DETECCION DE SEÑALES BINARIAS EN RUIDO GAUSSIANO El criterio de toma de decisión fue descrito por la ecuación Un criterio muy usado para escoger el nivel de umbral para la decisión binaria esta basada en la minimización de la probabilidad de error. Los cálculos para este valor de error mínimo de comienzan con la formación de una expresión de desigualdad entre la razón de función densidad de probabilidad condicional contra las probabilidades a priori de la señal.

La función de densidad condicional es además llamada la posibilidad de, la formula es llamada la prueba de relación de posibilidad. En esta desigualdad, y son las probabilidades a priori de que y, respectivamente, sean transmitidas, y y son las dos posibles hipótesis. La regla para minimizar la probabilidad de error manifiesta que debemos escoger la hipótesis si la relación de posibilidad es mayor que la relación de una probabilidad a priori.

Si es igual a y si las posibilidades Son simétricas, tenemos que Donde es la componente de señal de cuando es transmitida, y es la componente de señal de cuando es transmitida. El nivel de umbral representado por es el umbral óptimo para minimizar la probabilidad de tomar una decisión incorrecta para este caso especial. Esta estrategia es conocida como criterio del error mínimo.

Para señales que tienen igual probabilidad, el umbral mínimo transcurre a través de la intersección de las funciones de posibilidad. De esta manera la etapa de decisión selecciona de manera efectiva la hipótesis que corresponde a la señal con la máxima posibilidad.

Por ejemplo, dado un valor de salida arbitrario del detector, para el cual hay una posibilidad diferente de cero que pertenezca a una de dos clases de señal ó, se puede tomar la prueba de posibilidad como una comparación de los valores de posibilidad y. La señal correspondiente a la máxima PDF es escogida como la más probable de haber sido transmitida. En otras palabras el detector escoge si

De lo contrario el detector escoge. Un detector que minimiza la probabilidad de error (para el caso donde las señales son igualmente probables) se conoce también como Detector de Máxima Posibilidad. Dado el valor de salida del detector, vemos en la figura que intersecta la posibilidad de en un valor, y a su vez intersecta a en un valor.

Cual es la decisión más razonable para el detector? Para este ejemplo, escoger la clase, la cual tiene la mayor posibilidad, es la escogencia más sensata. Si fuera un ejemplo M-ario, en lugar de uno binario, habría un total de M funciones de posibilidad representando las M clases de señales a las cuales una señal recibida puede pertenecer. La decisión de máxima posibilidad escogerá la clase que tenga la mayor posibilidad de todas las M posibilidades.

Probabilidad de Error Para la toma de decisión binaria, hay dos formas en las cuales pueden ocurrir errores. Un error ocurrirá cuando es enviado y el ruido del canal ocasiona que la señal de salida del receptor sea menor que. La probabilidad de tal ocurrencia: Esto es ilustrado mediante el área sombreada a la izquierda de. De manera similar, ocurre un error cuando se envía y el ruido en el canal ocasiona que sea mayor que.

La probabilidad de tal ocurrencia es: La probabilidad de un error es la suma de las probabilidades de todas las formas de error que pueden ocurrir. Para el caso binario, podemos expresar la probabilidad de error de bit como Combinando las ecuaciones (3.34) a (3.36) tenemos

O equivalentemente Dado que la señal fue transmitida, se presenta un error si la hipótesis resulta escogida; o el caso contrario. Para el caso donde las probabilidades a priori son iguales, es decir que Y debido a la simetría de las funciones densidad de probabilidad

La probabilidad de un error de bit,, es numéricamente igual al área bajo la “cola” de una de las dos funciones de posibilidades, ó, cayendo en el lado incorrecto del umbral. Se puede por lo tanto calcular integrando entre los límites y ó integrando entre los límites e : Aquí, es el umbral óptimo de la ecuación (3.32). Reemplazando la posibilidad con su equivalente Gaussiano de la ecuación (3.6):

Haciendo y tenemos: Donde es llamada la función de error complementario ó función co-error, es un símbolo comúnmente usado para la probabilidad de error bajo la cola de la PDF gaussiana. Es definida como:

El Filtro Acoplado El filtro acoplado es un filtro lineal diseñado para proporcionar la máxima relación de potencia de señal a potencia de ruido en su salida para una forma de onda de símbolos determinada. Supongamos que una señal conocida más AWGN es la entrada a un filtro lineal, invariante en el tiempo, seguido por un muestreador. En el tiempo, la salida del muestreador,, consiste de una componente de señal y una componente de ruido.

La varianza del ruido de salida (potencia promedio de ruido) esta señalada como, de tal manera que la razón de potencia instantánea de la señal contra potencia promedio de ruido, en el momento a la salida del muestreador en el paso1 es:

Se desea encontrar la función de transferencia del filtro que maximiza la ecuación anterior. Se puede expresar la señal a la salida del filtro en términos de la función de transferencia del filtro (antes de la optimización) y la transformada de fourier de la señal de entrada como: La potencia de ruido a la salida será:

Donde es la transformada de fourier de la señal de entrada,. Al final tenemos que: Donde la energía de la señal de entrada es: Por lo tanto, la salida máxima de depende de la energía de la señal de entrada y la densidad espectral de potencia del ruido, no de la forma particular de la forma de onda que es usada.

La respuesta al impulso de un filtro que produce la máxima señal de salida contra el ruido es una imagen espejo de la señal de mensaje, retardada por la duración del tiempo de símbolo. La figura superior ilustra la propiedad básica del filtro acoplado: la respuesta al impulso del filtro es una versión retrasada de la imagen espejo (rotada en el eje t = 0) de la forma de onda de la señal. Figura 3.7

es una señal de valor real, de tal manera que: El retardo de T segundos hace que la ecuación anterior sea causal, es decir que el retardo de T segundos hace que sea una función de tiempo positivo en el intervalo. Sin ese retardo de T segundos, la respuesta no sería realizable, ya que describiría una respuesta como función de un tiempo negativo. En cualquier otro caso

Realización de la Correlación del Filtro Acoplado La ecuación y la figura muestran claramente la propiedad básica del filtro acoplado; la respuesta al impulso del filtro es una versión retrasada de la imagen espejo. La salida de un filtro causal se puede describir en el dominio del tiempo como la convolución de una forma de onda de entrada con la respuesta al impulso del filtro:

Si en la ecuación anterior se sustituye por y haciendo en, entonces tenemos: Esta operación es la integración del producto entre la señal recibida con una réplica de la forma de onda transmitida sobre un intervalo de símbolo. Esta operación es conocida como correlación.

Tomemos como ejemplo una señal recibida, la cual es correlacionada con cada una de las señales prototipo usando un banco de correlatores. Aquella señal cuya correlación con tenga la máxima salida es la señal que más se parece ó que más concuerda con. Esta característica de la correlación es la que se usa para la detección óptima de las señales.

FIN