Una circunferencia está definida por tres puntos. Dados tres puntos no alineados, existe necesariamente una única circunferencia que contiene a los tres. Si dados cuatro puntos existe una circunferencia que los contiene a todos, se deduce que existe alguna relación entre ellos que justifica esta pertenencia común a la misma circunferencia. A medida que se aumenta el número de puntos, resulta más extraordinario que todos ellos pertenezcan a la misma circunferencia (es decir, que equidisten de un punto) si no fueron elegidos especialmente para cumplir con esto. En el caso de la circunferencia de Feuerbach, son nueve los puntos destacados que la integran, todos de especial relevancia en un triángulo. Por esto, su existencia llama la atención. En particular, el Teorema de Feuerbach ha sido llamado “la joya de la geometría del siglo XIX”.

La circunferencia de Feuerbach, también llamada circunferencia de los nueve puntos, es una circunferencia que se puede construir sobre cualquier triángulo. Son nueve puntos del triángulo los que pertenecen a ella:

1. Los puntos medios de los lados del triángulo:

2. Los pies de las alturas:

3. Los puntos medios de los segmentos determinados por el ortocentro y los vértices del triángulo:

Karl Wilhelm Feuerbach Nació el 30 de mayo de 1800 en Jena, Alemania. Fue hermano del filósofo Ludwig Feuerbach. Fue estudiante de la universidad de Erlangen y más tarde de la de Friburgo, obteniendo a los 22 años un doctorado. Fue profesor de matemática en un Gymnasium de Erlangen. En 1822 publicó en Núremberg un libro de 62 páginas, donde demostró analíticamente la circunferencia de los nueve puntos, a la cual él llamó “el más bello teorema de geometría elemental descubierto desde la época de Euclides“. En 1824 fue detenido y encarcelado durante un año en Múnich debido a sus posiciones políticas. Sufrió de depresión e intentó suicidarse en dos ocasiones. A través de una intervención del rey pudo volver a dar clases, reintegrándose como profesor en Hof y luego volviendo a dar clases en Erlangen, hasta el día que, desenvainando una espada en clase, amenazó con cortar la cabeza de aquellos alumnos que no supieran resolver una ecuación. Vivió los últimos años de su vida recluido hasta que murió en Erlangen el 12 de marzo de 1834.

Construcción de la circunferencia de Feuerbach El ortocentro es en un triángulo el punto de corte de sus alturas:

El circuncentro es el punto de corte de sus mediatrices:

Siendo N el circuncentro y O el ortocentro, si se traza el segmento entre ambos y su punto medio, se observa que éste es el centro de la circunferencia de Feuerbach.

Propiedad de la circunferencia de los nueve puntos respecto de la circunferencia circunscrita La circunferencia de Feuerbach cumple una relación de homotecia con la circunferencia circunscrita del triángulo: Esto se da porque: (O,A) = 2(O,L) (O,B) = 2(O,M) (O,C) = 2(O,E) De lo cual se deduce que la circunferencia de Feuerbach es homotética a la circunscrita. Esta homotecia tiene razón 2 y centro en el ortocentro del triángulo.

Por lo tanto, el triángulo inscrito en la circunferencia de Feuerbach en los puntos L,M,E es homotético al triángulo original con la misma razón (2) y centro (O), además de semejante:

Teorema de Feuerach El teorema de Feuerbach establece que la circunferencia de Feuerbach es tangente a la circunferencia inscrita y a las tres exiinscritas del triángulo.

La circunferencia inscrita al triángulo es tangente interior a la circunferencia de Feuerbach. El punto de tangencia de la circunferencia de Feuerbach con la inscrita es llamado punto de Feuerbach.

La circunferencia de los nueve puntos es tangente exterior a las circunferencias exinscritas al triángulo.

Recuperado de: El teorema de Feuerbach, revista de la olimpíada iberoamericana de matemática: Además: feuerbach.php