UPC DETERMINANTES TÓPICOS DE MÁTEMATICA 1 MA112 EPE Tema : Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas Laureate International Universities* TÓPICOS DE MÁTEMATICA 1 MA112 EPE UPC Tema : DETERMINANTES

HABILIDADES: 1.Describe el concepto de determinante a partir de su definición. 2. Describe las propiedades más importantes de la función determinante. 3. Explica la relación entre el valor del determinan- te de una matriz cuadrada y su singularidad.

Hace aproximadamente 2000 años que los INTRODUCCIÓN: Hace aproximadamente 2000 años que los matemáticos chinos conocian bien el concepto de determinante. Habían encontrado una relación entre los coeficientes de sistemas de ecuaciones lineales y la solución de dichos sistemas. En el mundo occidental, los determinantes fueron empleados primeramente por Gottfried Wilhen Leibniz en 1693.

Sea A una matriz de orden n , si n=1 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DETERMINANTE DE LA MATRIZ DE 1x1 Sea A una matriz de orden n , si n=1 se tiene: A=[a], det A= a DETERMINANTE DE LA MATRIZ DE 2X2 Se llama determinante de la matriz A de orden 2 al número a11.a22-a12.a21 y escribimos:

Determinante de una matriz de orden 3 En el caso de matrices cuadradas de orden 3, también podemos calcular el determinante de la siguiente manera: Copie la primera y segunda columna de la matriz a su derecha: + -

Ejercicios 1. Evalúe el determinante de las siguientes matrices: 2. Para que valor de a el determinante es cero:

MENOR DE UNA MATRIZ Si A es una matriz de orden nxn, se llama ij- ésimo menor de A a la matriz: Mij de orden (n-1)x(n-1) que se obtiene al eliminar la fila i y la columna j de A.

Cofactor Sea A una matriz de orden n>1. Se define el cofactor correspondiente al elemento ai,j , que se denota por Ai,j , como el número dado por: observemos que los menores Mi,j son matrices de orden (n-1)

Determinante Sea A=(aij ) una matriz de orden n>1. Se define el determinante de A , que se denota por det(A) ó |A|, como el número: que se denomina desarrollo por los cofactores de la primera fila. Recuerde que: Este desarrollo se puede aplicar a cualquier fila o columna de la matriz

Ejercicios Evalúe el determinante de las siguientes matrices:

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 1. Determinante de la transpuesta Si A es cualquier matriz cuadrada, entonces: det(A)= det(A ) t 2. Si B se obtiene INTERCAMBIANDO dos filas de A, entonces el determinante cambia de signo: det B = - det A (OPERACIÓN ELEMENTAL 1) 3. Si B se obtiene MULTIPLICANDO una fila de A por el escalar c, entonces el determinante queda multiplicado por c. det B = c (det A) (OPERACIÓN ELEMENTAL 2)

4. Si B se obtiene sumando a una fila de A un múltiplo de otra fila de A, entonces el determinante no se altera det B = det A (OPERACIÓN ELEMENTAL 3) 5. Determinante de una matriz triangular El determinante de una matriz triangular está dado por el producto de los elementos de su diagonal.

Si A es no singular, entonces det(A) 0, y : = 6. Determinante de la inversa Si A es no singular, entonces det(A) 0, y : = Es decir una matriz tiene inversa si su determinante es diferente de cero. Si el determinante de una matriz es cero , la matriz no tiene inversa.