LA ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA R. Vázquez, 2015

La multiplicación da problemas Mucho más que + y - El concepto es complicado La cuenta no es nada transparente Hay que saberse las tablas

La multiplicación da problemas Velocidad x tiempo = espacio (diferente naturaleza) Manzanas x precio = euros Manzanas x triple = manzanas (misma naturaleza)

+ X TRANSFORMANDO EL REFERENTE CONSERVANDO EL REFERENTE Schwartz,1988 La composición de dos cantidades matemáticas para producir una tercera cantidad derivada puede tomar dos formas: X TRANSFORMANDO EL REFERENTE La composición de dos cantidades, similares o no, origina una tercera cantidad no similar a las originales. La multiplicación y la división transforman el referente. + CONSERVANDO EL REFERENTE Se origina una tercera cantidad del mismo tipo. Es lo que la adición y sustracción proporcionan.

+ y – se estudian con simultaneidad a la adquisición del concepto de número. x y : son operaciones que necesitan un dominio previo de los números y de su simbolización. Dos cantidades homogéneas El multiplicando es la cantidad que se repite, un número cardinal concreto, visible. Muy simple, concreto, imaginable El multiplicador dice las veces que se repite la cantidad inicial, y es una especie de cardinal de segundo orden o cardinal de cardinales, mucho más abstracto que el anterior, y que necesita simbolizarse.

La multiplicación da problemas Vocabulario (cada, cada vez, triple…) -- desconocido -- poco intuitivo -- no utilizado en su entorno Tercero tal vez es demasiado pronto

+ significa “sumar”, “añadir” o “y” - significa “restar”, o “quitar” Schwartz,1988 La comprensión del significado de x y : es considerablemente más difícil que el de la + y la -. + significa “sumar”, “añadir” o “y” - significa “restar”, o “quitar” : significa “repartir” x significa “tantas veces”, “cada uno” “de” Mientras que añadir, quitar y (algo menos) repartir son acciones concretas y fáciles de visualizar, no ocurre lo mismo con lo multiplicativo.

un estudio de Fischbein… los alumnos tenían que elegir la expresión que correspondía a una situación dada a través de una historia, y al revés: la situación que correspondía a una expresión dada. operación % de éxitos + 88 - 67 x 53 : 63 El orden de dificultad de las operaciones resultó el mismo en ambas situaciones.

los casos simples de división resultan sencillos y los diferentes modelos llegan a manejarse con soltura. La dificultad real de la división aparece en Een el paso a conceptos más elaborados, sobre todo el de razón, escala y proporción. La mecanización de su algoritmo

La multiplicación Hay que saberse las tablas De memoria También las extendidas 6x4, 6x40, 6x400

Hay que saberse las tablas El material manipulativo no es cómodo de utilizar, porque a menudo las cantidades que se producen son enormes, inmanejables. El obstáculo de no dominar las tablas hace imposible mecanizar la operación. Es como intentar jugar al tenis mientras verbalizas: doy un paso, doblo la rodilla, estiro el brazo… No valen, al contrario que en la suma, los dedos, los palillos…

La multiplicación La cuenta no es nada transparente Dificultades de estimación y de validación del resultado Arbitraria. Nada creativa. Oculta las propiedades Esconde los números. Sólo muestra las cifras

Los algoritmos formales están basados en el carácter decimal y posicional de las potencias de 10 en nuestro sistema de numeración. Su comprensión por parte de los niños implica avanzar, por un lado, en el reconocimiento de las situaciones multiplicativas, y por otro, en el conocimiento del sistema decimal de numeración.

¿Cuál es el planteamiento metodológico? Para que los estudiantes puedan aventurarse a realizar representaciones y procedimientos propios es necesaria un aula que los valore, los discuta y los valide en un ambiente de búsqueda colectiva, más allá de la reproducción de los algoritmos y procedimientos formales. No quiere decir que éstos no sean importantes y que no sean objeto de aprendizaje, sino que en lugar de ser el punto de partida, deben ser el punto de llegada después de todo un proceso que permita su comprensión.

VERBOS DE MULTIPLICAR VERBOS DE DIVIDIR Bisecar Trisecar Quintuplicar Compartir Demediar Desmenuzar Despedazar Distribuir Dividir Dosificar Escindir Fraccionar Fragmentar Partir Repartir Romper Cortar Tripartir Trocear Quintuplicar Redoblar Reduplicar Reiterar Repetir Reproducir-se Septuplicar Triplicar Tresdoblar Centuplicar Cuadruplicar Duplicar Iterar Multiplicar Multiplicarse

TIPOS DE CANTIDADES El aspecto crucial que aporta la consideración de las cantidades es la distinción que puede hacerse entre dos tipos de cantidades: extensivas e intensivas. Una cantidad es un par ordenado (x, u) en el que x es un número y u una unidad de una magnitud: por ejemplo, 4 canicas, 3’5 kg, 120 km/h. Una cantidad extensiva, como 4 canicas o 3’5 kg, expresa la extensión de una entidad o substancia y se refiere a un conjunto, montón o trozo de esa entidad o substancia. Las cantidades extensivas son aditivas, en el sentido de que los números pueden sumarse, manteniendo inalterada la unidad que los acompaña. Esto es, las cantidades extensivas son tales que: (x, u) + (x', u) = (x+x', u). Además, se puede distinguir entre cantidades extensivas discretas y continuas. En el caso de las discretas, a menudo, la unidad es el objeto mismo, como en el ejemplo anterior, ‘4 canicas’. Las cantidades intensivas, por su parte, son razones como ‘velocidad’, ‘densidad’, ‘estudiantes por profesor’, ‘precio unitario’, etc. Describen un aspecto interior, intensivo de una entidad o substancia: no una propiedad del montón de objetos, sino de uno de ellos, ese montón u otro montón de cualquier tamaño. Ese aspecto se asume que es una propiedad uniforme u homogénea, o, al menos, que lo es localmente.

Las cantidades intensivas tienen unidades compuestas, formadas por el cociente de dos cantidades extensivas. Además, a diferencia de las extensivas, no son aditivas. Como las cantidades extensivas pueden ser discretas o continuas, y las intensivas son cocientes de éstas, las intensivas pueden ser de los tipos discreta/discreta –caramelos por bolsa, p. e.–, discreta/continua –personas por año–, continua/discreta –litros por botella–, o continua/continua –km/h. En su expresión verbal, como muestran los ejemplos anteriores, suele aparecer la partícula ‘por’, aunque hay ejemplos sin ella como la velocidad de los barcos en ‘nudos’. Problemas aritméticos escolares Luis Puig y Fernando Cerdán