Operaciones con funciones Plantel “Ignacio Ramírez Calzada” de la Escuela Preparatoria Operaciones con funciones Lorenzo Contreras Garduño Nivel Medio Superior Cálculo Diferencial e Integral Sep. 2015 Cuarto semestre

Curso de Cálculo Esta presentación contiene animaciones con el propósito de favorecer el proceso de aprendizaje de los estudiantes. Pulsa la tecla F5 para activar el modo de presentación en pantalla completa y activar las animaciones. Lorenzo Contreras G.

PROPÓSITO GENERAL Desarrollar en el estudiante las competencias necesarias para aplicar diferentes formas de razonamiento al reconocer, definir y resolver problemas que involucren los elementos principales del Cálculo Diferencial e Integral, buscando desarrollar y ampliar la comprensión y utilización del lenguaje matemático estableciendo relaciones con otras disciplinas del conocimiento.

MÓDULO I Funciones Propósito: El alumno desarrolla habilidades, destrezas y actitudes para conocer y emplear las funciones su clasificación y operaciones.

MÓDULO I Funciones Competencias de la Dimensión Piensa de manera flexible, analítica y crítica al definir estrategias para la solución de problemas, la toma de decisiones y el análisis de la realidad.

MÓDULO I Funciones Competencias de la Dimensión Aplica conscientemente diferentes formas de razonamiento al reconocer un problema y definirlo; al hacer una reflexión crítica a partir de las preguntas que se plantea; al poner a prueba sus ideas, juicios, conceptos o respuestas; al desarrollar diversas estrategias para investigar, sistematizar, representar, comprender, analizar y aplicar información, y al controlar y evaluar el proceso seguido.

MÓDULO I Funciones Competencias Disciplinarias 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos y geométricos para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

MÓDULO I Funciones Competencias Disciplinarias 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

MÓDULO I Funciones Competencias Disciplinarias 5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para representar su comportamiento.

MÓDULO I Funciones Competencias Genéricas 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.

Antecedentes En Aritmética, estudiamos números; ahí se establecieron seis operaciones. Suma Resta Multiplicación División potenciación y Radicación 2+3 Ejemplo: 2 - 3 2 x 3 2 / 3

Antecedentes En Álgebra, estudiamos expresiones algebraicas y también se establecieron estas mismas seis operaciones. Ejemplo:

En Cálculo Se estudian las funciones Con las funciones, se establecen seis operaciones básicas. La suma de funciones La resta de funciones La multiplicación de funciones La división de funciones 5. La inversa de una función 6. La composición de funciones

Selecciona la operación deseada Suma, resta, multiplicación y división de funciones Inversa de una función Composición de funciones

Suma, Resta, Multiplicación y División de funciones Iniciamos el estudio con las cuatro operaciones donde su concepto está basado en las operaciones del Aritmética y el Álgebra. Para efectuar estas cuatro operaciones, primero debemos identificar sus dominios, esto es: Sí F y G son dos funciones, debemos obtener sus dominios Df y Dg

Suma, Resta, Multiplicación y División de funciones Las cuatro operaciones iniciales son: Suma de funciones F + G Resta de funciones F – G Multiplicación de funciones F x G División de funciones F / G Al efectuar cada una de éstas operaciones, el resultado es otra función.

Suma, Resta, Multiplicación y División de funciones El dominio de la nueva función, está determinado por la intersección de los dominios de las dos funciones. Esto es: Df ∩ Dg Una vez que se ha obtenido la intersección del dominio de las dos funciones, se procede a efectuar la operación correspondiente.

Dado que una función se puede expresar mediante el conjunto de pares ordenados que la forman o mediante su regla de correspondencia que la determina; se presenta el estudio de la suma, resta, multiplicación y división de funciones en las dos formas.

Suma, Resta, Multiplicación y División de funciones Considerando que una función está formada por un conjunto de pares ordenados de la forma ( x, y ). Para las operaciones de suma, resta, multiplicación y división: x corresponde al dominio. Se obtiene con la intersección de los dominios de las dos funciones. y se obtiene sumando, restando, multiplicando o dividiendo los segundos elementos de los pares ordenados de las dos funciones.

Obtenemos: F + G, F – G, F x G, y F / G Curso de Cálculo Dadas las funciones: F = { (- 2, 4), (- 1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9) } y G = { (- 3, - 8), (- 2, - 6), (-1, - 4), (0, - 2), (1, 0),} Ejemplo Obtenemos: F + G, F – G, F x G, y F / G Primero determinamos el dominio de cada función El dominio de F es: Df = { -2, -1, 0, 1, 2, 3 } El dominio de G es: Dg = { -3, -2, -1, 0, 1 } Su intersección es: Df ∩ Dg = { -2, -1, 0, 1 } Enseguida efectuamos en forma simultanea las cuatro operaciones para los valores de x igual a -2, -1, 0 y 1 con el apoyo de una tabla . Lorenzo Contreras G.

Continuación x - 3 - - - - 8 - 2 4 - 6 -2 10 - 24 - 2 / 3 - 1 1 - 4 -3 Realizamos las cuatro operaciones en una tabla que contiene: una columna para los valores de x, una para y = f(x), otra para y = g(x) y una columna para cada operación. x y = f (x) y = g (x) y = f (x) + g (x) y = f (x) - g (x) y = f (x) x g (x) - 3 - - - - 8 - 2 4 - 6 -2 10 - 24 - 2 / 3 - 1 1 - 4 -3 5 - 1 / 4 2 No E 3 9

Continuación x - 3 - - - - 8 - 2 4 - 6 -2 10 - 24 - 2 / 3 - 1 1 - 4 -3 Realizamos las cuatro operaciones en una tabla que contiene: una columna para los valores de x, una para y = f(x), otra para y = g(x) y una columna para cada operación. x y = f (x) y = g (x) y = f (x) + g (x) y = f (x) - g (x) y = f (x) x g (x) - 3 - - - - 8 - 2 4 - 6 -2 10 - 24 - 2 / 3 - 1 1 - 4 -3 5 - 1 / 4 2 No E 3 9

Continuación x - 3 - - - - 8 - 2 4 - 6 -2 10 - 24 - 2 / 3 - 1 1 - 4 -3 Realizamos las cuatro operaciones en una tabla que contiene: una columna para los valores de x, una para y = f(x), otra para y = g(x) y una columna para cada operación. x y = f (x) y = g (x) y = f (x) + g (x) y = f (x) - g (x) y = f (x) x g (x) - 3 - - - - 8 - 2 4 - 6 -2 10 - 24 - 2 / 3 - 1 1 - 4 -3 5 - 1 / 4 2 No E 3 9

Continuación x - 3 - - - - 8 - 2 4 - 6 -2 10 - 24 - 2 / 3 - 1 1 - 4 -3 Realizamos las cuatro operaciones en una tabla que contiene: una columna para los valores de x, una para y = f(x), otra para y = g(x) y una columna para cada operación. x y = f (x) y = g (x) y = f (x) + g (x) y = f (x) - g (x) y = f (x) x g (x) - 3 - - - - 8 - 2 4 - 6 -2 10 - 24 - 2 / 3 - 1 1 - 4 -3 5 - 1 / 4 2 No E 3 9

Continuación x - 3 - - - - 8 - 2 4 - 6 -2 10 - 24 - 2 / 3 - 1 1 - 4 -3 Realizamos las cuatro operaciones en una tabla que contiene: una columna para los valores de x, una para y = f(x), otra para y = g(x) y una columna para cada operación. x y = f (x) y = g (x) y = f (x) + g (x) y = f (x) - g (x) y = f (x) x g (x) - 3 - - - - 8 - 2 4 - 6 -2 10 - 24 - 2 / 3 - 1 1 - 4 -3 5 - 1 / 4 2 No E 3 9

Continuación x - 3 - - - - 8 - 2 4 - 6 -2 10 - 24 - 2 / 3 - 1 1 - 4 -3 Realizamos las cuatro operaciones en una tabla que contiene: una columna para los valores de x, una para y = f(x), otra para y = g(x) y una columna para cada operación. x y = f (x) y = g (x) y = f (x) + g (x) y = f (x) - g (x) y = f (x) x g (x) - 3 - - - - 8 - 2 4 - 6 -2 10 - 24 - 2 / 3 - 1 1 - 4 -3 5 - 1 / 4 2 No E 3 9

Continuación x - 3 - - - - 8 - 2 4 - 6 -2 10 - 24 - 2 / 3 - 1 1 - 4 -3 Realizamos las cuatro operaciones en una tabla que contiene: una columna para los valores de x, una para y = f(x), otra para y = g(x) y una columna para cada operación. x y = f (x) y = g (x) y = f (x) + g (x) y = f (x) - g (x) y = f (x) x g (x) - 3 - - - - 8 - 2 4 - 6 -2 10 - 24 - 2 / 3 - 1 1 - 4 -3 5 - 1 / 4 2 No E 3 9

Continuación x - 3 - - - - 8 - 2 4 - 6 -2 10 - 24 - 2 / 3 - 1 1 - 4 -3 Realizamos las cuatro operaciones en una tabla que contiene: una columna para los valores de x, una para y = f(x), otra para y = g(x) y una columna para cada operación. x y = f (x) y = g (x) y = f (x) + g (x) y = f (x) - g (x) y = f (x) x g (x) - 3 - - - - 8 - 2 4 - 6 -2 10 - 24 - 2 / 3 - 1 1 - 4 -3 5 - 1 / 4 2 No E 3 9

En la tabla anterior se puede apreciar el porqué se debe identificar la intersección de los dominios de las dos funciones antes de efectuar las operaciones correspondientes entre ellas. Con base en los resultados obtenidos, se escriben las funciones en su notación de conjuntos. F + G = { (-2, -2), ( -1, -3), ( 0, -2), (1, 1) } F – G = {-2, 10), ( -1, 5), ( 0, 2), (1, 1) } F x G = {-2, -24), ( -1, -4), ( 0, 0), (1, 0) } = {-2, - 2 / 3), ( -1, - 1 / 4), ( 0, 0), (1, No E) }

Mostramos el proceso para graficar la suma de F + G las restantes se grafican en forma similar. Primero se traza la grafica de las funciones F y G localizando en el plano cartesiano cada punto que las define. Grafica de F Grafica de G

La gráfica de F + G también se puede obtener localizando todos los puntos que resultan en el plano cartesiano. Sin embargo, existe otro método para trazar la grafica de una operación a partir de las gráficas de las funciones originales. El método para trazar la gráfica de F + G consiste en: Se dibuja la grafica de F. Se dibuja la gráfica de G. Para cada x que pertenece a la intersección de ambos dominios, se suman las ordenadas de ambas funciones. Esto es, ubicamos en el plano la ordenada del punto de F y le sumamos la ordenada de G.

Gráfica de F + G A partir del punto amarillo, se suma en forma vertical la ordenada del punto azul y se obtiene la ordenada de F+ G (punto café) +4 Se fue repitiendo el proceso para cada punto (valor de x) =-2 -6

Ahora se presenta el proceso para realizar las cuatro operaciones cuando las funciones están dadas mediante una regla de correspondencia

Suma, Resta, Multiplicación y División de funciones Dadas las funciones F y G expresadas por su regla de correspondencia: F = { ( x, y ) | y = f ( x ) } G = { ( x, y ) | y = g ( x ) } con dominios Df y Dg respectivamente F + G = { ( x, y ) | y = f ( x ) + g ( x ) } F – G = { ( x, y ) | y = f ( x ) - g ( x ) } F x G = { ( x, y ) | y = f ( x ) x g ( x ) } = { ( x, y ) | } con g ( x ) ≠ 0 Se definen las operaciones: Donde para cada función resultante: D = Df ∩ Dg

Intersección de los dominios Ejemplo Obtenemos la suma, resta, multiplicación y división de las siguientes funciones Para Para x > 0 Primero hacemos una representación grafica para obtener la intersección de los dominios Dominio de F Dominio de G -3 3 Intersección de los dominios

Obtenemos la suma, resta, multiplicación y división de las siguientes funciones Para Para x > 0 Por lo tanto el dominio de las cuatro operaciones es Enseguida, realizamos la operación correspondiente con las funciones de x para obtener cada y.

Las operaciones resultan El dominio de cada una de ellas es:

Regresar al menú principal S a l i r

La inversa de una función

Antecedentes En el estudio de números, expresiones algebraicas, expresiones trascendentes, etc. para cada operación se tiene una inversa. Por ejemplo: La inversa de la suma es la resta La inversa del producto es la división La inversa de la potencia es la raíz La inversa de una exponencial es un logaritmo La inversa de la tangente es el arco tangente etc.

En el estudio de números, expresiones algebraicas, expresiones trascendentes, etc. para cada operación se tiene una inversa. En forma similar, una función tiene una inversa que también puede ser una función y se denota por F*. Para que la inversa de una función sea también función, debe ser inyectiva.

Función inyectiva Una función se dice que es inyectiva, cuando no se repiten los segundos elementos de sus pares ordenados. Por ejemplo, la función F = { (-1, 1), ( 0, 0), (1, 1 ) } No es inyectiva porque se repite el 1 como segundo elemento.

Función inyectiva Sí al trazar una recta horizontal, corta en dos o más puntos a una gráfica, entonces la función no es inyectiva; esto es, para que la función sea inyectiva, la recta horizontal debe cortar a la gráfica en un solo punto. Función inyectiva Función NO inyectiva

( x, y ) Inversa de una función Es una nueva función que se obtiene al intercambiar los elementos de cada uno de sus pares ordenados. ( x, y ) El dominio de la función será el rango de la inversa y el rango de la función será el dominio de la inversa.

Inversa de una función Ejemplo: Obtenemos la inversa de la función Al intercambiar los elementos de los pares ordenados, se determina la inversa de la función, esto es: F * = { ( -1, -1), (1, 0 ), ( 3, 1), ( 5, 2), ( 7, 3) }

En el siguiente plano se muestran ambas gráficas, es decir, la gráfica de F y la gráfica de F*; además incluimos una grafica adicional que corresponde a la función y = x que representa un eje de simetría entre ambas funciones. y = x F F *

Conclusión Cuando la función está representada por los pares ordenados que la forman, obtener la inversa es muy sencillo. El proceso consiste en invertir sus elementos de los pares ordenado que la determinan.

Analizamos el segundo caso en el cual la función se expresa mediante su regla de correspondencia. Utilizamos el siguiente procedimiento: La regla de correspondencia de la inversa la obtenemos al intercambiar “x” por “y” y “y” por “x” Al intercambiar los elementos en la regla de correspondencia, aparece despejada la “x”, por lo que debemos despejar la variable “y” para expresar la regla de correspondencia en la forma acostumbrada ( ).

ejemplo Obtenemos la inversa de la función F = { ( x, y ) | y = 2x + 1 } La regla de correspondencia de F es: y = 2x + 1 intercambiado “x” por “y” y “y” por “x” x = 2y + 1 corresponde a la regla de correspondencia de la inversa de F -2 y = - x + 1 2y = x - 1 Despejamos y Finalmente expresamos la inversa en la forma acostumbrada, esto es:

Gráfica de la función inversa Para trazar la grafica de la función inversa de una forma diferente a la tradicional. (la forma tradicional es tabular con la regla de correspondencia de la función inversa, ubicar los puntos en el plano y trazar la gráfica) Se traza la grafica de F Se traza la recta y = x Se refleja la grafica de F sobre la recta y = x obteniéndose la gráfica de F*

Gráfica de la función inversa Recta y = x Gráfica de F Para reflejar la gráfica de F sobre la recta y = x Tomaremos segmentos de recta que van de la gráfica de F a la recta Los segmentos son perpendiculares a la recta y = x

Se miden o colocan esos segmentos del otro lado de la recta y se obtiene la grafica de F* Gráfica de F*

Dejamos únicamente la grafica de F* en el plano

Las tres gráficas en un mismo plano, muestran como la recta y = x forma un eje de simetría entre ambas gráficas. Gráfica de F* Recta y = x Gráfica de F

Regresar al menú principal S a l i r

Composición de funciones

Notación Dadas las funciones F y G con reglas de correspondencia y = f ( x ) y y = g ( x ) La composición de F con G se denota mediante las dos formas siguientes: Se lee: F composición G o también: F de G Se lee: F composición G o también: f de g de x

Interpretación f (2) = 2(3) – 1 = 5 Para efectos de entender ésta operación, diremos que la composición de funciones es equivalente al proceso que realizamos al calcular el valor de una función en un determinado valor de x. Por ejemplo: Para la función f (x) = 3x -1 en x = 2 su valor es: f (2) = 2(3) – 1 = 5 La diferencia con la composición, es que en lugar de números (como en este caso el 2) usaremos otra función.

ejemplo Obtenemos la composición de F con G para las funciones y Iniciamos escribiendo la notación de esta operación, esto es: Ahora sustituimos la función G en la función F, esto es: Enseguida, realizamos la sustitución de (3x + 1) en cada x que contiene la función F, esto es:

ejemplo Obtenemos la composición de F con G para las funciones y Realizamos las operaciones indicadas, en este caso, se eleva el binomio al cuadrado y le sumamos 5. Por último, escribimos la función en la forma de conjuntos.

Regresar al menú principal S a l i r

F i n