Apuntes de Matemáticas 3º ESO GRÁFICAS Y FUNCIONES U.D. 11 * 3º ESO E.AC. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

SIMETRÍAS EN LAS FUNCIONES U.D. 11.9 * 3º ESO E.AC. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO SIMETRÍAS Sea la función y = f(x). Si se cumple que f(x) = f(-x)  Hay SIMETRÍA PAR Significa que la función es simétrica respecto al eje de ordenadas , eje Y. O sea que el eje de las y es eje de simetría de la función. Si se cumple que f(x) = - f(-x)  Hay SIMETRÍA IMPAR Significa que la función es simétrica respecto al origen de coordenadas, el (0 , 0). O sea que lo dibujado en el primer cuadrante es idéntico a lo del tercer cuadrante. ¡Atención! No existe simetría respecto al eje de abscisas, eje de las x. Si una gráfica la presentara, no sería de una función. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplos Ejemplo 1: Sea la función f(x) = x2 Como x2 = (-x) 2 , entonces f(x) = f(-x)  Hay simetría PAR Ejemplo 2: Sea la función f(x) = x3 Como x3 = - (-x) 3 , entonces f(x) = - f(-x)  Hay simetría IMPAR @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo 3: Sea y = x2 - 2 Tabla de valores x y -3 9 – 2 = 7 -2 4 – 2 = 2 -1 1 – 2 = - 1 0 0 – 2 = - 2 1 1 – 2 = - 1 2 4 – 2 = 2 3 9 – 2 = 7 Vemos que presenta una simetría par: f(x) = f(-x) x2 - 2 = (-x)2 - 2 y 7 2 -3 -2 -1 0 1 2 3 - 1 - 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo 5: Sea f(x) = - x3 + 4x Tabla de valores x y -3 27 – 12 = 15 -2 8 – 8 = 0 -1 1 – 4 = – 3 0 – 0 + 0 = 0 1 – 1 + 4 = 3 2 – 8 + 8 = 0 3 – 27 + 12 = – 15 Vemos que presenta una simetría impar: f(x) = – f(– x) – x3 + 4.x = – [– (– x)3 + 4.(– x)] – x3 + 4.x = – [– (– x3) – 4.x)] – x3 + 4.x = – [x3 – 4.x)] - 3 -2 - 1 0 1 2 3 x @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo 6: Sea f(x) = 4 / x Tabla de valores x y = f(x) - 4 - 4/4 = - 1 - 3 - 4/3 = - 1,33 - 2 - 4/2 = - 2 -1 - 4/1 = - 4 0 4 / 0 = NO EXISTE 1 4 / 1 = 4 2 4 / 2 = 2 3 4 / 3 = 1,33 4 4 / 4 = 1 Vemos que presenta una simetría impar: f(x) = – f(– x) 4 / x = – [4 / (– x)] = 4 / x y - 4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo 8 Sea f(x) = x /(x2 + 1) Dom f(x) = R Tabla de valores x y=f(x) -3 -0,30 -2 -0,40 -1 -0,50 0 0 1 0,50 2 0,40 3 0,30 Vemos que es función impar: f(x) = - f(-x) x /(x2 + 1) = - [(-x) /((-x)2 + 1)] x /(x2 + 1) = - [- x /(x2 + 1)] y -1 -0,5 0,5 1 -2 -1 0 1 2 x @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO RESUMEN DE SIMETRÍAS Las funciones lineales NUNCA tienen simetría par. Las funciones lineales SIEMPRE tienen simetría impar. Las funciones afines NUNCA tienen simetría par. Las funciones afines NUNCA tienen simetría impar. Las funciones cuadráticas SÓLO tienen simetría par si el vértice es un punto del eje de ordenadas OY. Las funciones cuadráticas NUNCA tienen simetría impar. Las funciones cúbicas NUNCA tienen simetría par. Las funciones cúbicas SÓLO tienen simetría impar si presentan la siguiente expresión: F(x) = a.x3 + b.x Las funciones inversas NUNCA tienen simetría par. Las funciones inversas SÓLO tienen simetría impar si F(x) = a / x @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO FUNCIONES PERIÓDICAS PERIODICIDAD Una función y = f(x) decimos que es periódica cuando su forma y valores se repiten a intervalos iguales. La longitud del intervalo es lo que llamamos periodo, P. Si se cumple que f(x) = f(x + n.P), siendo n un número entero ( 1, 2, 3, … ) Entonces la función es periódica y de periodo P. Ejemplos de funciones periódicas Con periodo t = 1 año, podían ser los consumos de agua, luz o gas en una vivienda, aunque sea de forma aproximada. No así lo que pagamos mes a mes por dicho consumo, al varias las tarifas casi todos los años. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo 1 La noria. 5mn 10 mn 5 mn 5 mn 5mn 10 mn 5 mn 5 mn P = 25 mn P = 25 mn En una atracción de feria la noria de detiene 5 minutos para coger pasajeros. Durante otros 10 minutos se velocidad va aumentando. Durante otros 5 su velocidad se mantiene alta Y por último durante otros 5 minutos su velocidad disminuye hasta pararse. Este proceso es periódico, pues se repite cada 25 minutos. El periodo es t = 25 mn @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO EJEMPLO_2 La electricidad La función senoidal , f(x) = sen x , nos da en todo momento el valor del seno de un ángulo. Es una de las funciones trigonométricas. Es la forma en la cual se transmite la electricidad. En este proceso la forma de onda se repite cada 360º . En Europa, España incluida, el periodo es de 1 / 50 = 0,020 segundos. En América, el periodo es de 1 / 60 = 0,016 segundos, razón por la que no conviene adquirir electrodomésticos americanos que no estén modificados. P = 0,02 s P = 0,02 s @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO