Matemáticas 4º ESO Opción B Tema 11.5 * 4º ESO Opc B Función racional @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B FUNCIÓN RACIONAL En general f(x) = P(x) / Q(x) es una función racional, siendo P(x) y Q(x) dos polinomios cualesquiera, donde Q(x) <>0. Si ambos son de grado 1 estaríamos en el caso de funciones de proporcionalidad inversa. Ejemplos 1.- f(x) = x / (x2 + 1) 2.- f(x) = (x +1) / (x2 – 1 ) 3.- f(x) = (x2 – 5.x) / (x – 5) 4.- f(x) = (x2 + 4) / (x2 – 4 ) 5.- f(x) = (x + 3) /(x2 + 3. x + 2) 6.- f(x) = (x + x3 ) / (x4 + 1) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B Dominio y recorrido El dominio, Dom f(x), de una función racional, f(x) = P(x) / Q(x), es todo R excepto los valores de x tales que Q(x)=0 El recorrido o imagen, Img f(x), de una función racional es más difícil de determinar, siendo preciso en muchos casos la gráfica de la función. Ejercicios Hallar el dominio de las funciones 1.- f(x) = x / (x2 + 1) Hacemos Q(x)=0  x2 + 1=0  x2 = - 1  x = ±√-1 Dom f(x) = R 2.- f(x) = (x +1) / (x2 – 1 ) Hacemos Q(x)=0  x2 - 1=0  x2 = 1  x = ±√1  x = 1 y x = - 1 Dom f(x) = R – {1, -1} @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B 3.- f(x) = (x2 – 5.x) / (x – 5) Hacemos Q(x)=0  x – 5 =0  x = 5 Dom f(x) = R – { 5 } 4.- f(x) = (x2 + 4) / (x2 – 4 ) Hacemos Q(x)=0  x2 – 4 =0  x2 = 4  x = ±√4  x = 2 y x= -2 Dom f(x) = R – { 2, -2 } 5.- f(x) = (x + 3) /(x2 + 3. x + 2) Hacemos Q(x)=0  x2 + 3.x + 2 = 0  x = - 1 y x = - 2 Dom f(x) = R – { -1, - 2} 6.- f(x) = (x + x3 ) / (x4 + 1) 4 Hacemos Q(x)=0  x4 + 1=0  x4 = - 1  x = ± √-1 = ± √ (√-1) Dom f(x) = R @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B Gráfica del Ejemplo 1 1. f(x) = x /(x2 + 1) Dom f(x) = R x y -3 -0,3 -2 -0,4 -1 -0,5 0 0 1 0,5 2 0,4 3 0,3 Img f(x) = [Mín, Máx] = [- 0,5 , 0,5] y -1 -0,5 0,5 1 -2 -1 0 1 2 x Img f(x) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B Gráfica del Ejemplo 2 2.- f(x) = (x + 1) / (x2 – 1) Dom f(x) = R – {1, -1} x y -3 -0,25 -2 -0,33 -1 ----- -0,5 -0,66 0 - 1 0,5 - 2 1 ----- 1,5 2 2 1 3 0,5 4 0,33 Img f(x) = R – { 0 } y -3 -2 -1 0 1 2 3 x -2 -1 1 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B Gráfica del Ejemplo 3 3.- f(x) = (x2 – 5.x) / (x – 5) Tabla x y -2 -2 -1 -1 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 --- 6 6 Img f(x) = R – { 5 } y -2 -1 1 2 3 4 5 6 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B Tema 12.4 * 4º ESO Opc B Asíntotas @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B ASÍNTOTAS VERTICALES La recta x = a es una asíntota vertical de la función f si: Lím f(x) = ± oo x a Pueden ser asíntotas verticales todas las rectas x=a, donde “a” no forma parte del dominio de las funciones racionales. EJEMPLO_1 Sea la función f(x) = 3 / (x – 2) En x = 2 la función no existe. Comprobamos que es asíntota: Lím f(x) = Lím ( 3 / (x – 2) = 3 / (2-2) = 3 / 0 = oo x 2 x  2 x = 2 es una Asíntota Vertical. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

ASÍNTOTAS HORIZONTALES La recta y = b es una asíntota horizontal de la función f(x) si: Lím f(x) = b x ± oo Ejemplo_1 Sea la función f(x) = 1 / x Lím f(x) = Lím 1 / x = 1 / oo = 0 x oo La recta y = 0 es una Asíntota Horizontal. La función f(x) = k / (x – m) , para cualquier valor real de k y de m, tendría un comportamiento similar a la del ejemplo cuando x  ± oo @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B ASÍNTOTAS OBLICUAS La recta y = m.x + n es una asíntota oblicua de la función f si: f(x) Lím ------ = m y Lím [ f(x) – m.x ] = n x ± oo x x± oo En la práctica, siempre que una función racional no presente asíntotas horizontales debemos suponer que existen asíntotas oblicuas. En la práctica si f(x) = P(x) / Q(x), efectuamos la división indicada de polinomios y el cociente resultante será la asíntota oblicua. Ejemplo_1 Sea la función: f(x) = (x2 – 3) / x -3 Al dividir: (x2 – 3) / x = x + ----  y = x es una asíntota oblicua x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B Gráfica Ejemplo_1 Y 1 x2 – 3 f(x) = -------- x Dom f(x)= R – {0} Asíntota vertical: x=0 x2 – 3 – 3 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = - oo x0 x 0 Asíntota horizontal: y =lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = + oo No hay xoo x Asíntota oblicua: x2 – 3 3 -------- = x - ---- x x y = x es la asíntota oblicua. 0 3 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B Gráfica Ejemplo_2 Y x2 + 3 f(x) = -------- x Dom f(x)= R – {0} Asíntota vertical: x=0 x2 + 3 + 3 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = + oo x0 x 0 Asíntota horizontal: y =lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = + oo No hay xoo x Asíntota oblicua: x2 + 3 3 -------- = x + ---- x x y = x es la asíntota oblicua. Mín 0 3 x Max @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B Gráfica Ejemplo_3 y 4 – 2.x2 f(x) = ----------- x + 3 Dom f(x)= R – {- 3} Asíntota vertical: x= - 3 4 – 2.x2 4 - 18 -14 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----------- = ----- = - oo x- 3 x + 3 - 3 + 3 0 Asíntota horizontal: y =lím ‑--‑‑‑‑‑‑‑ = - oo No hay xoo x + 3 Asíntota oblicua: - 2.x2 + 4 14 -------------- = - 2.x + 6 -- -------- x + 3 x + 3  y = -2.x + 6 es la asíntota oblicua. Mín Max -3 0 3 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B