@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT1 FUNCIONES ELEMENTALES U.D. 6 * 1º BCT

@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT2 FUNCIONES POLINÓMICAS U.D. 6.4 * 1º BCT

@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT3 Una función polinómica es aquella cuyo desarrollo es un polinomio. f(x) = a n.x n + a n-1.x n-1 + a n-2.x n-2 + …+ a 2.x 2 + a 1.x + a 0 También lo podemos escribir así: f(x) = x n.[ a n + (a n-1 / x ) + (a n-2 / x 2 )+ … +(a 1 / x n-1 )+ (a 0 / x n )] Lo cual es muy útil para calcular límites. Calculemos las asíntotas horizontales: Lím f(x) = lím x n.[ a n + (a n-1 / x ) + (a n-2 / x 2 )+ … +(a 1 / x n-1 )+ (a 0 / x n )] = x  ±oo x  ±oo Lím x n.[ a n + 0] = a n (±oo) n = ± oo x  ±oo El signo del límite depende de si n es par o impar y del signo de a n FUNCIONES POLINÓMICAS

@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT4 Las funciones polinómicas de grado mayor que uno no presentan asíntotas de ningún tipo. Una función CUADRÁTICA es aquella cuyo desarrollo es un polinomio de 2º grado. f(x) = a.x 2 + b.x + c También lo podemos escribir así: f(x) = a.[x 2 + (b / a). x + (c / a)] f(x) = a.[ ( x + (b/2a) ) 2 + (c / a) – (b 2 / 4a 2 ) ] Resumiendo: Toda función de la forma f(x) = a.x 2 + b.x + c puede escribirse como f(x) = a.(x – k) 2 + h Siendo k y h las coordenadas del vértice de la parábola, FUNCIONES CUADRÁTICAS

@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT5 VÉRTICE DE LA PARÁBOLA Como todo punto tendrá dos coordenadas, x v e y v, abscisa y ordenada: V(x v, y v ) Siempre se cumple: x v = - b / 2.a  y v =a.x v 2 +b.x v + c EJE DE SIMETRÍA Es vertical y pasa por el vértice, luego su ecuación es x = x v PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES Si hacemos x=0  y = f (0) será el corte con el eje de ordenadas. Si hacemos f(x)=0  La solución de la ecuación a.x 2 +b.x + c = 0 nos dará los puntos de corte con el eje de abscisas, si los hay. TABLA DE VALORES Además de los ya calculados, vértice y cortes, dos o cuatro más de valor simétrico respecto al valor del vértice. GRÁFICA DE LA PARÁBOLA

@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT6 PROPIEDADES DOMINIO Sea la función f(x) = a.x 2 + b.x + c Como en cualquier función polinómica, para cualquier valor de x habrá un valor o imagen de y. El dominio de f(x) será R.  Dom f(x) = R RECORRIDO Recorrido o imagen son todos los posibles valores que puede tomar f(x), o sea la ordenada, y. La imagen de una función cuadrática sólo existe del vértice a +oo o del vértice a –oo, según sea cóncava o convexa. Img f(x) = (y v, + oo) en las funciones cuadráticas CÓNCAVAS. Img f(x) = (- oo, y v ) en las funciones cuadráticas CONVEXAS. SIMETRÍA Como su gráfica es una parábola, sólo puede tener simetría PAR: f(x) = f(-x)

@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT7 Sea y = x a=1>0  Cóncava Vértice: x= – b/2.a= – 0/2.1 = 0 y=0 2 – 2 = – 2 V=(0, – 2) Cortes con ejes: x = 0  y = – 2 Pc(0, – 2) y = 0  x 2 – 2 = 0  x = ±√2 Tabla: X -3 - √ √2 3 Y – x y Ejemplo gráfico 1

@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT8 Sea y = - 3.x a= – 3 <0  Convexa Vértice: x= – b/2.a= – 0/2.(–3) = 0 y= – = 5 V=(0, 5) Cortes con ejes: x = 0  y = 5 Pc(0, 5) y = 0  – 3x = 0  x = ±√(5/3) Tabla: X -3 - √5/3 0 √5/3 3 Y x y Ejemplo gráfico 2

@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT9 Sea y = x x a=1>0  Cóncava Vértice: x= – b/2.a= – (– 2) /2.1 = 2/2=1 y=1 2 – 2.1 = 1– 2= – 1 V=(1, – 1) Cortes con ejes: x = 0  y = 0 Pc(0, 0) y = 0  x 2 – 2.x = 0  x = 0, x = 2  Pc(0,0), Pc(0,2) Tabla: X Y x y Ejemplo gráfico 3

@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT10 Sea y = - x x a= – 1 <0  Convexa Vértice: x= – b/2.a= – 5/2.(–1) = 5/2 = 2,5 y= – 2, ,5 = – 6, ,5=6,25 V=(2,5, 6,25) Cortes con ejes: x = 0  y = 0  Pc(0, 0) y = 0  – x 2 + 5x = 0   x=0, x = 5)  Pc(0, 0), Pc(5, 0) Tabla: X ,5 5 7 Y , x y Ejemplo gráfico 4

@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT11 Ejemplo gráfico 5 Sea y = x x + 3 Vértice: V(-2,-1) Cortes con ejes: Pc(0, 3) Pc(-1, 0) y Pc(-3, 0) Puntos simétricos: x = - 5  y = 25 – = 8 P1( - 5, 8) x = 1  y = = 8 P1( 1, 8) x y 5

@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT12 Si tenemos una ecuación de la forma y = a.x 3 + b.x 2 + c.x + d, entonces podemos decir que es una función cúbica y la señalaremos así: f(x) = a.x 3 + b.x 2 + c.x + d Al ir dando valores a x, obtenemos diferentes valores de y, que llevados a un sistema de coordenadas cartesianas nos resulta siempre una curva en forma de “S”. La función cúbica, al igual que la cuadrática o la función lineal, forman parte de las llamadas funciones polinómicas, pues su característica principal es que su forma de expresión algebraica es un polinomio. Para representarla de forma gráfica, por ahora, estudiaremos de ella principalmente los puntos de corte con los ejes y el signo de la función. FUNCIÓN CÚBICA

@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT13 Sea y = x 3 Tabla de valores x y x y Como se ve al unir los puntos que hemos llevado al gráfico, lo que se forma es una curva en forma de “S”

@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT14 DOMINIO Sea la función f(x) = a.x 3 + b.x 2 + c.x + d Todo valor de x tiene su correspondiente imagen. El dominio de f(x) será: Dom f(x) = R RECORRIDO La imagen de una función cúbica, al igual que el dominio es R Se designa así: Img f(x) = R SIMETRÍA IMPAR Sea la función f(x) = a.x 3 + b.x 2 + c.x + d Veamos si hay simetría impar: f(-x) = a.(-x) 3 + b.(-x) 2 + c.(-x) + d f(-x) = - a.x 3 + b.x 2 – c.x + d Luego - f(-x) = a.x 3 - b.x 2 + c.x - d En las funciones cúbicas habrá simetría IMPAR si b=d=0

@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT15 Sea la función f(x) = a.x 3 + b.x 2 + c.x + d CORTES CON EL EJE Y Cortará al eje de ordenadas, Y, cuando x=0 Luego: y = a b c.0 + d = d El punto de corte será: Pc = (0, d) CORTES CON EL EJE X Cortará al eje de las x cuando y=0 Luego: 0=a.x 3 + b.x 2 + c.x + d  Ecuación de tercer grado. Las tres raíces de la ecuación, si existen, serán los puntos de corte de la función con el eje de las x. Al menos habrá una raíz real, y por tanto un punto de corte. Cortes: Pc = (x 1, 0), Pc = (x 2, 0), Pc = (x 3, 0) V Pc X Y

@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT16 Ejemplo 1 Sea la función: f(x) = x 3 –3x + 2 Cortes con ejes de coordenadas: Con OY: f(0) = 2  Pc(0,2) Con OX: 0 = x 3 –3x + 2 Factorizando por Ruffini: f(x) = (x + 2)(x – 1)(x – 1) Pc(-2, 0), Pc(1, 0), Pc(1, 0) Signo de la función (intervalos): En (-oo, -2)  f(-3)= =-16 < 0 En (-2, 1)  f(0) = 0 – 0 +2 =2 > 0 En (1, +oo)  f(2) = 8 – = 4 > 0 Y ya podemos hacer un esbozo de la función. Pc

@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT17 Ejemplo 2 Sea la función f(x) = - x 3 + 4x Cortes con ejes de coordenadas: Con OY: f(0) = 0  Pc(0,0) Con OX: 0 = - x 3 + 4x Factorizando el polinomio: f(x) = – x (x 2 – 4) = – x.(x + 2)(x – 2) Pc(0,0), Pc(-2, 0), Pc(2, 0) Signo de la función (intervalos): En (-oo, -2)  f(-3)= -(-27)-12 = 15 > 0 En (-2, 0)  f(-1) = -(-1) – 4 = -3 < 0 En (0, 2)  f(1) = = 3 > 0 En (2, +oo)  f(3) = = -15 < 0 Y ya podemos hacer un esbozo de la función. Pc

@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT18 Ejemplo 3 Sea la función: f(x) = 8 – x 3 Cortes con ejes de coordenadas: Con OY: f(0) = 8  Pc(0,8) Con OX: 0 = 8 – x 3 Factorizando por Ruffini: f(x) = (x – 2).(– x 2 – 2.x – 4) Pc(2, 0) Signo de la función (intervalos): En (-oo, 2)  f(0) = 8 > 0 POSITIVO En (2, +oo)  f(3) = 8 – 27 = – 19 < 0 NEGATIVO Y ya podemos hacer un esbozo de la función. Pc