UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE MÉXICO FACULTAD DE QUIMICA PROGRAMA EDUCATIVO DE QUÍMICO UNIDAD DE APRENDIZAJE INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS NUMÉRICOS UNIDAD II RESOLVER PROBLEMAS CON EL MÉTODO DE SOLUCIÓN ADECUADO Métodos de solución Punto Fijo Material didáctico Modalidad: Solo visión proyectable (diapositivas) Responsable de la Elaboración: M. en A. María Esther Aurora Contreras Lara Vega Septiembre, 2015

Propósito La Unidad de Aprendizaje (UA) de Introducción a los Métodos Numéricos se ofrece como una asignatura optativa del Núcleo de Formación Integral del Programa de Químico. Esta UA forma parte del grupo de 20 Asignaturas Optativas, en donde se da oportunidad al estudiante de Químico de elegir aquellas UA que le permitan profundizar y desarrollas habilidades en distintas áreas y que le den una característica de “traje a la medida” de su propio programa de estudios. Dentro de los contenidos de esta UA se pueden destacar algunos aspectos que están muy relacionados con los conocimientos que el estudiante haya adquirido a lo largo de su formación profesional como lo fueron la forma de resolución analítica de integrales, derivadas y ecuaciones diferenciales; sin embargo esta asignatura proporcionar al estudiante herramientas de tipo numérico y computacional que hace que la solución de problemas matemáticos sea muy sencilla. La Unidad de Aprendizaje (UA) de Introducción a los Métodos Numéricos se ofrece como una asignatura optativa del Núcleo de Formación Integral del Programa de Químico. Esta UA forma parte del grupo de 20 Asignaturas Optativas, en donde se da oportunidad al estudiante de Químico de elegir aquellas UA que le permitan profundizar y desarrollas habilidades en distintas áreas y que le den una característica de “traje a la medida” de su propio programa de estudios. Dentro de los contenidos de esta UA se pueden destacar algunos aspectos que están muy relacionados con los conocimientos que el estudiante haya adquirido a lo largo de su formación profesional como lo fueron la forma de resolución analítica de integrales, derivadas y ecuaciones diferenciales; sin embargo esta asignatura proporcionar al estudiante herramientas de tipo numérico y computacional que hace que la solución de problemas matemáticos sea muy sencilla.

Propósito La contribución de ésta UA al perfil de egreso del químico se centra en la promoción de competencias que incidirán en su capacidad de saber resolver problemas de cinética química, crecimientos exponenciales bacterianos, manejo de datos históricos de producción así como la extrapolación de datos. Además, que reconozca los ámbitos de desempeño (centros de investigación y desarrollo; operación de plantas industriales: producción, procesos; diseño y asesoría, entre otros). La enseñanza de esta UA se realiza por medio de actividades individuales y grupales de investigación documental, el dominio de herramientas computacionales, ensayos y resolución de series de problemas. Manteniendo una visión orientada a la calidad en el trabajo, el respeto, la tolerancia y la perseverancia, así como la disposición a aprender a aprender. La contribución de ésta UA al perfil de egreso del químico se centra en la promoción de competencias que incidirán en su capacidad de saber resolver problemas de cinética química, crecimientos exponenciales bacterianos, manejo de datos históricos de producción así como la extrapolación de datos. Además, que reconozca los ámbitos de desempeño (centros de investigación y desarrollo; operación de plantas industriales: producción, procesos; diseño y asesoría, entre otros). La enseñanza de esta UA se realiza por medio de actividades individuales y grupales de investigación documental, el dominio de herramientas computacionales, ensayos y resolución de series de problemas. Manteniendo una visión orientada a la calidad en el trabajo, el respeto, la tolerancia y la perseverancia, así como la disposición a aprender a aprender.

Guía para la utilización del material El material que se presenta constituye un apoyo para el docente que tenga la oportunidad de impartir la unidad de aprendizaje de Introducción a los Métodos numéricos, pretendiendo facilitar al alumno la comprensión de la temática abordada en la misma. La composición del material es la siguiente: 35 Diapositivas de la Unidad II: Resolver problemas con el método de solución adecuado Métodos de solución punto fijo

Contenido  Introducción  El Método de Punto Fijo  Sustento teórico del método  Ejemplos  En resumen  Algoritmos

Introducción

1.Calcular el valor de x, que cumple f(x)= 0 2. Calcular el valor de x que cumple g(x) = h(x)f(x) = g(x) – h(x) = 0 Dada una función f(x) determinar algún valor x' para el que se cumpla f(x')=0. Los valores x' se llaman raíces de f(x).

Las raíces pueden ser reales o complejas. Determinar raíces reales de: 1. Ecuaciones algebraicas: f(x)=x2-2x+1 2. Ecuaciones trascendentes (involucran funciones trigonométricas, exponenciales, logaritmicas, etc): f(x)=sen(x)+e-x

Dos métodos gráficos para determinar la raíz de f(x) = e -x –x f(x) = e -x -x 0 = e -x -x  x = e -x  f 1 (x) = x f 2 (x) = e -x

x’ se suele denominar el cero o raíz de f(x) x’ se puede determinar por medios analíticos (solución exacta) o por medios numéricos (solución aproximada) La elección del método numérico depende del problema a resolver (estructura del problema, tipo de ecuaciones, precisión requerida, rápidez del cálculo,....). Por tanto no existe un mejor método universalmente aplicable. Métodos cotados o cerrados (bracketing methods) Métodos abiertos (open methods) Tipos de métodos

11 Métodos acotados  La raíz está situada en un intervalo (necesita dos puntos). Acaba convergiendo dentro de una tolerancia. Métodos abiertos  Sólo emplean un punto inicial (o dos puntos que no tienen por qué contener a la raíz) y una fórmula para encontrar la raíz. No siempre convergen, pero cuando lo hacen son mucho más rápidos que los métodos acotados. Métodos cerrados vs. Métodos abiertos

Métodos Abiertos  Se basan en fórmulas requieren un único valor de inicio o si requieren dos, no es necesario que encierren a la raíz  No está garantizada la convergencia  En caso de converger, lo hacen mucho más rápido que los métodos cerrados

METODO DE PUNTO FIJO

Dada una ecuación f(x) = 0, podemos transformarla, de alguna manera, en otra equivalente del tipo x = g(x) para alguna función g. En este caso se tiene que: a es raíz de f(x) = 0 ↔ f(a) = 0 ↔ a = g(a) ↔ a es raíz de x = g(x).

Un número a tal que a = g(a) se dice un punto fijo de la función g. Cuándo una función g tiene un punto fijo, y si lo tiene, cómo encontrarlo?

El método del punto fijo se lo conoce también como método de iteración simple de punto fijo; o, iteración de un punto por sustitución sucesiva, en el cual se utiliza una fórmula o expresión matemática para predecir la raíz, la misma que puede desarrollarse por una iteración simple, de allí su denominación.

Sustento teórico del método

Ejemplo  Sistema no lineal  Problema de Punto Fijo

 Si g es una función continua en [a, b] y g(x) ε[a, b] para todo x ε[a, b], entonces g tiene por lo menos un punto fijo en [a, b]. Si además, g’(x) existe para todo x ε[a, b], y |g’(x)| ≤ K < 1 para todo x ε[a, b], K constante, entonces g tiene un único punto fijo x ε[a, b]. La sucesión {x n }, con n definida, se encuentra mediante la fórmula de iteración: x n =g(x n-1 ), n=1,2,3…..

 Un punto fijo de una función, g es un número p tal que g(p)=p. El problema de encontrar las soluciones de una ecuación f(x)=0 y el de encontrar los puntos fijos de una función h(x) son equivalentes en el siguiente sentido: dado el problema de encontrar las soluciones de una ecuación f(x)=0, podemos definir una función g con un punto fijo p de muchas formas; por ejemplo, f(x)=x- g(x). En forma inversa, si la función g tiene un punto fijo en, p entonces la función definida por f(x)=x-g(x) posee un cero en p.

Método de iteración de punto fijo  Básicamente, consiste en reordenar los términos de la función.  Se iguala a cero, para que la variable “x” quede a la izquierda.  x = g(x) ; x i+1 = g(x i )  Existen dos técnicas:

1- Despejando la variable x  Ejemplo: f(x)= 3x 2 - 4x + 5  Primero se iguala a cero la función.  Luego se despeja la variable x.

2- Sumando x a ambos lados de la ecuación (cos(x), sen(x), etc)  Ejemplo: f(x)= cos (x)  Primero se iguala a cero la función.  Luego se suma la variable x a ambos lados.

 De lo anterior se puede concluir que cuando el método converge, el error es proporcional, y menor que la iteración anterior, por esto se dice que la iteración simple de punto fijo es linealmente convergente.

Ejemplos

Ejemplo Usando el método de punto fijo vamos a aproximar la solución de la ecuación X 3 +4X 2 -10=0 dentro del intervalo [1,2]. Lo primero es buscar una función g(x) adecuada x 3 +4X 2 -10=0 x 2 (x+4)=10 x= Y claramente elegimos como función iteradora a g(x)= además observe que Para toda x€ [1,2], lo cual garantiza que la sucesión que vamos a construir va a ser convergente.

1. En la celda A5 escribimos nuestra aproximación inicial, en este caso En la celda A6 escribimos la fórmula que calculará las aproximaciones: =raiz(10/(A5+4)) 3.Por último arrastramos la celda A6 para generar las restantes aproximaciones. Una desventaja potencial del método de punto fijo es que la elección de la función iteradora g(x) no siempre es fácil.

Usar el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de, f(x)=cos x-x f(x) comenzando con X o =0 y hasta que |Ea|<1%. Solución El método sí converge a la raíz. Aplicando la fórmula iterativa tenemos, x 1 =g(x 0 )=cos 0=1 Con un error aproximado de 100%

Aplicando nuevamente la fórmula iterativa tenemos, x 1 =g(x 1 )=cos 1= Y un error aproximado de 85.08%.

 Intuimos que el error aproximado se irá reduciendo muy lentamente. En efecto, se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1%. El resultado final que se obtiene es:  Con un error aproximado igual al 0.78%.  x 13 =0, cos 01, cos 10, cos 2-0, cos 3-0, cos 4-0, cos 50, cos 60, cos 70, cos 8-0, cos 9-0, cos 10-0, cos 110, cos 120, cos 130, cos 140, cos 15-0, cos 16-0, cos 17-0, cos 180, cos 190, cos 200,408082

Ejemplo Sea la función: 2x 2 -x –5 = 0 con x0=1 Puede despejarse en: a. x=2x 2 -5, despejando el segundo término b. x=((x+5)/2)^(1/2), despejando x del primer término c. x=(5/2x-1), factorizando x y despejando d. x=2x 2 -5, sumando x a cada lado

Iteraciones de punto fijo 2x 2 -5sqrt((x+5)/2)5/(2x-1)2x E E E E E E E E E+295 #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM!

En Resumen

Método de Punto Fijo  Punto fijo  Estimación inicial  Iteraciones  Criterio de parada

Algoritmo

Esquema del algoritmo  Entrada: f, x 0, tol, maxiter  Proceso  Inicializar incr, iter  Mientras incr > tol & iter < maxiter  Obtener x  incr = norm(x  x 0 )  Actualizar x 0, iter  Salida: x, iter, incr  Si incr > tol no converge

Algoritmo de Punto Fijo function [x,iter,incr] = pfijo(g,x0,tol, maxiter) iter = 0; incr = tol + 1; while incr > tol & iter < maxiter x = feval(g,x0); incr = norm(x - x0); iter = iter + 1; x0 = x; end if incr > tol, disp(‘No converge’), end

REFERENCIAS  Análisis Numérico con Aplicaciones, Wheatley Gerald. 6ª Ed. Pearson Educativa. México, pp 698  Numerical Methods for Chemical Engineers with Matlab Application. Constantinides A., Mostoufi N. Ed. Prentice Hall International Series. USA, 2000  Análisis Numérico. Burden R. L. Faires J. D., Grupo Editorial Iberoamérica. México pp 721  Applied Mathematics and Modeling for Chemical Engineers. Rice, G. Richard, Do Duong. Ed. Willey. New York. 1995