Propiedades 𝑎 𝑏 = 𝑐 𝑥 3) Cuarta proporcional: Se llama cuarta proporcional de tres cantidades a,b,c, a un valor x, que se cumple la siguiente condición. 𝑎 𝑏 = 𝑐 𝑥

Ejemplos: Hallar la cuarta proporcional a los números a,b y c. a = 2 , b = 4 , c = 8 a = 3 , b = 6 , c = 9

Ejercicios : Hallar la cuarta proporcional a los números a,b y c. a = 4 , b = 8 , c = 10 a = 3 , b = 10 , c = 4 a = 3 , b = 4 , c = 9

Propiedades 𝑎 𝑏 = 𝑏 𝑥 4) Tercera proporcional: Se llama tercera proporcional a dos cantidades a y b, a un valor x, que se cumple la siguiente condición. 𝑎 𝑏 = 𝑏 𝑥

Ejemplos: Hallar la tercera proporcional a los números a y b. a = 4 , b = 6 a = 2 , b = 12

Ejercicios : Hallar la tercera proporcional a los números a y b. a = 4 , b = 16 a = 8 , b = 18 a = 6 , b = 30

Propiedades 𝑎 𝑥 = 𝑥 𝑏 5) Media proporcional: Se llama media proporcional a dos cantidades a y b, a un valor x, que se cumple la siguiente condición. 𝑎 𝑥 = 𝑥 𝑏

Ejemplos: Hallar la media proporcional a los números a y b. a = 9 , b = 4 a = 4 , b = 6

Ejercicios : Hallar la media proporcional a los números a y b. a = 4 , b = 16 a = 8 , b = 18 a = 6 , b = 30

Propiedades 𝑎 𝑏 = 𝑐 𝑑 → 𝑎 ±𝑐 𝑏 ±𝑑 = 𝑎 𝑏 = 𝑐 𝑑 6) “En toda proporción, la suma o diferencia de los antecedentes, es a la suma o diferencia de los consecuentes como cada antecedente es a su consecuente” 𝑎 𝑏 = 𝑐 𝑑 → 𝑎 ±𝑐 𝑏 ±𝑑 = 𝑎 𝑏 = 𝑐 𝑑

Propiedades 7) “En toda proporción, la suma o diferencia del antecedente y consecuente de la primera razón es a su antecedente o consecuente, como la suma o diferencia del antecedente y consecuente de la segunda razón es a su antecedente o consecuente”

𝑎 𝑏 = 𝑐 𝑑 → 𝑎 ±𝑏 𝑎 = 𝑐 ±𝑑 𝑐 𝑎 𝑏 = 𝑐 𝑑 → 𝑎 ±𝑏 𝑏 = 𝑐 ±𝑑 𝑑

Ejemplos : Hallar los dos números sabiendo su suma (S) y su razón (r). S = 6 , r = 1 2 S = 8 , r = 3 5

Ejercicios : Hallar los dos números sabiendo su suma (S) y su razón (r). S = 12 , r = 1 2 S = 36 , r = 1 3

𝑎+𝑐+𝑑+… 𝑏+𝑑+𝑓+… = 𝑎 𝑏 = 𝑐 𝑑 = 𝑒 𝑓 = … Propiedades 8) Dada una serie de razones 𝑎 𝑏 = 𝑐 𝑑 = 𝑒 𝑓 = …, se cumple que :”La suma de todos los antecedentes es a la suma de todos los consecuentes como un antecedente cualquiera es a su consecuente “ 𝑎+𝑐+𝑑+… 𝑏+𝑑+𝑓+… = 𝑎 𝑏 = 𝑐 𝑑 = 𝑒 𝑓 = …

Ejemplos : Es necesario cortar tres partes de un alambre de 520 mm de largo, de modo que la razón de las longitudes sea 6:4:3. ¿Cuánto debe medir cada trozo de alambre ?

Ejercicio: Calcula los lados de un triángulo sabiendo su perímetro (P) y que los lados son proporcionales a los números dados . P = 18 y lados proporcionales a 4:6:8

Proporcionalidad directa Dos variables están en proporcionalidad directa si su cociente permanece constate : x e y están en proporcionalidad directa → 𝑥 𝑦 =𝑘

Proporcionalidad directa Gráfico y x

Ejemplo: Un vehículo en carretera tiene un rendimiento de 16 km por cada litro de bencina. ¿Cuántos litros de bencina consumirá en un viaje de 192 km?

Proporcionalidad inversa Dos variables están en proporcionalidad inversa si su producto permanece constate : x e y están en proporcionalidad inversa →𝑥∙𝑦=𝑘

Proporcionalidad directa Gráfico y x

Ejemplo: Tres obreros demoran 5 días en hacer una zanja. ¿Cuánto demorarán 4 obreros?

Proporcionalidad compuesta La proporcionalidad compuesta permite relacionar variables mediante proporcionalidad directa y/o proporcionalidad inversa

Ejemplo: Se necesitan 20 obreros para pavimentar 2 km de camino en 5 días. ¿Cuántos obreros pavimentarán 5 km en 10 días?

Porcentaje El símbolo % significa tantas partes por cada 100. En consecuencia, 6% significa “6 partes de 100”, es decir 6 100 = 0,06 que es su equivalente decimal(tanto por uno). Para calcular porcentajes podemos usar la siguiente relación 𝑃=𝑟∙𝑁↔𝑃= 𝑟∙𝑁 100

Ejemplos: a) Hallar el 15% de 32 b) Hallar el 1 8 % de 96

Ejercicios: Hallar: 18% de 72 35% de 180 4% de 1 50

Porcentaje Hallar un número cuando se conoce un tanto por ciento de el 𝑃= 𝑟∙𝑁 100 →𝑁= 𝑃 ∙100 𝑟

Ejemplos: a) ¿ De que número es 46 el 23%? b) ¿Cuál es el número cuyos 3 4 % es 21?

Ejercicios: ¿ De que número es 35 el 5% ? 60 el 90% ? 40 el 1 8 % ?

Porcentaje Dados dos números, averiguar que tanto por ciento es uno del otro 𝑃= 𝑟∙𝑁 100 →𝑟= 𝑃 ∙100 𝑁

Ejemplos: a) ¿ Qué % de 8400 es 2940? b) 6 2 5 ¿Qué % es de 16?

Ejercicios: ¿ Qué % de 860 es 129 ? 95 es 30,4 ? 1 2 es 1 4 ?