Estudio de la estabilidad de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias. Referencia bibliográfica: “BIOFISICA- Procesos de autoorganización en Biología” de Francisco Montero y Federico Morán Presentación a cargo de Victoria Gradin

Ejemplo: Proceso cinético k i : ctes. cinéticas A, B se mantienen fijas X, Y son variablesºº

Definiciones y conceptos básicos * Ecuación diferencial (ED): Ecuación que relaciona una función y sus derivadas t: variable dependiente x: variable dependiente i : parámetros que afectan a la función f La solución de una ED es una función x(t)

Orden de una ED: Es el orden de la derivada de mayor orden Orden 1 Orden 2

Ecuación diferencial lineal Es una ED donde la función f es lineal en la variable x Lineal No lineal

Ecuación diferencial autónoma Se da cuando la variable dependiente, t, no aparece de modo explícito en la función f. Autónoma No Autónoma

Sistemas de ecuaciones diferenciales Dimensión = 2 Dimensión de un sistema de ED.: Número de variables dependientes

Cualquier ED de orden mayor a 1 se puede transformar en un sistema equivalente de EDs de primer orden Cambio de variables

Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) ED o sistemas de ED de primer orden cuyas variables y parámetros son números reales

Resolver el sistema de ED implica que a partir de ciertas condiciones iniciales podamos conocer el valor de las variables para cualquier valor del tiempo. X(t=0) Y(t=0) X(t) Y(t)

Teorema de existencia Si las funciones f i son continuas, dadas ciertas condiciones iniciales el sistema de EDO tiene solución

Teorema de unicidad Por cualquier punto solo pasa una solución o trayectoria.

Orbitas, espacio o plano de fase plano de fase órbita

Estabilidad de las soluciones de un sistema de EDO

Estabilidad según Liapunov Una solución es estable según Liapunov si las soluciones que pasan por puntos cercanos permanecen en los alrededores de la misma incluso a tiempo infinito.

Inestabilidad Una solución es inestable si cualquier otra que pasa por un punto muy próximo a ella se aleja de la misma.

Estabilidad asintótica Una solución es asintóticamente estable si cualquier otra que pase por un punto cercano se le aproxima en el infinito.

Estabilidad orbital (Válida para las soluciones periódicas) Una solución es orbitalmente asintóticamente estable sí y sólo sí su órbita es asintóticamente estable.

Ciclo límite Es una órbita periódica que ha de ser asintóticamente estable, inestable o semiestable. EstableInestableSemiestable

SOLUCIONES ESTACIONARIAS

Resolver estos sistemas y hallar sus soluciones explícitamente en general es MUY DIFICIL!!!! Nos conformamos con hallar ciertas soluciones particulares Estados estacionarios del sistema

Estados estacionarios Son aquellas soluciones en las cuales las variables del sistema no varían con el tiempo t x y x(t) = x 0 y(t)=y 0

Ejemplo: Modelo de Lotka - Volterra x: población de presas y: población de predadores Hallamos los estados estacionarios: 1) x 0 =0 y 0 =0 2) x 0 =k 3 /k 2 y 0 =k 1 A/k 2

¿Qué tan estables son los estados estacionarios? ¿Son estables según Liapunov? ¿Son asintóticamente estables? ¿Son inestables?

Perturbación x(t)=x 0 +  x(t) y(t)=y 0 +  y(t)

Haciendo un desarrollo de Taylor de las funciones f x y f y y asumiendo perturbaciones pequeñas: Sistema que representa la evolución temporal de las perturbaciones en las proximidades del estado estacionario

Jacobiano del sistema Resolver este sistema es relativamente facil porque es un sistema lineal

c 1, c 2, d 1, d 2 son ctes. que dependen de las cond. iniciales w 1 y w 2 son los valores propios de la matriz jacobiana

Determinación de valores propios

1)  >0 T<0 T 2 -4   0 w 1 y w 2 son reales negativos El estado estacionario es asintóticamente estable NODO ESTABLE

2)  >0 T<0 T 2 -4  < 0 w 1 y w 2 son complejos con parte real negativa El estado estacionario es asintóticamente estable FOCO ESTABLE

3)  >0 T=0 T 2 -4  < 0 w 1 y w 2 son imaginarios puros de diferente signo El estado estacionario es estable según Liapunov CENTRO

4)  >0 T>0 T 2 -4   0 w 1 y w 2 son reales positivos El estado estacionario es inestable NODO INESTABLE

5)  >0 T>0 T 2 -4  < 0 w 1 y w 2 son complejos con parte real positiva El estado estacionario es inestable FOCO INESTABLE

6)  0 w 1 y w 2 son reales de diferente signo El estado estacionario es inestable PUNTO SILLA

CONCLUSION La condición necesaria y suficiente para que el estado estacionario sea asintóticamente estable es que todas las partes reales de los valores propios sean negativas. Basta que uno de los valores propios tenga una parte real positiva para que el estado estacionario sea inestable.

Ejemplo: Modelo de Lotka - Volterra x: población de presas y: población de predadores Hallamos los estados estacionarios: 1) x 0 =0 y 0 =0 2) x 0 =k 3 /k 2 y 0 =k 1 A/k 2

1) Estado estacionario x 0 = y 0 = 0 w 1 y w 2 son reales y de diferente signo PUNTO SILLA

2) Estado estacionario x 0 = k 3 / k 2 y0 = k 1 A/ k 2 w 1 y w 2 son dos imaginarios puros CENTRO