Apuntes de Matemáticas 3º ESO U.D. 5 * 3º ESO E.AC. Ecuaciones @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Aplicaciones en la Cinemática U.D. 5.9 * 3º ESO E.AC. Aplicaciones en la Cinemática @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Resolución de PROBLEMAS La cinemática (del griego κινεω, movimiento) es la rama de la física que estudia las leyes del movimiento de los cuerpos sin considerar las causas que lo originan (las fuerzas). Movimiento rectilíneo uniforme (MRU) En este movimiento la velocidad permanece constante y no hay una variación de la aceleración (a) en el transcurso del tiempo. Siendo la velocidad v constante, la posición variará linealmente respecto del tiempo, según la ecuación: e = eo + v.t, que es una ecuación de primer grado. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) En este movimiento la aceleración es constante, por lo que la velocidad de móvil varía linealmente y la posición varía cuadráticamente con tiempo. Las ecuaciones que rigen este movimiento son las siguientes: v = vo + a.t, que es una ecuación de primer grado. e = eo + vo.t + ½ a.t2, que es una ecuación de segundo grado. La incógnita matemática, x, equivale en Cinemática al tiempo, t. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Gráficas MRUA (Parábola) MRU (Recta) @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO PROBLEMAS RESUELTOS EJEMPLO_1 Un tren se dirige a velocidad constante de 72 km/h hacia una estación, alejada 5 km, en la que no hace parada. Tomando la estación como sistema de referencia, calcula: a) Posición del tren a los dos minutos. b) Tiempo que tarda en pasar por la estación. Tipo de movimiento: MRU (se mueve a velocidad constante). Datos iniciales: v = 72 km/h = 20 m/s; e0 = - 5 km = - 5000 m Ecuación de movimiento: e = e0 + v0.t a) A los dos minutos (t = 2 min = 120 s), la posición del tren es e = −5000 + 20 ⋅ t = −5000 + 20 ⋅120 = −2600 m (faltan 2600 m para llegar) b) Cuando pasa por la estación, la posición del tren es e = 0 m. Sustituimos ese valor en la ecuación de movimiento. e = −5000 + 20 ⋅ t → 0 = −5000 + 20 ⋅ t → t = 250 s tarda en pasar. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO EJEMPLO_2 Dos ciclistas parten de dos pueblos separados 10 km. Circulan por la misma carretera, pero en sentidos opuestos. El primero va a 36 km/h. El segundo circula a 27 km/h, y sale un minuto después que el primer ciclista. Calcula el tiempo que tardan en encontrarse ambos ciclistas y en qué punto de la carretera se cruzan. Datos: Móvil 1: e0 = 0, v = 36 km/h = 10 m/s , t 0 = 0 s. Datos: Móvil 2: e0 = 10 km = 10000 m, v = - 27 km/h = -7,5 m/s, t 0 = 60 s. Cuando se cruzan ambos ciclistas, se encuentran en el mismo punto, es decir, en la misma posición: e 1 = e 2  10.t = 10000 – 7,5.( t – 60 )  10.t = 10000 – 7,5.t + 450   10.t = 10450 – 7,5.t  17,5.t = 10450  t = 10450/17,5 = 597,14 s e 1 = 10.t = 10.597,14 = 5971,4 m. v1= 36 km/h v2=27 km/h t1 = t t2 = t – 60 10 km @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO EJEMPLO_3 Un coche que circula a 108 km/h frena, deteniéndose en 5 s. Calcula la distancia que recorre hasta que se para. Datos iniciales: vo = 108 km/h = 30 m/s, eo = 0 m, a = ?, to = 0 s. Ecuación de la velocidad: v = vo + a.t  0 = 30 + a. 5  a = – 30 / 5 = – 6 Ecuación de movimiento: e = eo + vo.t + ½ a.t2 e = 0 + 30.5 + ½ (– 6) .52 = 150 – 3.25 = 150 – 75 = 75 m @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO EJEMPLO_4 Un coche que lleva una velocidad de 144 km/h, frena; y después de recorrer 160m se para. Calcular: a)La aceleración, supuesta constante. b)Tiempo invertido por el móvil en el frenado. Datos iniciales: vo = 144 km/h = 40 m/s, eo = 0 m, a = ?, to = 0 s. Ecuación de movimiento: e = eo + vo.t + ½ a.t2  e = 40.t + ½ a.t2 Ecuación de la velocidad: v = vo + a.t  v = 40 + a. t Cuando se para ha recorrido 160 m: 160 = 40.t + ½ a.t2 0 = 40 + a. t Que es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (a y t) que resolveremos en la siguiente Unidad Didáctica. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO EJEMPLO_5 Desde una azotea de 15 m de altura lanzamos hacia abajo una piedra con una velocidad de 8 m/s. Despreciando el rozamiento con el aire, calcula: a) Tiempo que tarda en llegar al suelo. b) Velocidad en el momento de llegar al suelo. Datos iniciales: vo = – 8 m/s , eo = 15 m, a = – 10 m/s2 ?, to = 0 s. Ecuación de la velocidad: v = vo + a.t  v = – 8 – 10.t Ecuación de movimiento: e = eo + vo.t + ½ a.t2  e = 15 – 8.t – 10.t2 Al llegar al suelo se para, luego e = 0 0 = 15 – 8.t – 10.t2  10.t2 + 8.t – 15 = 0 Resolviendo la ecuación de segundo grado: t = [ – 8 ± √(64 – 4.10.( - 15))] / 2.10 = [ – 8 ± 25,77] / 20 = 1,11 s. La otra solución, al ser negativa, no tiene validez. v = – 8 – 10.t = v = – 8 – 10.1,11 = – 8 – 11,1 = – 19,1 m/s @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO