Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA SEPTIEMBRE 21 DE 2015 ALGEBRA LINEAL E-LEARNING Código:

QUE ES UN VECTOR? FI-GQ-GCMU V Es un segmento de recta dirigido, que va del punto inicial P al punto final Q. Es una herramienta geométrica que se emplea para representar magnitudes físicas, definida por: – Magnitud (módulo o longitud) – Dirección (orientación) Pueden representarse como segmentos de recta dirigidos en el plano R, ∈ N.

FI-GQ-GCMU V CARACTERISTICAS DE LOS VECTORES R2 Esta compuesto por: Representación geométrica y cartesiana en R2

FI-GQ-GCMU V MAGNITUD DE UN VECTOR R2: Se denota po r p: con: v= (a,b) DIRECCIÓN DEL VECTOR (a,b): DIRECCIÓN DEL VECTOR (a,b): ángulo medido en radianes, que forma el vector con el semi- eje positivo de las x (abscisas).

FI-GQ-GCMU V EJEMPLOS

FI-GQ-GCMU V MAGNITUD Y ORIENTACION EN R3 vector a = (a,b,c) de R 3

FI-GQ-GCMU V EJEMPLO

FI-GQ-GCMU V OPERACIONES ENTRE VECTORES SUMA DE DOS VECTORES Dado 2 vectores La suma de 2 vectores AB y AC es un nuevo vector AD, Gráficamente puede obtenerse mediante la regla del paralelogramo. El resultado de la suma se obtiene partiendo del origen de ambos vectores. La suma posee las propiedades conmutativa y asociativa AB+ AC = AC+ AB

FI-GQ-GCMU V EJEMPLO Sea a = 4i + 2j, b = –2i + 5j. Dibujar a + b, a – b Solución

FI-GQ-GCMU V OPERACIONES ENTRE VECTORES RESTA DE DOS VECTORES La resta de 2 vectores AB y AC es igual a la e suma AB con el opuesto de AC, esto es AB-AC = AB + (- AC). Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores

FI-GQ-GCMU V OPERACIONES CON COORDENADAS

FI-GQ-GCMU V PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES DEFINICION El producto escalar de a y b es un numero que resulta de multiplicar el modulo de cada uno de los vectores por el coseno del angulo que forman: donde  es el ángulo que forman los vectores 0    .

FI-GQ-GCMU V EJEMPLO Si a = 10i + 2j – 6k, b = (−1/2)i + 4j – 3k, entonces a. b

FI-GQ-GCMU V PRODUCTO VECTORIAL DEFINICION También llamado producto cruz o aspa, da como resultado un tercer vector Ortogonal a los dos anteriores cuyo Módulo es igual al producto de sus Módulos por el seno del ángulo comprendido

FI-GQ-GCMU V Angulo entre vectores

FI-GQ-GCMU V Angulo entre vectores

FI-GQ-GCMU V Producto Escalar Sea u = (a,b,c) y v = (d,e,f), entonces el producto escalar de u y v, que se Se denota por u.v es: u.v = ad + be + cf

FI-GQ-GCMU V Producto Vectorial

FI-GQ-GCMU V Producto Vectorial

FI-GQ-GCMU V Operaciones con matrices

FI-GQ-GCMU V Operaciones con matrices

FI-GQ-GCMU V Operaciones con matrices

FI-GQ-GCMU V

INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA

FI-GQ-GCMU V

EJEMPLO Calcule si existe por método Gauss.

FI-GQ-GCMU V Y después se lleva a cabo la reducción por renglones.

FI-GQ-GCMU V

EJEMPLO Encuentre la inversa de la siguiente matriz, empleando para ello determinantes.

FI-GQ-GCMU V

Determinantes Definición

FI-GQ-GCMU V EJEMPLO

FI-GQ-GCMU V

EJEMPLO Encuentre el determinante de la siguiente matriz.

FI-GQ-GCMU V

ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

FI-GQ-GCMU V