Teoremas relativos a ángulos en el triángulo La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es siempre 180°. A   B R C S  L1

Teorema 2 : La suma de las medidas de los ángulos exteriores de un triángulo es siempre 360º.  ’ ’ C   A ’ B

Teorema 3: La medida de todo ángulo exterior de un triángulo, es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacentes a él.  ’ ’ C   ’ B A

Ejercicios: Completa las tablas: 1) Medidas de ángulos interiores de triángulos Clasificación del triángulo según los lados y ángulos Triángulo ABC <A = 35º <B = 65º <C = Triángulo EFG <E = < F = 55º <G = 75º Triángulo HIJ <H = 110º <I = <J = 25º

2) Medidas de ángulos exteriores de triángulos Triángulo ABC <A = 95º <B = 115º <C = Triángulo EFG <E = < F = 160º <G = 90º Triángulo HIJ <H = 150º <I = <J = 85º

3) Calcula la medida de todos los ángulos faltantes:

4) ¿Cuál es la relación de orden entre los lados? 5) ¿Cuál es la relación de orden entre los ángulos?

Hasta ahora….¿qué sabemos del tríangulo? En cuanto a la clasificación: Respecto a la desigualdad triangular: En cuanto a sus ángulos: En cuanto a sus lados:

Resuelve la guía 1

IV. Cálculo de ángulos en triángulos Triángulo ABC es isósceles de base BC. b) Triángulo EFG isósceles, sus lados congruentes son EF y FG

c) Si CD es bisectriz del ángulo ECD d) El triángulo EFG es rectángulo en F

e) En el triángulo MNO, el <M es el doble <N

Resuelve la guía 2

V. Construcción de triángulos: Construiremos los triángulos con regla y transportador. Existen 3 opciones para entregar la información mínima necesaria para construir un triángulo, estos son:  L.L.L. : entregar la medida de los tres lados L.A.L : entregar la medida de dos lados y el ángulo que está entre ellos A.L.A. : entregar la medida de dos ángulos y el lado que está entre ellos.

V. Construcción de triángulos: L.L.L. : entregar la medida de los tres lados. Por ejemplo: Δ DEF, donde d = 5 cm, e = 5 cm, f = 5 cm

V. Construcción de triángulos: 2) L.A.L : entregar la medida de dos lados y el ángulo que está entre ellos Por ejemplo: Δ ABC, donde a = 3 cm, γ = 60º, b = 3 cm

V. Construcción de triángulos: 3) A.L.A. : entregar la medida de dos ángulos y el lado que está entre ellos. Por ejemplo: Δ GHI, donde α = 60º, g = 7 cm, β = 60º

Ejercicios: Construye los siguientes triángulos, a partir de la información dada: Δ ABC, donde a = 5 cm, γ = 80º, b = 5 cm Δ DEF, donde d = 3 cm, e = 5 cm, f = 7 cm Δ GHI, donde α = 110º, g = 3 cm, β = 50º Δ JKL, donde j = 3 cm, k = 4 cm, l = 5 cm

VI. Elementos secundarios del triángulo: Bisectriz Altura Transversal de gravedad Simetral Mediana

Para construir la bisectriz es necesario el compás. Bisectriz: rayo que divide al ángulo en dos ángulo de igual medida. El punto donde se intersectan las tres bisectrices se llama INCENTRO (I) Para construir la bisectriz es necesario el compás. Construcción de bisectrices en triángulos: Triángulo acutángulo: A B C

Circunferencia inscrita: Haciendo centro en el incentro, se puede trazar una circunferencia inscrita.

Bisectriz Triángulo rectángulo

Bisectriz Triángulo obtusángulo

Para construir la altura es necesario la escuadra. 2) Altura: recta perpendicular que une el vértice con su lado opuesto. El punto donde se intersectan las tres alturas se llama ORTOCENTRO (O) Para construir la altura es necesario la escuadra. Construcción de alturas en triángulos: Triángulo acutángulo: A B C

2) Altura Triángulo rectángulo

2) Altura Triángulo obtusángulo

Para construir la transversal de gravedad es necesario la regla. 3) Transversal de gravedad : segmento que une el punto medio del lado con su vértice. El punto donde se intersectan las tres transversales de gravedad se llama BARICENTRO O CENTRO DE GRAVEDAD (G) Para construir la transversal de gravedad es necesario la regla. Triángulo acutángulo: A B C

3) Transversal de gravedad Triángulo rectángulo

3) Transversal de gravedad Triángulo obtusángulo

Para construir las simetrales es necesario regla y escuadra: 4) Simetral: segmento que une el punto medio del lado con su vértice. El punto donde se intersectan las tres simetraless se llama CIRCUNCENTRO (C) Para construir las simetrales es necesario regla y escuadra: Triángulo acutángulo: A B C

Circunferencia circunscrita Haciendo centro en el circuncentro, se puede trazar una circunferencia circunscrita:

4) Simetral Triángulo rectángulo

4) Simetral Triángulo obtusángulo

Para construir las medianas es necesario regla. Triángulo acutángulo: 5) Medianas: segmento que une el punto medio de los lados del triángulo. Para construir las medianas es necesario regla. Triángulo acutángulo: A B C

Cada una de las medianas trazada en un triángulo es paralela al tercer lado. La medida de cada mediana corresponde a la mitad de la longitud del lado paralelo. Al trazar las tres medianas, se determinan 4 triángulos congruentes y semejantes al triángulo original.

5) Mediana Triángulo rectángulo

5) Mediana Triángulo obtusángulo

Análisis de puntos notables en el triángulo. Sala TICS

Resuelve guía 3

VII. Cálculo de ángulos en triángulos usando elementos secundarios: ABC es isósceles de base BC y CD es bisectriz

b) El triángulo ABC es equilátero, CD es altura c) En el triángulo EFG, EM es altura. <GEM =20º y <MFE = 60º

d) En el triángulo MNO, MP es bisectriz del <OMN y OM es congruente a MN

Resuelve guía 4

VIII. Raíz cuadrada: Si tenemos a2 = 9 ¿Qué número multiplicado por sí mismo da 9? Entonces  Ya que 32 = 9

Ejercicios: calcula el valor de las siguientes raíces

¿Cómo calcular raíces de cuadrados no perfectos? En la recta numérica, ubicamos ¿entre qué números?

Resuelve pegotín

IX. Teorema de Pitágoras: Este teorema se aplica SOLO en el triángulo rectángulo Los lados que forman el ángulor recto se llaman CATETOS y el lado opuesto al ángulo recto se llama HIPOTENUSA

Demostración del teorema usando papel lustre… 1º) Construir en papel lustre un triángulo rectángulo de lados 3 cm, 4 cm y 5 cm. 2º) Pegar le triángulo en el cuaderno y sobre cada lado dibujar un cuadrado. 3º) Calcula el área de cada cuadrado y descubre una relación entre ellas.

+ =

En números: Luego, y² + x² = z² Lado “x” y lado “y” del triángulo rectángulo corresponden a los catetos. Lado “z” del triángulo rectángulo corresponde a la hipotenusa. Luego, y² + x² = z² Es decir, La suma de cada cateto al cuadrado es igual a la hipotenusa al cuadrado: 3² + 4² = 5² 9 + 16 = 25 25 = 25

Otras demostraciones del teorema http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/teorema-pitagoras.html Teorema de Pitágoras: “La suma de las medidas de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos es equivalente a la del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo cualquiera”. ¿Para qué sirve? 1) para calcular la medida de un lado faltante en cualquier triángulo rectángulo 2) para comprobar si un triángulo dado es rectángulo o no.

1º aplicación: calcular el valor de la hipotenusa: Valorizo el Teorema de Pitágoras: 3² + 4² = x² x Resuelvo: + 16 = x² 25 = x² Me pregunto: ¿Qué número multiplicado por si mismo me da 25? Luego x = 5 cm

1º aplicación: calcular el valor del cateto Valorizo el Teorema de Pitágoras: 12² + x² = 13² Resuelvo: 144 + x² = 169 / - 144 144 -144 + x² = 169 - 144 x² = 25 / √ x = 5 Luego x = 5 cm

2º aplicación: ¿es un triángulo rectángulo? Si las medidas de un triángulo JHK son 5 cm, 8 cm y 12 cm ¿ 5² + 8² = 12²? ¿25 + 64 = 144? 89 ≠ 144 Luego, ∆JHK no es triángulo rectángulo

Trío Pitagórico 3, 4 y 5 Determinar la medida de la hipotenusa . Cateto a Cateto b Hipotenusa 3 4 6 8 9 12 16 15 20 18 24 x a b

Otros tríos pitagóricos: 5, 12 y 13 (y sus múltiplos) 5² + 12² = 13² + 144 = 169 169 = 169 8, 15 y 17 (y sus múltiplos) 8² + 15² = 17² 64 + 225 = 289 289 = 289

Ejercicios: Si los catetos de un triángulo miden 3 cm y 4 cm, ¿cuánto medirá la hipotenusa? Si los catetos de un triángulo miden 9 cm y 12 cm, ¿cuál es la medida de la hipotenusa? Si un cateto mide 8 cm y la hipotenusa mide 10 cm, ¿cuál es la medida del otro cateto? Observación: mostrar que la medida se puede expresar con raíz cuadrada, cuando no es exacta

d) Si un cateto mide 15 cm y la hipotenusa mide 25 cm, ¿cuánto mide el otro cateto? e) ¿Es un triángulo rectángulo aquel que tenga medidas 2 cm, 3 cm y 4 cm.?

Resuelve pegotín y luego guía 5

Problemas con el Teorema de Pitágoras Calcular el área y perímetro de las siguientes figuras:

2) Una escalera mide 5 m de largo y está apoyada en una pared a una altura de 4 m. ¿Cuál es la distancia entre el pie de la escalera y la pared? 3) Se sabe que la distancia de la punta de un árbol a una piedra es de 13 metros. La distancia de la piedra a la base del árbol es de 9 metros. ¿Cuál es la altura del árbol?

4) Un niño encumbra un volantín, como muestra la figura 4) Un niño encumbra un volantín, como muestra la figura. Considerando las medidas dadas, determina a qué altura está el volantín.

Resuelve guía 6

CIERRE DE LA UNIDAD Realiza un organizador gráfico de la unidad Resuelve guía 7