PROCESADORES DIGITALES DE SEÑALES Tema IV Transformada Z: Transformada Z - V Sistemas Electrónicos, EPSG

Contenido de la Sesión... La Transformada Z inversa: Método de inspección Descomposición en fracciones simples Desarrollo en serie de potencias Ecuaciones en diferencias: Función de transferencia Sistemas inversos

La TZ Inversa Una de las aplicaciones de la TZ es el análisis de sistemas lineales en tiempo discreto, que puede requerir el cálculo de la TZ inversa (TZ-1) Dada una expresión algebraica y una ROC asociada, existen varios métodos formales e informales para obtenerla: Secuencias y sistemas LTI, suficientes y preferibles los métodos menos formales

Método de Inspección Reconocer por simple “inspección” ciertos pares de transformadas, sobre todo aquellas que son “frecuentes” Las tablas de pares de transformadas Z tienen mucha utilidad para esta método TZ expresada como una suma de términos...

Fracciones Simples La TZ-1 se puede obtener fácilmente por inspección si la expresión de la TZ se reconoce en una tabla: Algunas veces X(z) no se encuentra explícitamente utilizando una tabla pero puede ser expresada de forma alternativa como suma de términos más simples cada uno de los cuales sí aparece en ella

Fracciones (continuación...) X(z) como cociente de polinomios en z-1 ck ceros distintos de cero de X(z) dk polos distintos de cero de X(z)

Fracciones (continuación...) M < N y polos de primer orden Coeficientes Ak

Fracciones (continuación...) M  N y polos de primer orden Coeficientes Ak

Serie de Potencias Se puede determinar cualquier valor de la secuencia obteniendo el coeficiente de la potencia apropiada de z-1:

Ecuaciones en Diferencias Sistemas LTI para los cuales la relación entre la entrada y la salida se expresa por una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes: Se analizan mejor en el dominio de la TZ...

Ecuaciones ( continuación...) Expresión algebraica de H(z)

Ecuaciones ( continuación...) Expresión factorizada de H(z) Inmediato pasar de H(z) a la ecuación en diferencias

Sistemas Inversos Dado un sistema LTI con una H(z), se define el sistema LTI inverso como un sistema con Hi(z) tal que si se coloca en cascada con H(z), la función efectiva de transferencia que resulta es la unidad:

Sistemas (continuación...) Los ceros de H(z) son los polos de Hi(z) y viceversa...

Sistemas (continuación...) Un sistema LTI que es causal y estable tendrá un sistema inverso también causal y estable, si y sólo si los ceros y los polos de H(z) están en el interior de la circunferencia unidad Estos sistemas LTI se denominan de fase mínima

Ultimo Ejercicio... Ejercicio 6 Determine la X(z) de la secuencia x[n] que se muestra: Variante del Problema 3.5 pp. 129, Oppenheim

Ejercicios Ejercicio 1 Determine la secuencia x[n] cuya X(z) se muestra a continuación: Problema 3.5 pp. 129, Oppenheim

Ejercicios (continuación...) Ejercicio 2 Determine la TZ-1 utilizando fracciones simples y serie de potencias. ¿ Existe la TF... ? (a) (b) Problema 3.6 pp. 129, Oppenheim

Ejercicios (continuación...) Ejercicio 2 (continuación...) (c) (d) Problema 3.6 pp. 129, Oppenheim

Ejercicios (continuación...) Ejercicio 3 Dada la TZ de la salida de un sistema LTI causal, determine la ROC así como la secuencia y[n]: Variante del Problema 3.7 pp. 129, Oppenheim

Ejercicios (continuación...) Ejercicio 4 La H(z) de un sistema LTI causal es: La entrada al sistema es: Problema 3.8 pp. 130, Oppenheim

Ejercicios (continuación...) Ejercicio 4 (continuación...): (a) Calcule la respuesta la impulso, h[n] (b) Calcule la salida y[n] (c) ¿ Es estable el sistema ?. ¿ Es h[n] absolutamente sumable ? Problema 3.8 pp. 130, Oppenheim

Ejercicios (continuación...) Ejercicio 5 Obtenga la ecuación en diferencias del sistema LTI cuya H(z) es la que se muestra: Problema 1 (a), Convocatoria 9/1/02

Ejercicios (continuación...) Ejercicio 6 Obtenga el diagrama de ceros y polos para la ecuación en diferencias que se muestra. Especifique las condiciones de estabilidad: Problema 1 (b), Convocatoria 9/1/02

Ejercicios (continuación...) Ejercicio 7 Obtenga la hi[n] del sistema LTI inverso que se asocia con el sistema LTI cuya y[n] satisface la ecuación en diferencias: Problema 5.8 pp. 266 y 5.9 pp. 269, Oppenheim

Ejercicios (continuación...) Ejercicio 8 Obtenga la H(z), la h[n] y la ecuación en diferencias para: Problema 5.10 pp. 274, Orfandis

Ejercicios (continuación...) Ejercicio 9 Dado un sistema LTI causal con un polo en z=-1/3 y z=1/2, H(z)=6, determine H(z), h[n] y la y[n] cuando la entrada sea: Problema 5.11 pp. 274, Orfandis